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Perméabilité d'un milieu

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La loi de Darcy prend en compte une résistance hydraulique qui, dans sa version de base, correspond à celle d'un tube d'une longueur et d'un rayon donnés. Cependant, dans de nombreuses situations, le liquide s'écoule à travers un milieu contenant des pores plutôt qu'une seule cavité. Ces pores agissent comme des capillaires, dont la résistance hydraulique peut être modélisée comme celle de petits tubes. La somme de ces multiples résistances hydrauliques en parallèle constitue la résistance hydraulique totale d'un matériel poreux.

>Modèle

ID:(2072, 0)



Densité de flux entre les colonnes

Concept

>Top


Comme le volumique flux (J_V), impliquant le rayon du tube (R), a viscosité (\eta), a différence de pression (\Delta p) et le longueur du tube (\Delta L), est modélisé en utilisant l'équation de Hagen-Poiseuille :

J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }



Il est possible de calculer en utilisant a coupe des pores (S) et le rayon du tube (R) avec l'équation suivante :

S = \pi r ^2



De plus, a densité de flux (j_s), qui est défini par

j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }



et la définition de a perméabilité hydrodynamique (k) est

k = \displaystyle\frac{ R ^2}{8}



ce qui mène à :

j_s = -\displaystyle\frac{ k }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }

ID:(15725, 0)



Flux volumique et sa vitesse

Équation

>Top, >Modèle


Une densité de flux (j_s) peut être exprimé en termes de le volumique flux (J_V) à l'aide de a coupe ou surface (S) par la formule suivante :

j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }

S
Coupe des pores
m^2
6011
j_s
Densité de flux
m/s
7220
J_V
Volumique flux
m^3/s
5448
k = R ^2/8 S = pi * r ^2 Dp = rho_w * g * Dh j_s = J_V / S j_s = - k * Dp /(eta * DL )gSj_srho_wDp_sDhDLkpirRSetaJ_V

Le flux est défini comme le volume le élément de volume (\Delta V) divisé par le temps le temps écoulé (\Delta t), ce qui est exprimé dans l'équation suivante :

J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }



et le volume est égal à la section transversale a section de tube (S) multipliée par la distance parcourue le élément tubulaire (\Delta s) :

\Delta V = S \Delta s



Étant donné que la distance parcourue le élément tubulaire (\Delta s) par unité de temps le temps écoulé (\Delta t) correspond à la vitesse, elle est représentée par :

j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }



Ainsi, le flux est une densité de flux (j_s), qui est calculé à l'aide de :

j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }

ID:(4349, 0)



Surface d'un disque

Équation

>Top, >Modèle


A section (S) de un rayon du disque (r) est calculée comme suit :

S = \pi r ^2

\pi
Pi
3.1415927
rad
5057
r
Rayon du disque
m
5275
S
Surface d'un disque
m^2
10361
k = R ^2/8 S = pi * r ^2 Dp = rho_w * g * Dh j_s = J_V / S j_s = - k * Dp /(eta * DL )gSj_srho_wDp_sDhDLkpirRSetaJ_V

ID:(3804, 0)



Perméabilité hydraulique

Équation

>Top, >Modèle


Le facteur restant est appelé A perméabilité hydrodynamique (k) et peut être calculé en utilisant le rayon du tube (R) avec la formule suivante :

k = \displaystyle\frac{ R ^2}{8}

k
Perméabilité hydrodynamique
m^2
10137
R
Rayon du tube
m
5417
k = R ^2/8 S = pi * r ^2 Dp = rho_w * g * Dh j_s = J_V / S j_s = - k * Dp /(eta * DL )gSj_srho_wDp_sDhDLkpirRSetaJ_V

Si nous examinons a conductance hydraulique (G_h), nous pouvons remarquer que le numérateur contient la section transversale du tube, représentée par \pi R^2. Ici, le rayon du tube (R) correspond à une propriété du liquide, a viscosité (\eta) est liée à la viscosité du fluide, et le longueur du tube (\Delta L) se réfère au gradient de pression généré.

G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }



Ainsi, le facteur propre à la géométrie des pores peut être défini comme a perméabilité hydrodynamique (k) en utilisant la formule suivante :

k = \displaystyle\frac{ R ^2}{8}

ID:(108, 0)



Écoulement sous pression hydrostatique

Équation

>Top, >Modèle


L'équation de Hagen Poiseuille peut être réécrite en fonction de a densité de flux (j_s) en termes de a perméabilité hydrodynamique (k), a viscosité (\eta) et du gradient de a différence de pression (\Delta p) :

j_s = -\displaystyle\frac{ k }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }

j_s
Densité de flux
m/s
7220
\Delta p
Différence de pression
Pa
10117
\Delta L
Longueur du tube
m
5430
k
Perméabilité hydrodynamique
m^2
10137
\eta
Viscosité
Pa s
5422
k = R ^2/8 S = pi * r ^2 Dp = rho_w * g * Dh j_s = J_V / S j_s = - k * Dp /(eta * DL )gSj_srho_wDp_sDhDLkpirRSetaJ_V

Comme le volumique flux (J_V), impliquant le rayon du tube (R), a viscosité (\eta), a différence de pression (\Delta p) et le longueur du tube (\Delta L), est modélisé en utilisant l'équation de Hagen-Poiseuille :

J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }



Il est possible de calculer en utilisant a coupe des pores (S) et le rayon du tube (R) avec l'équation suivante :

S = \pi r ^2



De plus, a densité de flux (j_s), qui est défini par

j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }



et la définition de a perméabilité hydrodynamique (k) est

k = \displaystyle\frac{ R ^2}{8}



ce qui mène à :

j_s = -\displaystyle\frac{ k }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }

ID:(14470, 0)



Différence de pression entre les colonnes

Équation

>Top, >Modèle


La différence de hauteur, représentée par a différence de hauteur (\Delta h), implique que la pression dans les deux colonnes est différente. En particulier, a différence de pression (\Delta p) est une fonction de a densité du liquide (\rho_w), a accélération gravitationnelle (g), et a différence de hauteur (\Delta h), comme suit :

\Delta p = \rho_w g \Delta h

g
Accélération gravitationnelle
9.8
m/s^2
5310
\rho_w
Densité du liquide
kg/m^3
5407
\Delta h
Hauteur de la colonne de liquide
m
5819
k = R ^2/8 S = pi * r ^2 Dp = rho_w * g * Dh j_s = J_V / S j_s = - k * Dp /(eta * DL )gSj_srho_wDp_sDhDLkpirRSetaJ_V

S'il existe a différence de pression (\Delta p) entre deux points, comme le détermine l'équation :

\Delta p = p_2 - p_1



nous pouvons utiliser a pression de la colonne d'eau (p), qui est définie comme suit :

p_t = p_0 + \rho_w g h



Cela donne :

\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g



Comme a différence de hauteur (\Delta h) est définie comme suit :

\Delta h = h_2 - h_1



a différence de pression (\Delta p) peut être exprimée comme suit :

\Delta p = \rho_w g \Delta h

ID:(4345, 0)