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La loi de Darcy prend en compte une résistance hydraulique qui, dans sa version de base, correspond à celle d'un tube d'une longueur et d'un rayon donnés. Cependant, dans de nombreuses situations, le liquide s'écoule à travers un milieu contenant des pores plutôt qu'une seule cavité. Ces pores agissent comme des capillaires, dont la résistance hydraulique peut être modélisée comme celle de petits tubes. La somme de ces multiples résistances hydrauliques en parallèle constitue la résistance hydraulique totale d'un matériel poreux.

>Modèle

ID:(2072, 0)

Concept

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Comme le volumique flux ($J_V$), impliquant le rayon du tube ($R$), a viscosité ($\eta$), a différence de pression ($\Delta p$) et le longueur du tube ($\Delta L$), est modélisé en utilisant l'équation de Hagen-Poiseuille :

Il est possible de calculer en utilisant a coupe des pores ($S$) et le rayon du tube ($R$) avec l'équation suivante :

De plus, a densité de flux ($j_s$), qui est défini par

et la définition de a perméabilité hydrodynamique ($k$) est

ce qui mène à :

ID:(15725, 0)

Équation

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Une densité de flux ($j_s$) peut être exprimé en termes de le volumique flux ($J_V$) à l'aide de a coupe ou surface ($S$) par la formule suivante :

$ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

Conditions

Variables

$S$

Coupe des pores

$m^2$

6011

$j_s$

Densité de flux

$m/s$

7220

$J_V$

Volumique flux

$m^3/s$

5448

Relation

Développement

Le flux est défini comme le volume le élément de volume ($\Delta V$) divisé par le temps le temps écoulé ($\Delta t$), ce qui est exprimé dans l'équation suivante :

$ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$

et le volume est égal à la section transversale a section de tube ($S$) multipliée par la distance parcourue le élément tubulaire ($\Delta s$) :

$ \Delta V = S \Delta s $

Étant donné que la distance parcourue le élément tubulaire ($\Delta s$) par unité de temps le temps écoulé ($\Delta t$) correspond à la vitesse, elle est représentée par :

$ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Ainsi, le flux est une densité de flux ($j_s$), qui est calculé à l'aide de :

$ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

ID:(4349, 0)

Équation

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A section ($S$) de un rayon du disque ($r$) est calculée comme suit :

$ S = \pi r ^2$

Conditions

Variables

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$r$

Rayon du disque

$m$

5275

$S$

Surface d'un disque

$m^2$

10361

Relation

ID:(3804, 0)

Équation

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Le facteur restant est appelé A perméabilité hydrodynamique ($k$) et peut être calculé en utilisant le rayon du tube ($R$) avec la formule suivante :

$ k = \displaystyle\frac{ R ^2}{8}$

Conditions

Variables

$k$

Perméabilité hydrodynamique

$m^2$

10137

$R$

Rayon du tube

$m$

5417

Relation

Développement

Si nous examinons a conductance hydraulique ($G_h$), nous pouvons remarquer que le numérateur contient la section transversale du tube, représentée par $\pi R^2$. Ici, le rayon du tube ($R$) correspond à une propriété du liquide, a viscosité ($\eta$) est liée à la viscosité du fluide, et le longueur du tube ($\Delta L$) se réfère au gradient de pression généré.

$ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$

Ainsi, le facteur propre à la géométrie des pores peut être défini comme a perméabilité hydrodynamique ($k$) en utilisant la formule suivante :

$ k = \displaystyle\frac{ R ^2}{8}$

ID:(108, 0)

Équation

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L'équation de Hagen Poiseuille peut être réécrite en fonction de a densité de flux ($j_s$) en termes de a perméabilité hydrodynamique ($k$), a viscosité ($\eta$) et du gradient de a différence de pression ($\Delta p$) :

$ j_s = -\displaystyle\frac{ k }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Conditions

Variables

$j_s$

Densité de flux

$m/s$

7220

$\Delta p$

Différence de pression

$Pa$

10117

$\Delta L$

Longueur du tube

$m$

5430

$k$

Perméabilité hydrodynamique

$m^2$

10137

$\eta$

Viscosité

$Pa s$

5422

Relation

Développement

Comme le volumique flux ($J_V$), impliquant le rayon du tube ($R$), a viscosité ($\eta$), a différence de pression ($\Delta p$) et le longueur du tube ($\Delta L$), est modélisé en utilisant l'équation de Hagen-Poiseuille :

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Il est possible de calculer en utilisant a coupe des pores ($S$) et le rayon du tube ($R$) avec l'équation suivante :

$ S = \pi r ^2$

De plus, a densité de flux ($j_s$), qui est défini par

$ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

et la définition de a perméabilité hydrodynamique ($k$) est

$ k = \displaystyle\frac{ R ^2}{8}$

ce qui mène à :

$ j_s = -\displaystyle\frac{ k }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

ID:(14470, 0)

Équation

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La différence de hauteur, représentée par a différence de hauteur ($\Delta h$), implique que la pression dans les deux colonnes est différente. En particulier, a différence de pression ($\Delta p$) est une fonction de a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), et a différence de hauteur ($\Delta h$), comme suit :

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

Conditions

Variables

$g$

Accélération gravitationnelle

9.8

$m/s^2$

5310

$\rho_w$

Densité du liquide

$kg/m^3$

5407

$\Delta h$

Hauteur de la colonne de liquide

$m$

5819

Relation

Développement

S'il existe a différence de pression ($\Delta p$) entre deux points, comme le détermine l'équation :

$ \Delta p = p_2 - p_1 $

nous pouvons utiliser a pression de la colonne d'eau ($p$), qui est définie comme suit :

$ p_t = p_0 + \rho_w g h $

Cela donne :

$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$

Comme a différence de hauteur ($\Delta h$) est définie comme suit :

$ \Delta h = h_2 - h_1 $

a différence de pression ($\Delta p$) peut être exprimée comme suit :

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

ID:(4345, 0)