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Cuando se trabaja con medios de mayor envergadura en lugar de con muestras pequeñas, resulta útil emplear magnitudes similares a densidades en lugar de magnitudes asociadas a volúmenes limitados. Por esta razón, no se considera el flujo por un volumen limitado, sino por densidades de flujo. De manera análoga, no se manejan resistencias hidráulicas de un volumen finito, sino la permeabilidad, que desempeña un papel similar al de una densidad de resistencia hidráulica.

>Modelo

ID:(2072, 0)

Concepto

>Top

Como el flujo de volumen ($J_V$), que involucra el radio del tubo ($R$), la viscosidad ($\eta$), la diferencia de presión ($\Delta p$) y el largo de tubo ($\Delta L$), se modela con la ecuación de Hagen-Poiseuille:

Es posible calcular usando la sección del flujo ($S$) y el radio del tubo ($R$) mediante la siguiente ecuación:

Además, la densidad de flujo ($j_s$) que se define por

y la definición de la permeabilidad hidrodinámica ($k$) es

de lo que se concluye con:

ID:(15725, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Se puede representar una densidad de flujo ($j_s$) en términos de el flujo de volumen ($J_V$) utilizando la sección o superficie ($S$) mediante la siguiente fórmula:

$ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

Condiciones

Variables

$j_s$

Densidad de flujo

$m/s$

7220

$J_V$

Flujo de volumen

$m^3/s$

5448

$S$

Sección del flujo

$m^2$

6011

Relación

Desarrollo

El flujo se define como el volumen el elemento de volumen ($\Delta V$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$), lo cual se expresa en la siguiente ecuación:

$ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$

y el volumen es el producto de la sección la sección del tubo ($S$) por el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$):

$ \Delta V = S \Delta s $

Dado que el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$) equivale a la velocidad, se representa con:

$ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Por lo tanto, el flujo es una densidad de flujo ($j_s$), que se calcula mediante:

$ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

ID:(4349, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La superficie de un disco ($S$) de un radio de un disco ($r$) se calcula de la siguiente manera:

$ S = \pi r ^2$

Condiciones

Variables

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$r$

Radio de un disco

$m$

5275

$S$

Superficie de un disco

$m^2$

10361

Relación

ID:(3804, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El factor restante se denomina la permeabilidad hidrodinámica ($k$) y se puede calcular usando el radio del tubo ($R$) con la siguiente fórmula:

$ k = \displaystyle\frac{ R ^2}{8}$

Condiciones

Variables

$k$

Permeabilidad hidrodinámica

$m^2$

10137

$R$

Radio del tubo

$m$

5417

Relación

Desarrollo

Si examinamos la conductancia hidráulica ($G_h$), podemos notar que en el numerador se encuentra la sección transversal del tubo, que se representa como $\pi R^2$. Aquí, el radio del tubo ($R$) corresponde a una propiedad del líquido, la viscosidad ($\eta$) está relacionada con la viscosidad del fluido, y el largo de tubo ($\Delta L$) se refiere al gradiente de presión generado.

$ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$

Con ello, el factor propio de la geometría de los poros se puede definir como la permeabilidad hidrodinámica ($k$) mediante la siguiente fórmula:

$ k = \displaystyle\frac{ R ^2}{8}$

ID:(108, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La densidad de flujo ($j_s$) en función de la permeabilidad hidrodinámica ($k$), la viscosidad ($\eta$), la aceleración gravitacional ($g$), la densidad del líquido ($\rho_w$), la altura de la columna del liquido ($\Delta h$) y el largo de tubo ($\Delta L$) es igual a:

$ j_s = -\displaystyle\frac{ k }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Condiciones

Variables

$j_s$

Densidad de flujo

$m/s$

7220

$\Delta p$

Diferencia de presión

$Pa$

10117

$\Delta L$

Largo de tubo

$m$

5430

$k$

Permeabilidad hidrodinámica

$m^2$

10137

$\eta$

Viscosidad

$Pa s$

5422

Relación

Desarrollo

La densidad de flujo ($j_s$) en función de la permeabilidad hidrodinámica ($k$), la viscosidad ($\eta$) y el gradiente de la diferencia de presión ($\Delta p$) y el largo de tubo ($\Delta L$) es igual a:

$ j_s = -\displaystyle\frac{ k }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

En el caso de que el diferencial de la presión ($\Delta p$) es originado por la gravedad se tiene que con la aceleración gravitacional ($g$), la densidad del líquido ($\rho_w$) y la altura de la columna del liquido ($\Delta h$):

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

Con ello la densidad de flujo ($j_s$) es igual a:

$ j_s = -\displaystyle\frac{ k }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

ID:(14470, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La diferencia de alturas, representada por la diferencia de altura ($\Delta h$), implica que la presión en ambas columnas es diferente. En particular, la diferencia de presión ($\Delta p$) es una función de la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$) y la diferencia de altura ($\Delta h$), de la siguiente manera:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\Delta h$

Altura de la columna del liquido

$m$

5819

$\rho_w$

Densidad del líquido

$kg/m^3$

5407

$\Delta p$

Diferencial de la presión

$Pa$

6673

Relación

Desarrollo

Si hay la diferencia de presión ($\Delta p$) entre dos puntos, como lo indica la ecuación:

$ \Delta p = p_2 - p_1 $

podemos usar la presión de la columna de agua ($p$), que es:

$ p_t = p_0 + \rho_w g h $

Esto nos da:

$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$

Dado que la diferencia de altura ($\Delta h$) es:

$ \Delta h = h_2 - h_1 $

la diferencia de presión ($\Delta p$) se puede expresar como:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

ID:(4345, 0)