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Résistance hydraulique du milieu poreux
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La loi de Darcy prend en compte une résistance hydraulique qui, dans sa version de base, correspond à celle d'un tube d'une longueur et d'un rayon donnés. Cependant, dans de nombreuses situations, le liquide s'écoule à travers un milieu contenant des pores plutôt qu'une seule cavité. Ces pores agissent comme des capillaires, dont la résistance hydraulique peut être modélisée comme celle de petits tubes. La somme de ces multiples résistances hydrauliques en parallèle constitue la résistance hydraulique totale d'un matériel poreux.
ID:(2071, 0)
Résistance hydraulique du milieu poreux
Description
La loi de Darcy prend en compte une résistance hydraulique qui, dans sa version de base, correspond à celle d'un tube d'une longueur et d'un rayon donnés. Cependant, dans de nombreuses situations, le liquide s'écoule à travers un milieu contenant des pores plutôt qu'une seule cavité. Ces pores agissent comme des capillaires, dont la résistance hydraulique peut être modélisée comme celle de petits tubes. La somme de ces multiples résistances hydrauliques en parallèle constitue la résistance hydraulique totale d'un matériel poreux.
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à 
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À utiliser
Équations
Le volumique flux ($J_V$) peut tre calcul partir de a conductance hydraulique ($G_h$) et a différence de pression ($\Delta p$) en utilisant l' quation suivante :
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
De plus, en utilisant la relation pour a résistance hydraulique ($R_h$) :
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{ G_h }$ |
on obtient :
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
(ID 3179)
(ID 3469)
Puisque a résistance hydraulique ($R_h$) est gal a conductance hydraulique ($G_h$) conform ment l' quation suivante :
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{ G_h }$ |
et puisque a conductance hydraulique ($G_h$) est exprim en termes de a viscosité ($\eta$), le rayon du tube ($R$), et le longueur du tube ($\Delta L$) comme suit :
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
nous pouvons en conclure que :
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
(ID 3629)
(ID 3804)
S'il existe a différence de pression ($\Delta p$) entre deux points, comme le d termine l' quation :
| $ dp = p - p_0 $ |
nous pouvons utiliser a pression de la colonne d'eau ($p$), qui est d finie comme suit :
| $ p_t = p_0 + \rho_w g h $ |
Cela donne :
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Comme a différence de hauteur ($\Delta h$) est d finie comme suit :
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
a différence de pression ($\Delta p$) peut tre exprim e comme suit :
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
(ID 4345)
Le flux est d fini comme le volume le élément de volume ($\Delta V$) divis par le temps le temps écoulé ($\Delta t$), ce qui est exprim dans l' quation suivante :
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
et le volume est gal la section transversale a section de tube ($S$) multipli e par la distance parcourue le élément tubulaire ($\Delta s$) :
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
tant donn que la distance parcourue le élément tubulaire ($\Delta s$) par unit de temps le temps écoulé ($\Delta t$) correspond la vitesse, elle est repr sent e par :
| $ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Ainsi, le flux est une densité de flux ($j_s$), qui est calcul l'aide de :
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
(ID 4349)
(ID 4726)
(ID 15903)
Exemples
(ID 15730)
Si le milieu poreux est mod lis comme un r seau de a résistance hydraulique ($R_h$) l ments identiques connect s en parall le en groupes de le nombre de résistances hydrauliques égales en parallèle ($N_p$), qui sont ensuite additionn s en s rie sous la forme de le nombre de résistances hydrauliques égales en série ($N_s$) :
De cette mani re, la somme g n rale en parall le, qui donne a résistance hydraulique totale en parallèle ($R_{pt}$) selon
| $\displaystyle\frac{1}{ R_{pt} }=\sum_k\displaystyle\frac{1}{ R_{hk} }$ |
,
est transform e en
| $ R_{pt} = \displaystyle\frac{ R_h }{ N_p }$ |
.
De m me, la somme g n rale en s rie, qui aboutit a résistance hydraulique totale en série ($R_{st}$) selon
| $ R_{st} =\displaystyle\sum_k R_{hk} $ |
,
est transform e en
| $ R_t = N_s R_{pt} $ |
.
(ID 15908)
En utilisant la d finition de a résistance hydraulique ($R_h$) avec les valeurs a viscosité ($\eta$), le longueur du tube ($\Delta L$) et le rayon du tube ($R$) selon
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | l | }{ \pi r ^4}$ |
,
et en calculant le nombre de résistances hydrauliques égales en parallèle ($N_p$) partir de a porosité ($f$) et a section de tube ($S$) via
| $ N_p = \displaystyle\frac{ f S }{ \pi r ^2}$ |
,
ainsi que le nombre de résistances hydrauliques égales en série ($N_s$) avec le longueur du tube ($\Delta L$) et a longueur capillaire ($l$) par
| $ N_s = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ l }$ |
,
le r sultat final est obtenu comme suit :
| $ R_t = \displaystyle\frac{ 8 \eta }{ f r ^2 }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$ |
.
(ID 15909)
(ID 15735)
Le nombre de résistances hydrauliques égales en série ($N_s$) peut tre obtenu en divisant le longueur du tube ($\Delta L$) par a longueur capillaire ($l$) :
| $ N_s = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ l }$ |
(ID 15904)
A porosité ($f$) est la proportion de la section vide par laquelle le liquide s' coule par rapport a section de tube ($S$). La premi re est calcul e en multipliant la section de chaque capillaire, le rayon du tube ($R$), par le nombre de résistances hydrauliques égales en parallèle ($N_p$), de sorte que :
| $ f = \displaystyle\frac{ N_p \pi R ^2 }{ S }$ |
(ID 15906)
Le nombre de résistances hydrauliques égales en parallèle ($N_p$) est calcul comme la fraction donn e par a porosité ($f$) de a section de tube ($S$), divis e par la section d'un capillaire, le rayon du tube ($R$) :
| $ N_p = \displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2}$ |
(ID 15905)
A résistance hydraulique totale en parallèle ($R_{pt}$) est le r sultat pour a résistance hydraulique ($R_h$) valeurs identiques, obtenu en divisant ce nombre par le nombre de résistances hydrauliques égales en parallèle ($N_p$) :
| $ R_{pt} = \displaystyle\frac{ R_h }{ N_p }$ |
(ID 15902)
A résistance hydraulique totale en série ($R_{st}$) est calcul en multipliant a résistance hydraulique ($R_h$) par le nombre de résistances hydrauliques égales en série ($N_s$) :
| $ R_{st} = N_s R_h $ |
(ID 15903)
Puisque a résistance hydraulique ($R_h$) est gal l'inverse de a conductance hydraulique ($G_h$), il peut tre calcul partir de l'expression de ce dernier. De cette mani re, nous pouvons identifier des param tres li s la g om trie (le longueur du tube ($\Delta L$) et le rayon du tube ($R$)) et au type de liquide (a viscosité ($\eta$)), qui peuvent tre collectivement d sign s sous le nom de une résistance hydraulique ($R_h$) :
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
(ID 3629)
A résistance hydraulique totale ($R_t$) est calcul partir d'un type de densit de r sistance hydraulique, qui d pend de a viscosité ($\eta$), a porosité ($f$) et le rayon du tube ($R$), ainsi que des facteurs g om triques le longueur du tube ($\Delta L$) et a section de tube ($S$) :
| $ R_t = \displaystyle\frac{ 8 \eta }{ f R ^2 }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$ |
(ID 15907)
La diff rence de hauteur, repr sent e par a différence de hauteur ($\Delta h$), implique que la pression dans les deux colonnes est diff rente. En particulier, a différence de pression ($\Delta p$) est une fonction de a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), et a différence de hauteur ($\Delta h$), comme suit :
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
(ID 4345)
Si nous avons un tube avec une a section de tube ($S$) se d pla ant sur une distance le élément tubulaire ($\Delta s$) le long de son axe, ayant d plac le élément de volume ($\Delta V$), alors cela gal :
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
(ID 3469)
Une densité de flux ($j_s$) peut tre exprim en termes de le volumique flux ($J_V$) l'aide de a coupe ou surface ($S$) par la formule suivante :
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
(ID 4349)
Darcy r crit l' quation de Hagen Poiseuille de sorte que a différence de pression ($\Delta p$) soit gal a résistance hydraulique ($R_h$) fois le volumique flux ($J_V$)xa0:
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
(ID 3179)
A porosité ($f$) exprime la relation entre le volume poreux ($V_p$) et le volume total ($V_t$), ce qui nous permet de d finir l' quation de la mani re suivante :
| $ f =\displaystyle\frac{ V_p }{ V_t }$ |
(ID 4245)
A vitesse moyenne ($\bar{v}$) peut tre calcul partir de a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) et le temps écoulé ($\Delta t$) en utilisantxa0:
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
(ID 3152)
Le volume total ($V_t$) est la somme de le volume poreux ($V_p$), qui comprend la fois les micropores et les macropores dans le sol, et a masse sèche totale de l'échantillon ($M_s$), de mani re que :
| $ V_t = V_s + V_p $ |
(ID 4726)
Puisque nous connaissons d j a masse sèche totale de l'échantillon ($M_s$) et le volume solide ($V_s$) partir de l' chantillon, nous pouvons introduire a densité solide ($\rho_s$) et le calculer l'aide de l' quation suivante :
| $ \rho_s = \displaystyle\frac{ M_s }{ V_s }$ |
(ID 15073)
ID:(2071, 0)