Storyboard

La loi de Darcy prend en compte une résistance hydraulique qui, dans sa version de base, correspond à celle d'un tube d'une longueur et d'un rayon donnés. Cependant, dans de nombreuses situations, le liquide s'écoule à travers un milieu contenant des pores plutôt qu'une seule cavité. Ces pores agissent comme des capillaires, dont la résistance hydraulique peut être modélisée comme celle de petits tubes. La somme de ces multiples résistances hydrauliques en parallèle constitue la résistance hydraulique totale d'un matériel poreux.

>Modèle

ID:(2071, 0)

Iframe

>Top

ID:(15730, 0)

Concept

>Top

Si le milieu poreux est modélisé comme un réseau de a résistance hydraulique ($R_h$) éléments identiques connectés en parallèle en groupes de le nombre de résistances hydrauliques égales en parallèle ($N_p$), qui sont ensuite additionnés en série sous la forme de le nombre de résistances hydrauliques égales en série ($N_s$) :

De cette manière, la somme générale en parallèle, qui donne a résistance hydraulique totale en parallèle ($R_{pt}$) selon

,

est transformée en

.

De même, la somme générale en série, qui aboutit à A résistance hydraulique totale en série ($R_{st}$) selon

,

est transformée en

.

ID:(15908, 0)

Concept

>Top

En utilisant la définition de a résistance hydraulique ($R_h$) avec les valeurs a viscosité ($\eta$), le longueur du tube ($\Delta L$) et le rayon du tube ($R$) selon

,

et en calculant le nombre de résistances hydrauliques égales en parallèle ($N_p$) à partir de a porosité ($f$) et a section de tube ($S$) via

,

ainsi que le nombre de résistances hydrauliques égales en série ($N_s$) avec le longueur du tube ($\Delta L$) et a longueur capillaire ($l$) par

,

le résultat final est obtenu comme suit :

.

ID:(15909, 0)

Top

>Top

Paramètres

$g$

g

Accélération gravitationnelle

m/s^2

$\rho_w$

rho_w

Densité du liquide

kg/m^3

$\rho_s$

rho_s

Densité solide

kg/m^3

$\pi$

pi

Pi

rad

$R$

R

Rayon du tube

m

$R_h$

R_h

Résistance hydraulique

kg/m^4s

$R_t$

R_t

Résistance hydraulique totale

kg/m^4s

$R_{pt}$

R_pt

Résistance hydraulique totale en parallèle

kg/m^4s

$\eta$

eta

Viscosité

Pa s

Variables

$j_s$

j_s

Densité de flux

m/s

$\Delta s$

Ds

Distance parcourue en un temps

m

$\Delta h$

Dh

Hauteur de la colonne de liquide

m

$l$

l

Longueur capillaire

m

$\Delta L$

DL

Longueur du tube

m

$M_s$

M_s

Masse sèche totale de l'échantillon

kg

$N_p$

N_p

Nombre de résistances hydrauliques égales en parallèle

-

$N_s$

N_s

Nombre de résistances hydrauliques égales en série

-

$f$

f

Porosité

-

$r$

r

Rayon capillaire

m

$S$

S

Section de tube

m^2

$\Delta t$

Dt

Temps écoulé

s

$V_p$

V_p

Volume poreux

m^3

$V_s$

V_s

Volume solide d'un composant

m^3

$V_t$

V_t

Volume total

m^3

$J_V$

J_V

Volumique flux

m^3/s

Calculs

• Méthode alternative
• Méthode traditionnelle
• Stratégie
• 2D
• 3D

Équation

Nombre

D'abord, sélectionnez l'équation: à , puis, sélectionnez la variable: à

---

Calculs

Symbole

Équation

Résolu

Traduit

Calculs

Symbole

Équation

Résolu

Traduit

Variable Donnée Calculer Cible : Équation À utiliser

Équations

ID:(15735, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Le nombre de résistances hydrauliques égales en série ($N_s$) peut être obtenu en divisant le longueur du tube ($\Delta L$) par a longueur capillaire ($l$) :

$N_s = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ l }$

Conditions

Variables

$l$

Longueur capillaire

$m$

10128

$\Delta L$

Longueur du tube

$m$

5430

$N_s$

Nombre de résistances hydrauliques égales en série

$-$

10442

Relation

ID:(15904, 0)

Équation

>Top, >Modèle

A porosité ($f$) est la proportion de la section vide par laquelle le liquide s'écoule par rapport à A section de tube ($S$). La première est calculée en multipliant la section de chaque capillaire, le rayon du tube ($R$), par le nombre de résistances hydrauliques égales en parallèle ($N_p$), de sorte que :

$f = \displaystyle\frac{ N_p \pi r ^2 }{ S }$

$f = \displaystyle\frac{ N_p \pi R ^2 }{ S }$

Conditions

Variables

$N_p$

Nombre de résistances hydrauliques égales en parallèle

$-$

10441

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$f$

Porosité

$-$

5805

$R$

$r$

Rayon capillaire

$m$

10444

$S$

Section de tube

$m^2$

6267

Relation

ID:(15906, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Le nombre de résistances hydrauliques égales en parallèle ($N_p$) est calculé comme la fraction donnée par a porosité ($f$) de a section de tube ($S$), divisée par la section d'un capillaire, le rayon du tube ($R$) :

$N_p = \displaystyle\frac{ f S }{ \pi r ^2}$

$N_p = \displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2}$

Conditions

Variables

$N_p$

Nombre de résistances hydrauliques égales en parallèle

$-$

10441

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$f$

Porosité

$-$

5805

$R$

$r$

Rayon capillaire

$m$

10444

$S$

Section de tube

$m^2$

6267

Relation

ID:(15905, 0)

Équation

>Top, >Modèle

A résistance hydraulique totale en parallèle ($R_{pt}$) est le résultat pour a résistance hydraulique ($R_h$) valeurs identiques, obtenu en divisant ce nombre par le nombre de résistances hydrauliques égales en parallèle ($N_p$) :

$R_{pt} = \displaystyle\frac{ R_h }{ N_p }$

Conditions

Variables

$N_p$

Nombre de résistances hydrauliques égales en parallèle

$-$

10441

$R_h$

Résistance hydraulique

$kg/m^4s$

5424

$R_{pt}$

Résistance hydraulique totale en parallèle

$kg/m^4s$

5429

Relation

ID:(15902, 0)

Équation

>Top, >Modèle

A résistance hydraulique totale en série ($R_{st}$) est calculé en multipliant a résistance hydraulique ($R_h$) par le nombre de résistances hydrauliques égales en série ($N_s$) :

$R_t = N_s R_{pt}$

$R_{st} = N_s R_h$

Conditions

Variables

$N_s$

Nombre de résistances hydrauliques égales en série

$-$

10442

$R_h$

$R_{pt}$

Résistance hydraulique totale en parallèle

$kg/m^4s$

5429

$R_{st}$

$R_t$

Résistance hydraulique totale

$kg/m^4s$

10443

Relation

ID:(15903, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Puisque a résistance hydraulique ($R_h$) est égal à l'inverse de a conductance hydraulique ($G_h$), il peut être calculé à partir de l'expression de ce dernier. De cette manière, nous pouvons identifier des paramètres liés à la géométrie (le longueur du tube ($\Delta L$) et le rayon du tube ($R$)) et au type de liquide (a viscosité ($\eta$)), qui peuvent être collectivement désignés sous le nom de une résistance hydraulique ($R_h$) :

$R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | l | }{ \pi r ^4}$

$R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$

Conditions

Variables

$\Delta L$

$l$

Longueur capillaire

$m$

10128

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$R$

$r$

Rayon capillaire

$m$

10444

$R_h$

Résistance hydraulique

$kg/m^4s$

5424

$\eta$

Viscosité

$Pa s$

5422

Relation

Développement

Puisque a résistance hydraulique ($R_h$) est égal à A conductance hydraulique ($G_h$) conformément à l'équation suivante :

$R_h = \displaystyle\frac{1}{ G_h }$

et puisque a conductance hydraulique ($G_h$) est exprimé en termes de a viscosité ($\eta$), le rayon du tube ($R$), et le longueur du tube ($\Delta L$) comme suit :

$G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$

nous pouvons en conclure que :

$R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$

ID:(3629, 0)

Équation

>Top, >Modèle

A résistance hydraulique totale ($R_t$) est calculé à partir d'un type de densité de résistance hydraulique, qui dépend de a viscosité ($\eta$), a porosité ($f$) et le rayon du tube ($R$), ainsi que des facteurs géométriques le longueur du tube ($\Delta L$) et a section de tube ($S$) :

$R_t = \displaystyle\frac{ 8 \eta }{ f r ^2 }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$

$R_t = \displaystyle\frac{ 8 \eta }{ f R ^2 }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$

Conditions

Variables

$\Delta L$

Longueur du tube

$m$

5430

$f$

Porosité

$-$

5805

$R$

$r$

Rayon capillaire

$m$

10444

$R_t$

Résistance hydraulique totale

$kg/m^4s$

10443

$S$

Section de tube

$m^2$

6267

$\eta$

Viscosité

$Pa s$

5422

Relation

ID:(15907, 0)

Équation

>Top, >Modèle

La différence de hauteur, représentée par a différence de hauteur ($\Delta h$), implique que la pression dans les deux colonnes est différente. En particulier, a différence de pression ($\Delta p$) est une fonction de a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), et a différence de hauteur ($\Delta h$), comme suit :

$\Delta p = \rho_w g \Delta h$

Conditions

Variables

$g$

Accélération gravitationnelle

9.8

$m/s^2$

5310

$\rho_w$

Densité du liquide

$kg/m^3$

5407

$\Delta h$

Hauteur de la colonne de liquide

$m$

5819

Relation

Développement

S'il existe a différence de pression ($\Delta p$) entre deux points, comme le détermine l'équation :

$\Delta p = p_2 - p_1$

nous pouvons utiliser a pression de la colonne d'eau ($p$), qui est définie comme suit :

$p_t = p_0 + \rho_w g h$

Cela donne :

$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$

Comme a différence de hauteur ($\Delta h$) est définie comme suit :

$\Delta h = h_2 - h_1$

a différence de pression ($\Delta p$) peut être exprimée comme suit :

$\Delta p = \rho_w g \Delta h$

ID:(4345, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Si nous avons un tube avec une a section de tube ($S$) se déplaçant sur une distance le élément tubulaire ($\Delta s$) le long de son axe, ayant déplacé Le élément de volume ($\Delta V$), alors cela é égal à :

$V_t = S \Delta L$

$\Delta V = S \Delta s$

Conditions

Variables

$\Delta V$

$V_t$

Volume total

$m^3$

4946

$\Delta s$

$\Delta L$

Longueur du tube

$m$

5430

$S$

Section de tube

$m^2$

6267

Relation

ID:(3469, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Une densité de flux ($j_s$) peut être exprimé en termes de le volumique flux ($J_V$) à l'aide de a coupe ou surface ($S$) par la formule suivante :

$j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

Conditions

Variables

$S$

$S$

Section de tube

$m^2$

6267

$j_s$

Densité de flux

$m/s$

7220

$J_V$

Volumique flux

$m^3/s$

5448

Relation

Développement

Le flux est défini comme le volume le élément de volume ($\Delta V$) divisé par le temps le temps écoulé ($\Delta t$), ce qui est exprimé dans l'équation suivante :

$J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$

et le volume est égal à la section transversale a section de tube ($S$) multipliée par la distance parcourue le élément tubulaire ($\Delta s$) :

$\Delta V = S \Delta s$

Étant donné que la distance parcourue le élément tubulaire ($\Delta s$) par unité de temps le temps écoulé ($\Delta t$) correspond à la vitesse, elle est représentée par :

$j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Ainsi, le flux est une densité de flux ($j_s$), qui est calculé à l'aide de :

$j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

ID:(4349, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Darcy réécrit l'équation de Hagen Poiseuille de sorte que a différence de pression ($\Delta p$) soit égal à A résistance hydraulique ($R_h$) fois le volumique flux ($J_V$) :

$\Delta p = R_t J_V$

$\Delta p = R_h J_V$

Conditions

Variables

$R_h$

$R_t$

Résistance hydraulique totale

$kg/m^4s$

10443

$J_V$

Volumique flux

$m^3/s$

5448

Relation

Développement

Le volumique flux ($J_V$) peut être calculé à partir de a conductance hydraulique ($G_h$) et a différence de pression ($\Delta p$) en utilisant l'équation suivante :

$J_V = G_h \Delta p$

De plus, en utilisant la relation pour a résistance hydraulique ($R_h$) :

$R_h = \displaystyle\frac{1}{ G_h }$

on obtient :

$\Delta p = R_h J_V$

ID:(3179, 0)

Équation

>Top, >Modèle

A porosité ($f$) exprime la relation entre le volume poreux ($V_p$) et le volume total ($V_t$), ce qui nous permet de définir l'équation de la manière suivante :

$f =\displaystyle\frac{ V_p }{ V_t }$

Conditions

Variables

$f$

Porosité

$-$

5805

$V_p$

Volume poreux

$m^3$

5806

$V_t$

Volume total

$m^3$

4946

Relation

ID:(4245, 0)

Équation

>Top, >Modèle

A section ($S$) de un rayon du disque ($r$) est calculée comme suit :

$S = \pi R ^2$

$S = \pi r ^2$

Conditions

Variables

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$r$

$R$

Rayon du tube

$m$

5417

$S$

$S$

Section de tube

$m^2$

6267

Relation

ID:(3804, 0)

Équation

>Top, >Modèle

A vitesse moyenne ($\bar{v}$) peut être calculé à partir de a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) et le temps écoulé ($\Delta t$) en utilisant :

$j_s \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

$\bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Conditions

Variables

$\Delta s$

Distance parcourue en un temps

$m$

6025

$\Delta t$

Temps écoulé

$s$

5103

$\bar{v}$

$j_s$

Densité de flux

$m/s$

7220

Relation

ID:(3152, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Le volume total ($V_t$) est la somme de le volume poreux ($V_p$), qui comprend à la fois les micropores et les macropores dans le sol, et a masse sèche totale de l'échantillon ($M_s$), de manière que :

$V_t = V_s + V_p$

Conditions

Variables

$V_p$

Volume poreux

$m^3$

5806

$V_s$

Volume solide d'un composant

$m^3$

6038

$V_t$

Volume total

$m^3$

4946

Relation

ID:(4726, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Puisque nous connaissons déjà A masse sèche totale de l'échantillon ($M_s$) et le volume solide ($V_s$) à partir de l'échantillon, nous pouvons introduire a densité solide ($\rho_s$) et le calculer à l'aide de l'équation suivante :

$\rho_s = \displaystyle\frac{ M_s }{ V_s }$

Conditions

Variables

$\rho_s$

Densité solide

$kg/m^3$

4944

$M_s$

Masse sèche totale de l'échantillon

$kg$

5987

$V_s$

Volume solide d'un composant

$m^3$

6038

Relation

ID:(15073, 0)