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Poröser mittlerer hydraulischer Widerstand
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Das Darcysche Gesetz berücksichtigt einen hydraulischen Widerstand, der in seiner Grundform dem eines Rohres mit bestimmter Länge und Radius entspricht. In vielen Fällen strömt die Flüssigkeit jedoch durch ein Medium, das Poren enthält und nicht nur eine einzige Höhlung. Diese Poren fungieren als Kapillaren, deren hydraulischer Widerstand wie bei kleinen Rohren modelliert werden kann. Die Summe dieser mehrfachen hydraulischen Widerstände in Parallelschaltung bildet den gesamten hydraulischen Widerstand eines porösen Materials.
ID:(2071, 0)
Poröser mittlerer hydraulischer Widerstand
Beschreibung
Das Darcysche Gesetz berücksichtigt einen hydraulischen Widerstand, der in seiner Grundform dem eines Rohres mit bestimmter Länge und Radius entspricht. In vielen Fällen strömt die Flüssigkeit jedoch durch ein Medium, das Poren enthält und nicht nur eine einzige Höhlung. Diese Poren fungieren als Kapillaren, deren hydraulischer Widerstand wie bei kleinen Rohren modelliert werden kann. Die Summe dieser mehrfachen hydraulischen Widerstände in Parallelschaltung bildet den gesamten hydraulischen Widerstand eines porösen Materials.
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Gleichungen
Der Volumenstrom ($J_V$) kann aus die Hydraulische Leitfähigkeit ($G_h$) und die Druckunterschied ($\Delta p$) unter Verwendung der folgenden Gleichung berechnet werden:
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
Weiterhin, unter Verwendung der Beziehung f r die Hydraulic Resistance ($R_h$):
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{ G_h }$ |
ergibt sich:
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
(ID 3179)
(ID 3469)
Da die Hydraulic Resistance ($R_h$) gem der folgenden Gleichung gleich die Hydraulische Leitfähigkeit ($G_h$) ist:
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{ G_h }$ |
und da die Hydraulische Leitfähigkeit ($G_h$) wie folgt in Bezug auf die Viskosität ($\eta$), der Rohrradius ($R$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) ausgedr ckt wird:
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
k nnen wir folgern, dass:
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
(ID 3629)
(ID 3804)
Wenn zwischen zwei Punkten die Druckunterschied ($\Delta p$) existiert, wie durch die Gleichung bestimmt:
| $ dp = p - p_0 $ |
k nnen wir die Druck der Wassersäule ($p$) verwenden, definiert als:
| $ p_t = p_0 + \rho_w g h $ |
Dies ergibt:
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Da die Höhendifferenz ($\Delta h$) wie folgt definiert ist:
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
kann die Druckunterschied ($\Delta p$) wie folgt ausgedr ckt werden:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
(ID 4345)
Der Fluss wird als das Volumen der Volumenelement ($\Delta V$) geteilt durch die Zeit der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) definiert, was durch die folgende Gleichung ausgedr ckt wird:
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
und das Volumen ist das Produkt der Querschnittsfl che die Rohr Sektion ($S$) mit dem zur ckgelegten Weg der Rohrelement ($\Delta s$):
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
Da der zur ckgelegte Weg der Rohrelement ($\Delta s$) pro Zeiteinheit der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) der Geschwindigkeit entspricht, wird dies durch die folgende Gleichung dargestellt:
| $ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Somit ist der Fluss eine Flussdichte ($j_s$), der mit der folgenden Gleichung berechnet wird:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
(ID 4349)
(ID 4726)
(ID 15903)
Beispiele
(ID 15730)
Wenn das por se Medium als ein Netzwerk von die Hydraulic Resistance ($R_h$) identischen Elementen modelliert wird, die parallel in Gruppen von der Anzahl gleicher hydraulischer Widerstände parallel ($N_p$) verbunden sind und anschlie end seriell als der Anzahl gleicher hydraulischer Widerstände in Reihe ($N_s$) summiert werden:
Auf diese Weise wird die allgemeine Parallelsumme, die die Insgesamt hydraulischen Widerstand in Parallel ($R_{pt}$) ergibt, gem
| $\displaystyle\frac{1}{ R_{pt} }=\sum_k\displaystyle\frac{1}{ R_{hk} }$ |
in
| $ R_{pt} = \displaystyle\frac{ R_h }{ N_p }$ |
umgewandelt.
Analog dazu wird die allgemeine Seriellsumme, die die Insgesamt hydraulischen Widerstand in Serie ($R_{st}$) gem
| $ R_{st} =\displaystyle\sum_k R_{hk} $ |
ergibt, in
| $ R_t = N_s R_{pt} $ |
umgewandelt.
(ID 15908)
Unter Verwendung der Definition von die Hydraulic Resistance ($R_h$) mit den Werten die Viskosität ($\eta$), der Rohrlänge ($\Delta L$) und der Rohrradius ($R$) gem
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | l | }{ \pi r ^4}$ |
,
und durch die Berechnung von der Anzahl gleicher hydraulischer Widerstände parallel ($N_p$) aus die Porosität ($f$) und die Rohr Sektion ($S$) gem
| $ N_p = \displaystyle\frac{ f S }{ \pi r ^2}$ |
,
sowie der Anzahl gleicher hydraulischer Widerstände in Reihe ($N_s$) mit der Rohrlänge ($\Delta L$) und die Kapillarlänge ($l$) durch
| $ N_s = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ l }$ |
,
wird schlie lich
| $ R_t = \displaystyle\frac{ 8 \eta }{ f r ^2 }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$ |
erhalten.
(ID 15909)
(ID 15735)
Der Anzahl gleicher hydraulischer Widerstände in Reihe ($N_s$) kann berechnet werden, indem der Rohrlänge ($\Delta L$) durch die Kapillarlänge ($l$) geteilt wird:
| $ N_s = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ l }$ |
(ID 15904)
Die Porosität ($f$) ist das Verh ltnis des leeren Querschnitts, durch den die Fl ssigkeit flie t, im Verh ltnis zu die Rohr Sektion ($S$). Der erste Wert wird berechnet, indem der Querschnitt jedes Kapillars, der Rohrradius ($R$), mit der Anzahl gleicher hydraulischer Widerstände parallel ($N_p$) multipliziert wird, sodass:
| $ f = \displaystyle\frac{ N_p \pi R ^2 }{ S }$ |
(ID 15906)
Der Anzahl gleicher hydraulischer Widerstände parallel ($N_p$) wird als der Bruch berechnet, der durch die Porosität ($f$) von die Rohr Sektion ($S$) gegeben ist, geteilt durch den Querschnitt eines Kapillars, der Rohrradius ($R$):
| $ N_p = \displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2}$ |
(ID 15905)
Die Insgesamt hydraulischen Widerstand in Parallel ($R_{pt}$) ist das Ergebnis f r die Hydraulic Resistance ($R_h$) identische Werte, das durch die Division dieses Wertes durch der Anzahl gleicher hydraulischer Widerstände parallel ($N_p$) erhalten wird:
| $ R_{pt} = \displaystyle\frac{ R_h }{ N_p }$ |
(ID 15902)
Die Insgesamt hydraulischen Widerstand in Serie ($R_{st}$) wird berechnet, indem man die Hydraulic Resistance ($R_h$) mit der Anzahl gleicher hydraulischer Widerstände in Reihe ($N_s$) multipliziert:
| $ R_{st} = N_s R_h $ |
(ID 15903)
Da die Hydraulic Resistance ($R_h$) dem Kehrwert von die Hydraulische Leitfähigkeit ($G_h$) entspricht, kann es aus dem Ausdruck des letzteren berechnet werden. Auf diese Weise k nnen wir Parameter identifizieren, die mit der Geometrie (der Rohrlänge ($\Delta L$) und der Rohrradius ($R$)) und der Art des Fluids (die Viskosität ($\eta$)) zusammenh ngen und die gemeinsam als eine Hydraulic Resistance ($R_h$) bezeichnet werden k nnen:
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
(ID 3629)
Die Insgesamt hydraulischen Widerstand ($R_t$) wird aus einer Art hydraulischer Widerstandsdichte berechnet, die von die Viskosität ($\eta$), die Porosität ($f$) und der Rohrradius ($R$) sowie von den geometrischen Faktoren der Rohrlänge ($\Delta L$) und die Rohr Sektion ($S$) abh ngt:
| $ R_t = \displaystyle\frac{ 8 \eta }{ f R ^2 }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$ |
(ID 15907)
Der H henunterschied, dargestellt durch die Höhendifferenz ($\Delta h$), bedeutet, dass der Druck in beiden S ulen unterschiedlich ist. Insbesondere ist die Druckunterschied ($\Delta p$) eine Funktion von die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhendifferenz ($\Delta h$), wie folgt:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
(ID 4345)
Wenn wir ein Rohr mit einer die Rohr Sektion ($S$) haben, das eine Strecke von der Rohrelement ($\Delta s$) entlang seiner Achse bewegt hat, nachdem es der Volumenelement ($\Delta V$) verschoben wurde, dann ist es gleich:
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
(ID 3469)
Eine Flussdichte ($j_s$) kann in Bezug auf der Volumenstrom ($J_V$) durch die Abschnitt oder Bereich ($S$) mit der folgenden Formel dargestellt werden:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
(ID 4349)
Darcy schreibt die Hagen-Poiseuille-Gleichung so um, dass die Druckunterschied ($\Delta p$) gleich die Hydraulic Resistance ($R_h$) mal der Volumenstrom ($J_V$) ist:
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
(ID 3179)
Die Porosität ($f$) dr ckt die Beziehung zwischen der Porenvolumen ($V_p$) und das Gesamtvolumen ($V_t$) aus, was es uns erm glicht, die Gleichung wie folgt zu definieren:
| $ f =\displaystyle\frac{ V_p }{ V_t }$ |
(ID 4245)
Die Oberfläche einer Scheibe ($S$) von ein Scheibenradius ($r$) wird wie folgt berechnet:
| $ S = \pi r ^2$ |
(ID 3804)
Die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$) kann aus die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) berechnet werden mit:
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
(ID 3152)
Das Gesamtvolumen ($V_t$) ist die Summe von der Porenvolumen ($V_p$), das sowohl die Mikroporen als auch die Makroporen im Boden einschlie t, und die Gesamttrockenmasse der Probe ($M_s$), so dass:
| $ V_t = V_s + V_p $ |
(ID 4726)
Da wir bereits die Gesamttrockenmasse der Probe ($M_s$) und das Solides Volumen ($V_s$) aus der Probe kennen, k nnen wir die Festkörperdichte ($\rho_s$) einf hren und es mithilfe der folgenden Gleichung berechnen:
| $ \rho_s = \displaystyle\frac{ M_s }{ V_s }$ |
(ID 15073)
ID:(2071, 0)