Storyboard

A Lei de Darcy considera uma resistência hidráulica que, em sua versão básica, corresponde à de um tubo com um comprimento e raio específicos. No entanto, em muitas situações, o líquido flui através de um meio que contém poros em vez de uma única cavidade. Esses poros atuam como capilares, cuja resistência hidráulica pode ser modelada como a de pequenos tubos. A soma dessas múltiplas resistências hidráulicas em paralelo forma a resistência hidráulica total de um material poroso.

>Modelo

ID:(2071, 0)

Iframe

>Top

ID:(15730, 0)

Conceito

>Top

Se o meio poroso for modelado como uma rede de la resistência hidráulica ($R_h$) elementos idênticos conectados em paralelo em grupos de o número de resistências hidráulicas iguais em paralelo ($N_p$), que são posteriormente somados em série como o número de resistências hidráulicas iguais em série ($N_s$):

Dessa forma, a soma geral em paralelo, que resulta em la resistência hidráulica total em paralelo ($R_{pt}$) de acordo com

,

é transformada em

.

De forma semelhante, a soma geral em série, que resulta em la resistência hidráulica total em série ($R_{st}$) de acordo com

,

é transformada em

.

ID:(15908, 0)

Conceito

>Top

Usando a definição de la resistência hidráulica ($R_h$) com os valores la viscosidade ($\eta$), o comprimento do tubo ($\Delta L$) e o raio do tubo ($R$) de acordo com

,

e calculando o número de resistências hidráulicas iguais em paralelo ($N_p$) a partir de la porosidade ($f$) e la seção de tubo ($S$) usando

,

além de o número de resistências hidráulicas iguais em série ($N_s$) com o comprimento do tubo ($\Delta L$) e la comprimento capilar ($l$) através de

,

obtém-se finalmente

.

ID:(15909, 0)

Top

>Top

Parâmetros

$g$

g

Aceleração gravitacional

m/s^2

$\rho_w$

rho_w

Densidade líquida

kg/m^3

$\rho_s$

rho_s

Densidade sólida

kg/m^3

$\pi$

pi

Pi

rad

$R$

R

Raio do tubo

m

$R_h$

R_h

Resistência hidráulica

kg/m^4s

$R_t$

R_t

Resistência hidráulica total

kg/m^4s

$R_{pt}$

R_pt

Resistência hidráulica total em paralelo

kg/m^4s

$\eta$

eta

Viscosidade

Pa s

Variáveis

$\Delta h$

Dh

Altura da coluna líquida

m

$l$

l

Comprimento capilar

m

$\Delta L$

DL

Comprimento do tubo

m

$j_s$

j_s

Densidade de fluxo

m/s

$\Delta s$

Ds

Distância percorrida em um tempo

m

$J_V$

J_V

Fluxo de volume

m^3/s

$M_s$

M_s

Massa seca total da amostra

kg

$N_p$

N_p

Número de resistências hidráulicas iguais em paralelo

-

$N_s$

N_s

Número de resistências hidráulicas iguais em série

-

$f$

f

Porosidade

-

$r$

r

Raio capilar

m

$S$

S

Seção de tubo

m^2

$\Delta t$

Dt

Tempo decorrido

s

$V_p$

V_p

Volume de poro

m^3

$V_s$

V_s

Volume sólido de um componente

m^3

$V_t$

V_t

Volume total

m^3

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estratégia
• 2D
• 3D

Equação

Equação

Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

---

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado

Equações

ID:(15735, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O número de resistências hidráulicas iguais em série ($N_s$) pode ser obtido dividindo o comprimento do tubo ($\Delta L$) por la comprimento capilar ($l$):

$N_s = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ l }$

Condições

Variáveis

$l$

Comprimento capilar

$m$

10128

$\Delta L$

Comprimento do tubo

$m$

5430

$N_s$

Número de resistências hidráulicas iguais em série

$-$

10442

Relação

ID:(15904, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La porosidade ($f$) é a proporção da seção vazia por onde o líquido flui em relação a la seção de tubo ($S$). A primeira é calculada multiplicando a seção de cada capilar, o raio do tubo ($R$), por o número de resistências hidráulicas iguais em paralelo ($N_p$), de modo que:

$f = \displaystyle\frac{ N_p \pi r ^2 }{ S }$

$f = \displaystyle\frac{ N_p \pi R ^2 }{ S }$

Condições

Variáveis

$N_p$

Número de resistências hidráulicas iguais em paralelo

$-$

10441

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$f$

Porosidade

$-$

5805

$R$

$r$

Raio capilar

$m$

10444

$S$

Seção de tubo

$m^2$

6267

Relação

ID:(15906, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O número de resistências hidráulicas iguais em paralelo ($N_p$) é calculado como a fração dada por la porosidade ($f$) de la seção de tubo ($S$), dividida pela seção de um capilar, o raio do tubo ($R$):

$N_p = \displaystyle\frac{ f S }{ \pi r ^2}$

$N_p = \displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2}$

Condições

Variáveis

$N_p$

Número de resistências hidráulicas iguais em paralelo

$-$

10441

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$f$

Porosidade

$-$

5805

$R$

$r$

Raio capilar

$m$

10444

$S$

Seção de tubo

$m^2$

6267

Relação

ID:(15905, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La resistência hidráulica total em paralelo ($R_{pt}$) é o resultado para la resistência hidráulica ($R_h$) valores idênticos, obtido dividindo este valor por o número de resistências hidráulicas iguais em paralelo ($N_p$):

$R_{pt} = \displaystyle\frac{ R_h }{ N_p }$

Condições

Variáveis

$N_p$

Número de resistências hidráulicas iguais em paralelo

$-$

10441

$R_h$

Resistência hidráulica

$kg/m^4s$

5424

$R_{pt}$

Resistência hidráulica total em paralelo

$kg/m^4s$

5429

Relação

ID:(15902, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La resistência hidráulica total em série ($R_{st}$) é calculado multiplicando la resistência hidráulica ($R_h$) por o número de resistências hidráulicas iguais em série ($N_s$):

$R_t = N_s R_{pt}$

$R_{st} = N_s R_h$

Condições

Variáveis

$N_s$

Número de resistências hidráulicas iguais em série

$-$

10442

$R_h$

$R_{pt}$

Resistência hidráulica total em paralelo

$kg/m^4s$

5429

$R_{st}$

$R_t$

Resistência hidráulica total

$kg/m^4s$

10443

Relação

ID:(15903, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Como la resistência hidráulica ($R_h$) é igual ao inverso de la condutância hidráulica ($G_h$), ele pode ser calculado a partir da expressão deste último. Dessa forma, podemos identificar parâmetros relacionados à geometria (o comprimento do tubo ($\Delta L$) e o raio do tubo ($R$)) e ao tipo de líquido (la viscosidade ($\eta$)), que podem ser denominados coletivamente como uma resistência hidráulica ($R_h$):

$R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | l | }{ \pi r ^4}$

$R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$

Condições

Variáveis

$\Delta L$

$l$

Comprimento capilar

$m$

10128

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$R$

$r$

Raio capilar

$m$

10444

$R_h$

Resistência hidráulica

$kg/m^4s$

5424

$\eta$

Viscosidade

$Pa s$

5422

Relação

Desenvolvimento

Uma vez que la resistência hidráulica ($R_h$) é igual a la condutância hidráulica ($G_h$) conforme a seguinte equação:

$R_h = \displaystyle\frac{1}{ G_h }$

e uma vez que la condutância hidráulica ($G_h$) é expresso em termos de la viscosidade ($\eta$), o raio do tubo ($R$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$) da seguinte forma:

$G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$

podemos concluir que:

$R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$

ID:(3629, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La resistência hidráulica total ($R_t$) é calculado a partir de um tipo de densidade de resistência hidráulica, que depende de la viscosidade ($\eta$), la porosidade ($f$) e o raio do tubo ($R$), assim como dos fatores geométricos o comprimento do tubo ($\Delta L$) e la seção de tubo ($S$):

$R_t = \displaystyle\frac{ 8 \eta }{ f r ^2 }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$

$R_t = \displaystyle\frac{ 8 \eta }{ f R ^2 }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$

Condições

Variáveis

$\Delta L$

Comprimento do tubo

$m$

5430

$f$

Porosidade

$-$

5805

$R$

$r$

Raio capilar

$m$

10444

$R_t$

Resistência hidráulica total

$kg/m^4s$

10443

$S$

Seção de tubo

$m^2$

6267

$\eta$

Viscosidade

$Pa s$

5422

Relação

ID:(15907, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A diferença de altura, representada por la diferença de altura ($\Delta h$), implica que a pressão em ambas as colunas é diferente. Em particular, la diferença de pressão ($\Delta p$) é uma função de la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$) e la diferença de altura ($\Delta h$), da seguinte forma:

$\Delta p = \rho_w g \Delta h$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\Delta h$

Altura da coluna líquida

$m$

5819

$\rho_w$

Densidade líquida

$kg/m^3$

5407

Relação

Desenvolvimento

Se houver la diferença de pressão ($\Delta p$) entre dois pontos, conforme determinado pela equação:

$\Delta p = p_2 - p_1$

podemos usar la pressão da coluna de água ($p$), que é definida como:

$p_t = p_0 + \rho_w g h$

Isso resulta em:

$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$

Como la diferença de altura ($\Delta h$) é:

$\Delta h = h_2 - h_1$

la diferença de pressão ($\Delta p$) pode ser expressa como:

$\Delta p = \rho_w g \Delta h$

ID:(4345, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se tivermos um tubo com uma la seção de tubo ($S$) que se desloca uma distância de o elemento de tubo ($\Delta s$) ao longo do seu eixo, tendo deslocado o elemento de volume ($\Delta V$), então é igual a:

$V_t = S \Delta L$

$\Delta V = S \Delta s$

Condições

Variáveis

$\Delta s$

$\Delta L$

Comprimento do tubo

$m$

5430

$\Delta V$

$V_t$

Volume total

$m^3$

4946

$S$

Seção de tubo

$m^2$

6267

Relação

ID:(3469, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Uma densidade de fluxo ($j_s$) pode ser expresso em termos de o fluxo de volume ($J_V$) utilizando la seção ou superfície ($S$) através da seguinte fórmula:

$j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

Condições

Variáveis

$j_s$

Densidade de fluxo

$m/s$

7220

$J_V$

Fluxo de volume

$m^3/s$

5448

$S$

$S$

Seção de tubo

$m^2$

6267

Relação

Desenvolvimento

O fluxo é definido como o volume o elemento de volume ($\Delta V$) dividido pelo tempo o tempo decorrido ($\Delta t$), conforme expresso na seguinte equação:

$J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$

e o volume é igual à área da seção la seção de tubo ($S$) multiplicada pela distância percorrida o elemento de tubo ($\Delta s$):

$\Delta V = S \Delta s$

Como a distância percorrida o elemento de tubo ($\Delta s$) por unidade de tempo o tempo decorrido ($\Delta t$) corresponde à velocidade, ela é representada por:

$j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Assim, o fluxo é Uma densidade de fluxo ($j_s$), que é calculado usando:

$j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

ID:(4349, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Darcy reescreve a equação de Hagen Poiseuille de modo que la diferença de pressão ($\Delta p$) seja igual a la resistência hidráulica ($R_h$) vezes o fluxo de volume ($J_V$):

$\Delta p = R_t J_V$

$\Delta p = R_h J_V$

Condições

Variáveis

$J_V$

Fluxo de volume

$m^3/s$

5448

$R_h$

$R_t$

Resistência hidráulica total

$kg/m^4s$

10443

Relação

Desenvolvimento

O fluxo de volume ($J_V$) pode ser calculado a partir de la condutância hidráulica ($G_h$) e la diferença de pressão ($\Delta p$) usando a seguinte equação:

$J_V = G_h \Delta p$

Além disso, usando a relação para la resistência hidráulica ($R_h$):

$R_h = \displaystyle\frac{1}{ G_h }$

obtém-se o resultado:

$\Delta p = R_h J_V$

ID:(3179, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La porosidade ($f$) expressa a relação entre o volume de poro ($V_p$) e o volume total ($V_t$), o que nos permite definir a equação da seguinte forma:

$f =\displaystyle\frac{ V_p }{ V_t }$

Condições

Variáveis

$f$

Porosidade

$-$

5805

$V_p$

Volume de poro

$m^3$

5806

$V_t$

Volume total

$m^3$

4946

Relação

ID:(4245, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La superfície de um disco ($S$) de um raio do disco ($r$) é calculada da seguinte forma:

$S = \pi R ^2$

$S = \pi r ^2$

Condições

Variáveis

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$r$

$R$

Raio do tubo

$m$

5417

$S$

$S$

Seção de tubo

$m^2$

6267

Relação

ID:(3804, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La velocidade média ($\bar{v}$) pode ser calculado a partir de la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) e o tempo decorrido ($\Delta t$) usando:

$j_s \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

$\bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Condições

Variáveis

$\Delta s$

Distância percorrida em um tempo

$m$

6025

$\Delta t$

Tempo decorrido

$s$

5103

$\bar{v}$

$j_s$

Densidade de fluxo

$m/s$

7220

Relação

ID:(3152, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O volume total ($V_t$) é a soma de o volume de poro ($V_p$), que inclui tanto os microporos quanto os macroporos no solo, e la massa seca total da amostra ($M_s$), de modo que:

$V_t = V_s + V_p$

Condições

Variáveis

$V_p$

Volume de poro

$m^3$

5806

$V_s$

Volume sólido de um componente

$m^3$

6038

$V_t$

Volume total

$m^3$

4946

Relação

ID:(4726, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Uma vez que já conhecemos la massa seca total da amostra ($M_s$) e o volume sólido ($V_s$) da amostra, podemos introduzir la densidade sólida ($\rho_s$) e calculá-lo usando a seguinte equação:

$\rho_s = \displaystyle\frac{ M_s }{ V_s }$

Condições

Variáveis

$\rho_s$

Densidade sólida

$kg/m^3$

4944

$M_s$

Massa seca total da amostra

$kg$

5987

$V_s$

Volume sólido de um componente

$m^3$

6038

Relação

ID:(15073, 0)