Storyboard

La ley de Darcy considera una resistencia hidráulica que, en su versión básica, corresponde a la de un tubo con un largo y radio específicos. Sin embargo, en muchas situaciones, el líquido fluye a través de un medio que contiene poros en lugar de una única cavidad. Estos poros actúan como capilares, cuya resistencia hidráulica se puede modelar como la de pequeños tubos. La suma de estas múltiples resistencias hidráulicas en paralelo constituye la resistencia hidráulica total de un material poroso.

>Modelo

ID:(2071, 0)

Iframe

>Top

ID:(15730, 0)

Concepto

>Top

Si se modela el medio poroso como una red de la resistencia hidráulica ($R_h$) elementos idénticos conectados en paralelo en grupos de el número de resistencias hidráulicas iguales en paralelo ($N_p$), que luego se suman en serie como el número de resistencias hidráulicas iguales en serie ($N_s$):

De esta manera, la suma general en paralelo, que da como resultado la resistencia hidráulica total en paralelo ($R_{pt}$) según

,

se transforma en

.

De forma análoga, la suma general en serie, que resulta en la resistencia hidráulica total en serie ($R_{st}$) mediante

,

se transforma en

.

ID:(15908, 0)

Concepto

>Top

Utilizando la definición de la resistencia hidráulica ($R_h$) con los valores la viscosidad ($\eta$), el largo de tubo ($\Delta L$) y el radio del tubo ($R$) según

,

y calculando el número de resistencias hidráulicas iguales en paralelo ($N_p$) a partir de la porosidad ($f$) y la sección del tubo ($S$) usando

además de el número de resistencias hidráulicas iguales en serie ($N_s$) con el largo de tubo ($\Delta L$) y la largo del capilar ($l$) mediante

,

se obtiene finalmente

.

ID:(15909, 0)

Top

>Top

Parámetros

$g$

g

Aceleración gravitacional

m/s^2

$\rho_w$

rho_w

Densidad del líquido

kg/m^3

$\rho_s$

rho_s

Densidad sólida

kg/m^3

$\Delta p$

Dp

Diferencial de la presión

Pa

$\pi$

pi

Pi

rad

$R$

R

Radio del tubo

m

$R_h$

R_h

Resistencia hidráulica

kg/m^4s

$R_t$

R_t

Resistencia hidráulica total

kg/m^4s

$R_{pt}$

R_pt

Resistencia hidráulica total en paralelo

kg/m^4s

$\eta$

eta

Viscosidad

Pa s

Variables

$\Delta h$

Dh

Altura de la columna del liquido

m

$j_s$

j_s

Densidad de flujo

m/s

$\Delta s$

Ds

Distancia recorrida en un tiempo

m

$J_V$

J_V

Flujo de volumen

m^3/s

$\Delta L$

DL

Largo de tubo

m

$l$

l

Largo del capilar

m

$M_s$

M_s

Masa seca total de la muestra

kg

$N_p$

N_p

Número de resistencias hidráulicas iguales en paralelo

-

$N_s$

N_s

Número de resistencias hidráulicas iguales en serie

-

$f$

f

Porosidad

-

$r$

r

Radio del capilar

m

$S$

S

Sección del tubo

m^2

$\Delta t$

Dt

Tiempo transcurrido

s

$V_p$

V_p

Volumen de los poros

m^3

$V_s$

V_s

Volumen sólido de una componente

m^3

$V_t$

V_t

Volumen total

m^3

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estrategia
• 2D
• 3D

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación: a , luego, seleccione la variable: a

---

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable Dado Calcule Objetivo : Ecuación A utilizar

Ecuaciones

ID:(15735, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El número de resistencias hidráulicas iguales en serie ($N_s$) se puede obtener dividiendo el largo de tubo ($\Delta L$) entre la largo del capilar ($l$):

$N_s = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ l }$

Condiciones

Variables

$\Delta L$

Largo de tubo

$m$

5430

$l$

Largo del capilar

$m$

10128

$N_s$

Número de resistencias hidráulicas iguales en serie

$-$

10442

Relación

ID:(15904, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La porosidad ($f$) es la proporción de la sección vacía por la que fluye el líquido en relación con la sección del tubo ($S$). La primera se calcula multiplicando la sección de cada capilar, el radio del tubo ($R$), por el número de resistencias hidráulicas iguales en paralelo ($N_p$), de modo que:

$f = \displaystyle\frac{ N_p \pi r ^2 }{ S }$

$f = \displaystyle\frac{ N_p \pi R ^2 }{ S }$

Condiciones

Variables

$N_p$

Número de resistencias hidráulicas iguales en paralelo

$-$

10441

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$f$

Porosidad

$-$

5805

$R$

$r$

Radio del capilar

$m$

10444

$S$

Sección del tubo

$m^2$

6267

Relación

ID:(15906, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El número de resistencias hidráulicas iguales en paralelo ($N_p$) se calcula como la fracción dada por la porosidad ($f$) de la sección del tubo ($S$), dividida por la sección de un capilar, el radio del tubo ($R$):

$N_p = \displaystyle\frac{ f S }{ \pi r ^2}$

$N_p = \displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2}$

Condiciones

Variables

$N_p$

Número de resistencias hidráulicas iguales en paralelo

$-$

10441

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$f$

Porosidad

$-$

5805

$R$

$r$

Radio del capilar

$m$

10444

$S$

Sección del tubo

$m^2$

6267

Relación

ID:(15905, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La resistencia hidráulica total en paralelo ($R_{pt}$) es el resultado para la resistencia hidráulica ($R_h$) valores idénticos, obtenidos al dividir este por el número de resistencias hidráulicas iguales en paralelo ($N_p$):

$R_{pt} = \displaystyle\frac{ R_h }{ N_p }$

Condiciones

Variables

$N_p$

Número de resistencias hidráulicas iguales en paralelo

$-$

10441

$R_h$

Resistencia hidráulica

$kg/m^4s$

5424

$R_{pt}$

Resistencia hidráulica total en paralelo

$kg/m^4s$

5429

Relación

ID:(15902, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La resistencia hidráulica total en serie ($R_{st}$) se calcula multiplicando la resistencia hidráulica ($R_h$) por el número de resistencias hidráulicas iguales en serie ($N_s$):

$R_t = N_s R_{pt}$

$R_{st} = N_s R_h$

Condiciones

Variables

$N_s$

Número de resistencias hidráulicas iguales en serie

$-$

10442

$R_h$

$R_{pt}$

Resistencia hidráulica total en paralelo

$kg/m^4s$

5429

$R_{st}$

$R_t$

Resistencia hidráulica total

$kg/m^4s$

10443

Relación

ID:(15903, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Dado que la resistencia hidráulica ($R_h$) es igual al inverso de la conductancia hidráulica ($G_h$), podemos calcularlo a partir de la expresión de este último. De esta manera, podemos identificar parámetros relacionados con la geometría (el largo de tubo ($\Delta L$) y el radio del tubo ($R$)) y el tipo de líquido (la viscosidad ($\eta$)), que pueden ser denominados colectivamente como una resistencia hidráulica ($R_h$):

$R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | l | }{ \pi r ^4}$

$R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$

Condiciones

Variables

$\Delta L$

$l$

Largo del capilar

$m$

10128

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$R$

$r$

Radio del capilar

$m$

10444

$R_h$

Resistencia hidráulica

$kg/m^4s$

5424

$\eta$

Viscosidad

$Pa s$

5422

Relación

Desarrollo

Dado que la resistencia hidráulica ($R_h$) es igual a la conductancia hidráulica ($G_h$) según la siguiente ecuación:

$R_h = \displaystyle\frac{1}{ G_h }$

y dado que la conductancia hidráulica ($G_h$) se expresa en términos de la viscosidad ($\eta$), el radio del tubo ($R$) y el largo de tubo ($\Delta L$) de la siguiente manera:

$G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$

podemos concluir que:

$R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$

ID:(3629, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La resistencia hidráulica total ($R_t$) se calcula a partir de un tipo de densidad de resistencia hidráulica, que depende de la viscosidad ($\eta$), la porosidad ($f$), y el radio del tubo ($R$), así como de los factores geométricos el largo de tubo ($\Delta L$) y la sección del tubo ($S$):

$R_t = \displaystyle\frac{ 8 \eta }{ f r ^2 }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$

$R_t = \displaystyle\frac{ 8 \eta }{ f R ^2 }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$

Condiciones

Variables

$\Delta L$

Largo de tubo

$m$

5430

$f$

Porosidad

$-$

5805

$R$

$r$

Radio del capilar

$m$

10444

$R_t$

Resistencia hidráulica total

$kg/m^4s$

10443

$S$

Sección del tubo

$m^2$

6267

$\eta$

Viscosidad

$Pa s$

5422

Relación

ID:(15907, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La diferencia de alturas, representada por la diferencia de altura ($\Delta h$), implica que la presión en ambas columnas es diferente. En particular, la diferencia de presión ($\Delta p$) es una función de la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$) y la diferencia de altura ($\Delta h$), de la siguiente manera:

$\Delta p = \rho_w g \Delta h$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\Delta h$

Altura de la columna del liquido

$m$

5819

$\rho_w$

Densidad del líquido

$kg/m^3$

5407

$\Delta p$

Diferencial de la presión

$Pa$

6673

Relación

Desarrollo

Si hay la diferencia de presión ($\Delta p$) entre dos puntos, como lo indica la ecuación:

$\Delta p = p_2 - p_1$

podemos usar la presión de la columna de agua ($p$), que es:

$p_t = p_0 + \rho_w g h$

Esto nos da:

$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$

Dado que la diferencia de altura ($\Delta h$) es:

$\Delta h = h_2 - h_1$

la diferencia de presión ($\Delta p$) se puede expresar como:

$\Delta p = \rho_w g \Delta h$

ID:(4345, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si tenemos un tubo con una la sección del tubo ($S$) que se desplaza una distancia el elemento del tubo ($\Delta s$) a lo largo de su eje, habiendo trasladado el elemento de volumen ($\Delta V$), igual a:

$V_t = S \Delta L$

$\Delta V = S \Delta s$

Condiciones

Variables

$\Delta V$

$V_t$

Volumen total

$m^3$

4946

$\Delta s$

$\Delta L$

Largo de tubo

$m$

5430

$S$

Sección del tubo

$m^2$

6267

Relación

ID:(3469, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Se puede representar una densidad de flujo ($j_s$) en términos de el flujo de volumen ($J_V$) utilizando la sección o superficie ($S$) mediante la siguiente fórmula:

$j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

Condiciones

Variables

$j_s$

Densidad de flujo

$m/s$

7220

$J_V$

Flujo de volumen

$m^3/s$

5448

$S$

$S$

Sección del tubo

$m^2$

6267

Relación

Desarrollo

El flujo se define como el volumen el elemento de volumen ($\Delta V$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$), lo cual se expresa en la siguiente ecuación:

$J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$

y el volumen es el producto de la sección la sección del tubo ($S$) por el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$):

$\Delta V = S \Delta s$

Dado que el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$) equivale a la velocidad, se representa con:

$j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Por lo tanto, el flujo es una densidad de flujo ($j_s$), que se calcula mediante:

$j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

ID:(4349, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Darcy reescribe la ecuación de Hagen Poiseuille de modo que la diferencia de presión ($\Delta p$) es igual a la resistencia hidráulica ($R_h$) por el flujo de volumen ($J_V$):

$\Delta p = R_t J_V$

$\Delta p = R_h J_V$

Condiciones

Variables

$\Delta p$

Diferencial de la presión

$Pa$

6673

$J_V$

Flujo de volumen

$m^3/s$

5448

$R_h$

$R_t$

Resistencia hidráulica total

$kg/m^4s$

10443

Relación

Desarrollo

El flujo de volumen ($J_V$) se puede determinar a partir de la conductancia hidráulica ($G_h$) y la diferencia de presión ($\Delta p$) utilizando la ecuación siguiente:

$J_V = G_h \Delta p$

Además, utilizando la relación para la resistencia hidráulica ($R_h$):

$R_h = \displaystyle\frac{1}{ G_h }$

se obtiene el resultado final:

$\Delta p = R_h J_V$

ID:(3179, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La porosidad ($f$) expresa la relación entre el volumen de los poros ($V_p$) y el volumen total ($V_t$), lo que nos permite definir la ecuación de la siguiente manera:

$f =\displaystyle\frac{ V_p }{ V_t }$

Condiciones

Variables

$f$

Porosidad

$-$

5805

$V_p$

Volumen de los poros

$m^3$

5806

$V_t$

Volumen total

$m^3$

4946

Relación

ID:(4245, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La superficie de un disco ($S$) de un radio de un disco ($r$) se calcula de la siguiente manera:

$S = \pi R ^2$

$S = \pi r ^2$

Condiciones

Variables

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$r$

$R$

Radio del tubo

$m$

5417

$S$

$S$

Sección del tubo

$m^2$

6267

Relación

ID:(3804, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La velocidad media ($\bar{v}$) se puede calcular de la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) mediante:

$j_s \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

$\bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Condiciones

Variables

$\Delta s$

Distancia recorrida en un tiempo

$m$

6025

$\Delta t$

Tiempo transcurrido

$s$

5103

$\bar{v}$

$j_s$

Densidad de flujo

$m/s$

7220

Relación

ID:(3152, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El volumen total ($V_t$) es la suma de el volumen de los poros ($V_p$), que engloba tanto los microporos como los macroporos en el suelo, y la masa seca total de la muestra ($M_s$), de modo que:

$V_t = V_s + V_p$

Condiciones

Variables

$V_p$

Volumen de los poros

$m^3$

5806

$V_s$

Volumen sólido de una componente

$m^3$

6038

$V_t$

Volumen total

$m^3$

4946

Relación

ID:(4726, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Dado que ya conocemos la masa seca total de la muestra ($M_s$) y el volumen sólido ($V_s$) de la muestra, podemos introducir la densidad sólida ($\rho_s$) y calcularlo utilizando la siguiente ecuación:

$\rho_s = \displaystyle\frac{ M_s }{ V_s }$

Condiciones

Variables

$\rho_s$

Densidad sólida

$kg/m^3$

4944

$M_s$

Masa seca total de la muestra

$kg$

5987

$V_s$

Volumen sólido de una componente

$m^3$

6038

Relación

ID:(15073, 0)