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Resistencia hidráulica medio poroso
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La ley de Darcy considera una resistencia hidráulica que, en su versión básica, corresponde a la de un tubo con un largo y radio específicos. Sin embargo, en muchas situaciones, el líquido fluye a través de un medio que contiene poros en lugar de una única cavidad. Estos poros actúan como capilares, cuya resistencia hidráulica se puede modelar como la de pequeños tubos. La suma de estas múltiples resistencias hidráulicas en paralelo constituye la resistencia hidráulica total de un material poroso.
ID:(2071, 0)
Resistencia hidráulica medio poroso
Descripción
La ley de Darcy considera una resistencia hidráulica que, en su versión básica, corresponde a la de un tubo con un largo y radio específicos. Sin embargo, en muchas situaciones, el líquido fluye a través de un medio que contiene poros en lugar de una única cavidad. Estos poros actúan como capilares, cuya resistencia hidráulica se puede modelar como la de pequeños tubos. La suma de estas múltiples resistencias hidráulicas en paralelo constituye la resistencia hidráulica total de un material poroso.
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El flujo de volumen ($J_V$) se puede determinar a partir de la conductancia hidráulica ($G_h$) y la diferencia de presión ($\Delta p$) utilizando la ecuaci n siguiente:
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
Adem s, utilizando la relaci n para la resistencia hidráulica ($R_h$):
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{ G_h }$ |
se obtiene el resultado final:
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
(ID 3179)
(ID 3469)
Dado que la resistencia hidráulica ($R_h$) es igual a la conductancia hidráulica ($G_h$) seg n la siguiente ecuaci n:
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{ G_h }$ |
y dado que la conductancia hidráulica ($G_h$) se expresa en t rminos de la viscosidad ($\eta$), el radio del tubo ($R$) y el largo de tubo ($\Delta L$) de la siguiente manera:
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
podemos concluir que:
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
(ID 3629)
(ID 3804)
Si hay la diferencia de presión ($\Delta p$) entre dos puntos, como lo indica la ecuaci n:
| $ dp = p - p_0 $ |
podemos usar la presión de la columna de agua ($p$), que es:
| $ p_t = p_0 + \rho_w g h $ |
Esto nos da:
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Dado que la diferencia de altura ($\Delta h$) es:
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
la diferencia de presión ($\Delta p$) se puede expresar como:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
(ID 4345)
El flujo se define como el volumen el elemento de volumen ($\Delta V$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$), lo cual se expresa en la siguiente ecuaci n:
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
y el volumen es el producto de la secci n la sección del tubo ($S$) por el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$):
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
Dado que el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$) equivale a la velocidad, se representa con:
| $ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Por lo tanto, el flujo es una densidad de flujo ($j_s$), que se calcula mediante:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
(ID 4349)
(ID 4726)
(ID 15903)
Ejemplos
(ID 15730)
Si se modela el medio poroso como una red de la resistencia hidráulica ($R_h$) elementos id nticos conectados en paralelo en grupos de el número de resistencias hidráulicas iguales en paralelo ($N_p$), que luego se suman en serie como el número de resistencias hidráulicas iguales en serie ($N_s$):
De esta manera, la suma general en paralelo, que da como resultado la resistencia hidráulica total en paralelo ($R_{pt}$) seg n
| $\displaystyle\frac{1}{ R_{pt} }=\sum_k\displaystyle\frac{1}{ R_{hk} }$ |
,
se transforma en
| $ R_{pt} = \displaystyle\frac{ R_h }{ N_p }$ |
.
De forma an loga, la suma general en serie, que resulta en la resistencia hidráulica total en serie ($R_{st}$) mediante
| $ R_{st} =\displaystyle\sum_k R_{hk} $ |
,
se transforma en
| $ R_t = N_s R_{pt} $ |
.
(ID 15908)
Utilizando la definici n de la resistencia hidráulica ($R_h$) con los valores la viscosidad ($\eta$), el largo de tubo ($\Delta L$) y el radio del tubo ($R$) seg n
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | l | }{ \pi r ^4}$ |
,
y calculando el número de resistencias hidráulicas iguales en paralelo ($N_p$) a partir de la porosidad ($f$) y la sección del tubo ($S$) usando
| $ N_p = \displaystyle\frac{ f S }{ \pi r ^2}$ |
adem s de el número de resistencias hidráulicas iguales en serie ($N_s$) con el largo de tubo ($\Delta L$) y la largo del capilar ($l$) mediante
| $ N_s = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ l }$ |
,
se obtiene finalmente
| $ R_t = \displaystyle\frac{ 8 \eta }{ f r ^2 }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$ |
.
(ID 15909)
(ID 15735)
El número de resistencias hidráulicas iguales en serie ($N_s$) se puede obtener dividiendo el largo de tubo ($\Delta L$) entre la largo del capilar ($l$):
| $ N_s = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ l }$ |
(ID 15904)
La porosidad ($f$) es la proporci n de la secci n vac a por la que fluye el l quido en relaci n con la sección del tubo ($S$). La primera se calcula multiplicando la secci n de cada capilar, el radio del tubo ($R$), por el número de resistencias hidráulicas iguales en paralelo ($N_p$), de modo que:
| $ f = \displaystyle\frac{ N_p \pi R ^2 }{ S }$ |
(ID 15906)
El número de resistencias hidráulicas iguales en paralelo ($N_p$) se calcula como la fracci n dada por la porosidad ($f$) de la sección del tubo ($S$), dividida por la secci n de un capilar, el radio del tubo ($R$):
| $ N_p = \displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2}$ |
(ID 15905)
La resistencia hidráulica total en paralelo ($R_{pt}$) es el resultado para la resistencia hidráulica ($R_h$) valores id nticos, obtenidos al dividir este por el número de resistencias hidráulicas iguales en paralelo ($N_p$):
| $ R_{pt} = \displaystyle\frac{ R_h }{ N_p }$ |
(ID 15902)
La resistencia hidráulica total en serie ($R_{st}$) se calcula multiplicando la resistencia hidráulica ($R_h$) por el número de resistencias hidráulicas iguales en serie ($N_s$):
| $ R_{st} = N_s R_h $ |
(ID 15903)
Dado que la resistencia hidráulica ($R_h$) es igual al inverso de la conductancia hidráulica ($G_h$), podemos calcularlo a partir de la expresi n de este ltimo. De esta manera, podemos identificar par metros relacionados con la geometr a (el largo de tubo ($\Delta L$) y el radio del tubo ($R$)) y el tipo de l quido (la viscosidad ($\eta$)), que pueden ser denominados colectivamente como una resistencia hidráulica ($R_h$):
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
(ID 3629)
La resistencia hidráulica total ($R_t$) se calcula a partir de un tipo de densidad de resistencia hidr ulica, que depende de la viscosidad ($\eta$), la porosidad ($f$), y el radio del tubo ($R$), as como de los factores geom tricos el largo de tubo ($\Delta L$) y la sección del tubo ($S$):
| $ R_t = \displaystyle\frac{ 8 \eta }{ f R ^2 }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$ |
(ID 15907)
La diferencia de alturas, representada por la diferencia de altura ($\Delta h$), implica que la presi n en ambas columnas es diferente. En particular, la diferencia de presión ($\Delta p$) es una funci n de la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$) y la diferencia de altura ($\Delta h$), de la siguiente manera:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
(ID 4345)
Si tenemos un tubo con una la sección del tubo ($S$) que se desplaza una distancia el elemento del tubo ($\Delta s$) a lo largo de su eje, habiendo trasladado el elemento de volumen ($\Delta V$), igual a:
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
(ID 3469)
Se puede representar una densidad de flujo ($j_s$) en t rminos de el flujo de volumen ($J_V$) utilizando la sección o superficie ($S$) mediante la siguiente f rmula:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
(ID 4349)
Darcy reescribe la ecuaci n de Hagen Poiseuille de modo que la diferencia de presión ($\Delta p$) es igual a la resistencia hidráulica ($R_h$) por el flujo de volumen ($J_V$):
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
(ID 3179)
La porosidad ($f$) expresa la relaci n entre el volumen de los poros ($V_p$) y el volumen total ($V_t$), lo que nos permite definir la ecuaci n de la siguiente manera:
| $ f =\displaystyle\frac{ V_p }{ V_t }$ |
(ID 4245)
La superficie de un disco ($S$) de un radio de un disco ($r$) se calcula de la siguiente manera:
| $ S = \pi r ^2$ |
(ID 3804)
La velocidad media ($\bar{v}$) se puede calcular de la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) mediante:
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
(ID 3152)
El volumen total ($V_t$) es la suma de el volumen de los poros ($V_p$), que engloba tanto los microporos como los macroporos en el suelo, y la masa seca total de la muestra ($M_s$), de modo que:
| $ V_t = V_s + V_p $ |
(ID 4726)
Dado que ya conocemos la masa seca total de la muestra ($M_s$) y el volumen sólido ($V_s$) de la muestra, podemos introducir la densidad sólida ($\rho_s$) y calcularlo utilizando la siguiente ecuaci n:
| $ \rho_s = \displaystyle\frac{ M_s }{ V_s }$ |
(ID 15073)
ID:(2071, 0)