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Darcys Gesetz
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Das Hagen-Poiseuille-Gesetz für den Gesamtfluss kann in Bezug auf einen Druckunterschied, den Fluss und einen Faktor, der als hydraulischer Widerstand charakterisiert werden kann, neu definiert werden. Dies führt zur sogenannten Darcy-Gesetz.
ID:(877, 0)
Laminare Strömung durch ein Rohr
Konzept
Wenn ein mit Flüssigkeit gefülltes Rohr mit einer Viskosität von Viskosität ($\eta$) Die Druck in der Ausgangsposition ($p_i$) bei der Position am Anfang des Rohres ($L_i$) und die Druck in Endlage (e) ($p_e$) bei der Positionieren am Ende des Rohres ($L_e$) ausgesetzt wird, entsteht entlang von der Rohrlänge ($\Delta L$) Eine Druckunterschied ($\Delta p$), was das Profil von die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) ergibt:
Bei Strömungen mit niedrigen Werten von der Anzahl der Reynold ($Re$), wo die Viskosität bedeutender ist als die Trägheit der Flüssigkeit, entwickelt sich der Fluss laminar, das heißt ohne das Vorhandensein von Turbulenzen.
ID:(2218, 0)
Hagen Poiseuille-Gleichung
Gleichung
Wenn wir das Profil von die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) für eine Flüssigkeit in einem zylindrischen Kanal mit einem Radius von Zylinder Radio ($R$) betrachten, in dem die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) als Funktion von ein Positionsradius in einem Rohr ($r$) variiert, können wir es über den gesamten Querschnitt des Kanals integrieren:
$J_V= \pi \displaystyle\int_0^Rdr r v(r)$
Dies führt zur Hagen-Poiseuille-Gesetz mit den Parametern der Volumenstrom ($J_V$), die Viskosität ($\eta$), die Druckunterschied ($\Delta p$) und der Rohrlänge ($\Delta L$):
 $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Wenn wir das Profil von Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) für ein Fluid in einem zylindrischen Kanal betrachten, in dem die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) in Abhängigkeit von Positionsradius in einem Rohr ($r$) gemäß folgendem Ausdruck variiert:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
unter Verwendung von der Zylinder Radio ($R$) und die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$). Können wir die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) mithilfe von die Viskosität ($\eta$), die Druckunterschied ($\Delta p$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) wie folgt berechnen:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Wenn wir die Geschwindigkeit über den Querschnitt des Kanals integrieren, erhalten wir der Volumenstrom ($J_V$), definiert als das Integral von $\pi r v(r)$ bezüglich Positionsradius in einem Rohr ($r$) von $0$ bis Zylinder Radio ($R$). Dieses Integral kann wie folgt vereinfacht werden:
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
Die Integration führt zur resultierenden Hagen-Poiseuille-Gesetz:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Die Originalarbeiten, die zu diesem Gesetz mit einem kombinierten Namen führten, waren:
• Gotthilf Hagen: "Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen", Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839).
• Jean-Louis-Marie Poiseuille: "Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres" (Experimentelle Untersuchungen zur Bewegung von Flüssigkeiten in Röhren mit sehr kleinen Durchmessern), Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).
ID:(3178, 0)
Hydraulische Leitfähigkeit eines Rohres
Gleichung
Wenn wir das Hagen-Poiseuille-Gesetz betrachten, das es uns ermöglicht, der Volumenstrom ($J_V$) aus der Zylinder Radio ($R$), die Viskosität ($\eta$), der Rohrlänge ($\Delta L$) und die Druckunterschied ($\Delta p$) zu berechnen:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
können wir Parameter identifizieren, die mit der Geometrie (der Rohrlänge ($\Delta L$) und der Zylinder Radio ($R$)) und der Art der Flüssigkeit (die Viskosität ($\eta$)) zusammenhängen. Diese Parameter können gemeinsam als eine Hydraulische Leitfähigkeit ($G_h$) bezeichnet werden:
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
ID:(15102, 0)
Darcys Gesetz und hydraulische Leitfähigkeit
Gleichung
Durch die Einführung von die Hydraulische Leitfähigkeit ($G_h$) können wir die Hagen-Poiseuille-Gleichung mit die Druckunterschied ($\Delta p$) und der Volumenstrom ($J_V$) mithilfe der folgenden Gleichung umschreiben:
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
Wenn wir das Hagen-Poiseuille-Gesetz betrachten, das es uns ermöglicht, der Volumenstrom ($J_V$) aus der Zylinder Radio ($R$), die Viskosität ($\eta$), der Rohrlänge ($\Delta L$) und die Druckunterschied ($\Delta p$) zu berechnen:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
können wir die Hydraulische Leitfähigkeit ($G_h$) einführen, das in Bezug auf der Rohrlänge ($\Delta L$), der Zylinder Radio ($R$) und die Viskosität ($\eta$) definiert ist:
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
um zu folgendem Ergebnis zu gelangen:
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
ID:(14471, 0)
Hydraulische Leitfähigkeit
Gleichung
Im Zusammenhang mit dem elektrischen Widerstand gibt es dessen Inverses, das als elektrische Leitfähigkeit bekannt ist. Ebenso kann das, was die Hydraulische Leitfähigkeit ($G_h$) wäre, in Bezug auf die Hydraulic Resistance ($R_h$) durch den Ausdruck definiert werden:
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$ |
ID:(15092, 0)
Hydraulischer Widerstand eines Rohres
Gleichung
Da die Hydraulic Resistance ($R_h$) dem Kehrwert von die Hydraulische Leitfähigkeit ($G_h$) entspricht, kann es aus dem Ausdruck des letzteren berechnet werden. Auf diese Weise können wir Parameter identifizieren, die mit der Geometrie (der Rohrlänge ($\Delta L$) und der Zylinder Radio ($R$)) und der Art des Fluids (die Viskosität ($\eta$)) zusammenhängen und die gemeinsam als eine Hydraulic Resistance ($R_h$) bezeichnet werden können:
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
Da die Hydraulic Resistance ($R_h$) gemäß der folgenden Gleichung gleich die Hydraulische Leitfähigkeit ($G_h$) ist:
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$ |
und da die Hydraulische Leitfähigkeit ($G_h$) wie folgt in Bezug auf die Viskosität ($\eta$), der Zylinder Radio ($R$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) ausgedrückt wird:
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
können wir folgern, dass:
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
ID:(3629, 0)
Darcys Gesetz und hydraulischer Widerstand
Gleichung
Da der Volumenstrom ($J_V$) aus die Hydraulische Leitfähigkeit ($G_h$) und die Druckunterschied ($\Delta p$) mithilfe der folgenden Gleichung berechnet werden kann:
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
kann es in Bezug auf die Druckunterschied ($\Delta p$) ausgedrückt werden. Wenn man berücksichtigt, dass das Inverse von die Hydraulic Resistance ($R_h$) Die Hydraulische Leitfähigkeit ($G_h$) ist, erhalten wir den folgenden Ausdruck:
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
Im Fall eines einzelnen Zylinders die Hydraulic Resistance ($R_h$), der von die Viskosität ($\eta$), der Rohrlänge ($\Delta L$) und der Zylinder Radio ($R$) abhängt, wird er mithilfe der folgenden Gleichung berechnet:
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
Das Hagen-Poiseuille-Gesetz hingegen ermöglicht die Berechnung von der Volumenstrom ($J_V$), das von die Druckunterschied ($\Delta p$) gemäß der folgenden Gleichung erzeugt wird:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Durch Kombination beider Gleichungen erhalten wir das Darcy-Gesetz:
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
den Henry Darcy formuliert hat, um das allgemeine Verhalten von komplexeren porösen Medien zu modellieren, durch die eine Flüssigkeit fließt.
Die Genialität dieser Art der Umformulierung des Hagen-Poiseuille-Gesetzes liegt darin, dass sie die Analogie zwischen dem Fluss von elektrischem Strom und dem Fluss von Flüssigkeit zeigt. In diesem Sinne entspricht das Hagen-Poiseuille-Gesetz dem Ohm'schen Gesetz. Dies eröffnet die Möglichkeit, die Konzepte elektrischer Netzwerke auf Systeme von Rohren anzuwenden, durch die eine Flüssigkeit fließt.
Dieses Gesetz, auch als das Darcy-Weisbach-Gesetz bekannt, wurde erstmals in Darcys Werk veröffentlicht:
• "Les fontaines publiques de la ville de Dijon" ("Die öffentlichen Brunnen der Stadt Dijon"), Henry Darcy, Victor Dalmont Editeur, Paris (1856).
ID:(3179, 0)
Volumenstrom und seine Geschwindigkeit
Gleichung
Der Durchfluss wird in dem Volumen gemessen, das pro Zeit durch einen Abschnitt fließt, was schließlich als Abschnitt mal einer durchschnittlichen Durchflussgeschwindigkeit ausgedrückt werden kann
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Da der Fluss definiert ist als das Volumen
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
und das Volumen ist gleich dem Abschnitt
| $ dV = S ds $ |
Wenn der Pfad
| $ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Sie bekommen, dass der Fluss ist
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Hay que tener presente que en este modelamiento:
La densidad de flujo cumple el rol de una velocidad media sobre toda la sección del flujo.
ID:(4349, 0)
Oberfläche einer Scheibe
Gleichung
Die Fläche die Abschnitt ($S$) eines Kreisscheibendurchmessers von ein Radius eines Kreises ($r$) wird wie folgt berechnet:
| $ S = \pi r ^2$ |
ID:(3804, 0)
Hydraulische permeabilität
Gleichung
Bei der Analyse die Hydraulische Leitfähigkeit ($G_h$) fällt auf, dass im Zähler der Querschnitt des Rohrs als $\pi R^2$ dargestellt ist, wobei der Zylinder Radio ($R$) einer Eigenschaft der Flüssigkeit entspricht, die Viskosität ($\eta$) mit der Viskosität der Flüssigkeit zusammenhängt und der Rohrlänge ($\Delta L$) den erzeugten Druckgradienten beschreibt.
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
Der verbleibende Faktor wird als die Hydrodynamische Permeabilität ($k$) bezeichnet und ist als
| $ k = \displaystyle\frac{ R ^2}{8}$ |
bekannt.
ID:(108, 0)
Strömungsdichte zwischen Säulen
Gleichung
Im Fall eines Rohrs, durch das eine Flüssigkeit mit die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) fließt, bedingt durch die Druckunterschied ($\Delta p$), erzeugt durch eine Höhendifferenz ($\Delta h$), unter der Einwirkung der durch die Gravitationsbeschleunigung ($g$) dargestellten Schwerkraft, und berechnet mittels:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
kann dies in die Hagen-Poiseuille-Gleichung einbezogen werden, zusammen mit der Definition von die Flussdichte ($j_s$) in Bezug auf der Volumenstrom ($J_V$), welches seinerseits von der Zylinder Radio ($R$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) abhängt:
| $ j_s = -\displaystyle\frac{ k }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
ID:(14470, 0)
Messung von Darcys Gesetz
Bild
Das Darcy-Experiment umfasst einen Zylinder mit einem zu untersuchenden Material, der mit der gewünschten Flüssigkeit gefüllt wird. Im unteren Teil befindet sich ein Ventil, um den Flüssigkeitsauslass zu regulieren. Sowohl der obere als auch der untere Teil haben zugehörige Flüssigkeitssäulen, um die vorhandenen Drücke zu bestimmen. Auf diese Weise werden die Drücke, die Menge der abfließenden Flüssigkeit und die verstrichene Zeit gemessen, woraus der hydraulische Widerstand bestimmt werden kann.
ID:(11104, 0)
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Video
Video: Darcys Gesetz