Storyboard

Im Fall einer isolierenden Kugel mit homogener Ladungsverteilung können sich die Ladungen nicht bewegen. Das elektrische Feld kann berechnet werden, indem man eine sphärische Symmetrie annimmt und die Gaußsche Fläche als Kugel mit einem gegebenen Radius definiert. Auf diese Weise hängen das elektrische Feld und das Potential von der durch diese Fläche eingeschlossenen Ladung ab.

>Modell

ID:(2077, 0)

Iframe

>Top

ID:(15796, 0)

Konzept

>Top

Im Fall einer sphärischen Gauß'schen Oberfläche ist der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) in Richtung von der Versor normal zum Abschnitt ($\hat{n}$) konstant. Daher kann es unter Verwendung von die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$) und die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) durch Integration über die Oberfläche, wo das elektrische Feld konstant ($dS$) berechnet werden:

Da die Oberfläche von die Oberfläche einer Kugel ($S$) gleich der Pi ($\pi$) und der Scheibenradius ($r$) ist, haben wir:

was in der Grafik dargestellt ist

die Eingekapselte Ladung auf der Gauß-Oberfläche ($q$) mit einem Radius gleich die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) und der Kugelradius ($R$) mit die Ladung ($Q$), so dass:

Für der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) ergibt sich die folgende Gleichung:

ID:(11840, 0)

Konzept

>Top

Da der Potentialunterschied der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) mit der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) und der Radius ($r$) ist, ergibt sich:

Da der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$), der Kugelradius ($R$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) gleich ist:

In sphärischen Koordinaten haben wir:

$\varphi_i = -\displaystyle\int_0^{r} du \displaystyle\frac{ Q u }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon R ^3 }= -\displaystyle\frac{ Q }{ 8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$

Daher ergibt sich der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) mit die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) in:

Wie in der folgenden Grafik dargestellt:

muss das Feld an zwei Punkten die gleiche Energie aufweisen. Daher müssen die Variablen die Ladung ($Q$), die Partikelmasse ($m$), die Geschwindigkeit 1 ($v_1$), die Geschwindigkeit 2 ($v_2$) und der Elektrisches Potential 1 ($\varphi_1$) gemäß der Gleichung:

und der Elektrisches Potential 2 ($\varphi_2$) gemäß der Gleichung:

die folgende Beziehung erfüllen:

ID:(11847, 0)

Top

>Top

Parameter

$\epsilon$

epsilon

Dielektrizitätskonstante

-

$\epsilon_0$

epsilon_0

Elektrische Feldkonstante

C^2/m^2N

$R$

R

Kugelradius

m

$m$

m

Partikelmasse

kg

$\pi$

pi

Pi

rad

Variablen

$q_1$

q_1

Eingekapselte Ladung auf der Gauß-Oberfläche bei 1

C

$q_2$

q_2

Eingekapselte Ladung auf der Gauß-Oberfläche bei 2

C

$E_{i1}$

E_i1

Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum bei 1

V/m

$E_{i2}$

E_i2

Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum bei 2

V/m

$\varphi_1$

phi_1

Elektrisches Potential 1

V

$\varphi_2$

phi_2

Elektrisches Potential 2

V

$v_1$

v_1

Geschwindigkeit 1

m/s

$v_2$

v_2

Geschwindigkeit 2

m/s

$Q$

Q

Ladung

C

$r_1$

r_1

Radius 1

m

$r_2$

r_2

Radius 2

m

$q$

q

Test Ladung

C

Berechnungen

• Alternative Methode
• Traditionelle Methode
• Strategie
• 2D
• 3D

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen: zu , dann die Variable auswählen: zu

---

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable Gegeben Berechnen Ziel : Gleichung Zu verwenden

Gleichungen

ID:(15806, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Im Fall einer der Kugelradius ($R$) Kugel mit homogener Ladung umfasst die Gaußsche Oberfläche für die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) Die Eingekapselte Ladung auf der Gauß-Oberfläche ($q$) für die Ladung ($Q$):

$q_1 =\displaystyle\frac{ r_1 ^3}{ R ^3} Q$

$q =\displaystyle\frac{ r ^3}{ R ^3} Q$

Bedingungen

Variablen

$q$

$q_1$

Eingekapselte Ladung auf der Gauß-Oberfläche bei 1

$C$

10480

$r$

$r_1$

Radius 1

$m$

10390

$R$

Kugelradius

$m$

8541

$Q$

Ladung

$C$

5459

Beziehung

ID:(11461, 1)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) ist mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$), der Kugelradius ($R$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) ist gleich:

$E_{i1} =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r_1 }{ R ^3 }$

$E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$

Bedingungen

Variablen

$\epsilon$

Dielektrizitätskonstante

$-$

5463

$\epsilon_0$

Elektrische Feldkonstante

8.854187e-12

$C^2/m^2N$

5462

$E_i$

$E_{i1}$

Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum bei 1

$V/m$

10482

$r$

$r_1$

Radius 1

$m$

10390

$R$

Kugelradius

$m$

8541

$Q$

Ladung

$C$

5459

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

Beziehung

Entwicklung

Für den Fall einer kugelförmigen Gauß-Oberfläche ist das elektrische Feld konstant. Daher ist der Elektrisches Feld ($E$) gleich die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) und die Oberfläche der Leiters ($S$) gemäß:

$E S = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$

Da die Oberfläche von die Oberfläche einer Kugel ($S$) gleich der Pi ($\pi$) und der Scheibenradius ($r$) ist, haben wir:

$S = 4 \pi r ^2$

Die in der Gauß-Oberfläche eingeschlossene Ladung, mit die Eingekapselte Ladung auf der Gauß-Oberfläche ($q$), der Kugelradius ($R$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$), ergibt:

$q =\displaystyle\frac{ r ^3}{ R ^3} Q$

Daher ergibt sich der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) als:

$E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$

ID:(11447, 1)

Gleichung

>Top, >Modell

Im Fall einer der Kugelradius ($R$) Kugel mit homogener Ladung umfasst die Gaußsche Oberfläche für die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) Die Eingekapselte Ladung auf der Gauß-Oberfläche ($q$) für die Ladung ($Q$):

$q_2 =\displaystyle\frac{ r_2 ^3}{ R ^3} Q$

$q =\displaystyle\frac{ r ^3}{ R ^3} Q$

Bedingungen

Variablen

$q$

$q_2$

Eingekapselte Ladung auf der Gauß-Oberfläche bei 2

$C$

10481

$r$

$r_2$

Radius 2

$m$

10391

$R$

Kugelradius

$m$

8541

$Q$

Ladung

$C$

5459

Beziehung

ID:(11461, 2)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) ist mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$), der Kugelradius ($R$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) ist gleich:

$E_{i2} =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r_2 }{ R ^3 }$

$E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$

Bedingungen

Variablen

$\epsilon$

Dielektrizitätskonstante

$-$

5463

$\epsilon_0$

Elektrische Feldkonstante

8.854187e-12

$C^2/m^2N$

5462

$E_i$

$E_{i2}$

Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum bei 2

$V/m$

10483

$r$

$r_2$

Radius 2

$m$

10391

$R$

Kugelradius

$m$

8541

$Q$

Ladung

$C$

5459

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

Beziehung

Entwicklung

Für den Fall einer kugelförmigen Gauß-Oberfläche ist das elektrische Feld konstant. Daher ist der Elektrisches Feld ($E$) gleich die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) und die Oberfläche der Leiters ($S$) gemäß:

$E S = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$

Da die Oberfläche von die Oberfläche einer Kugel ($S$) gleich der Pi ($\pi$) und der Scheibenradius ($r$) ist, haben wir:

$S = 4 \pi r ^2$

Die in der Gauß-Oberfläche eingeschlossene Ladung, mit die Eingekapselte Ladung auf der Gauß-Oberfläche ($q$), der Kugelradius ($R$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$), ergibt:

$q =\displaystyle\frac{ r ^3}{ R ^3} Q$

Daher ergibt sich der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) als:

$E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$

ID:(11447, 2)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) ist mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$), die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) und der Kugelradius ($R$) ist gleich:

$\varphi_1 = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r_1 ^2 }{ R ^3 }$

$\varphi_i = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$

Bedingungen

Variablen

$\epsilon$

Dielektrizitätskonstante

$-$

5463

$\epsilon_0$

Elektrische Feldkonstante

8.854187e-12

$C^2/m^2N$

5462

$\varphi_i$

$\varphi_1$

Elektrisches Potential 1

$V$

10392

$r$

$r_1$

Radius 1

$m$

10390

$R$

Kugelradius

$m$

8541

$Q$

Ladung

$C$

5459

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

Beziehung

Entwicklung

Da der Potentialunterschied der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) mit der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) und der Radius ($r$) ist, ergibt sich:

$\varphi_i = -\displaystyle\int_0^ r du\, E_i$

Da der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$), der Kugelradius ($R$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) gleich ist:

$E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$

In sphärischen Koordinaten haben wir:

$\varphi_i = -\displaystyle\int_0^{r} du \displaystyle\frac{ Q u }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon R ^3 }= -\displaystyle\frac{ Q }{ 8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$

Daher ergibt sich der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) mit die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) in:

$\varphi_i = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$

ID:(11583, 1)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) ist mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$), die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) und der Kugelradius ($R$) ist gleich:

$\varphi_2 = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r_2 ^2 }{ R ^3 }$

$\varphi_i = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$

Bedingungen

Variablen

$\epsilon$

Dielektrizitätskonstante

$-$

5463

$\epsilon_0$

Elektrische Feldkonstante

8.854187e-12

$C^2/m^2N$

5462

$\varphi_i$

$\varphi_2$

Elektrisches Potential 2

$V$

10393

$r$

$r_2$

Radius 2

$m$

10391

$R$

Kugelradius

$m$

8541

$Q$

Ladung

$C$

5459

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

Beziehung

Entwicklung

Da der Potentialunterschied der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) mit der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) und der Radius ($r$) ist, ergibt sich:

$\varphi_i = -\displaystyle\int_0^ r du\, E_i$

Da der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$), der Kugelradius ($R$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) gleich ist:

$E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$

In sphärischen Koordinaten haben wir:

$\varphi_i = -\displaystyle\int_0^{r} du \displaystyle\frac{ Q u }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon R ^3 }= -\displaystyle\frac{ Q }{ 8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$

Daher ergibt sich der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) mit die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) in:

$\varphi_i = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$

ID:(11583, 2)

Gleichung

>Top, >Modell

Elektrische Potentiale, die die potenzielle Energie pro Ladungseinheit darstellen, beeinflussen, wie sich die Geschwindigkeit eines Teilchens ändert. Daher folgt aus der Energieerhaltung zwischen zwei Punkten, dass in Anwesenheit der Variablen die Ladung ($q$), die Partikelmasse ($m$), die Geschwindigkeit 1 ($v_1$), die Geschwindigkeit 2 ($v_2$), der Elektrisches Potential 1 ($\varphi_1$) und der Elektrisches Potential 2 ($\varphi_2$) die folgende Beziehung erfüllt sein muss:

$\displaystyle\frac{1}{2} m v_1 ^2 + q \varphi_1 = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2 ^2 + q \varphi_2$

Bedingungen

Variablen

$\varphi_1$

Elektrisches Potential 1

$V$

10392

$\varphi_2$

Elektrisches Potential 2

$V$

10393

$v_1$

Geschwindigkeit 1

$m/s$

8562

$v_2$

Geschwindigkeit 2

$m/s$

8563

$m$

Partikelmasse

$kg$

5516

$q$

Test Ladung

$C$

8746

Beziehung

Entwicklung

ID:(11596, 0)