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Innenraum einer isolierenden Kugel
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Im Fall einer isolierenden Kugel mit homogener Ladungsverteilung können sich die Ladungen nicht bewegen. Das elektrische Feld kann berechnet werden, indem man eine sphärische Symmetrie annimmt und die Gaußsche Fläche als Kugel mit einem gegebenen Radius definiert. Auf diese Weise hängen das elektrische Feld und das Potential von der durch diese Fläche eingeschlossenen Ladung ab.
ID:(2077, 0)
Teilchen im elektrischen Feld einer Kugel, innen
Beschreibung
Im Fall einer sphärischen Gauß'schen Oberfläche ist der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) in Richtung von der Versor normal zum Abschnitt ($\hat{n}$) konstant. Daher kann es unter Verwendung von die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$) und die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) durch Integration über die Oberfläche, wo das elektrische Feld konstant ($dS$) berechnet werden:
| $\displaystyle\int_S\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_0\epsilon}$ |
Da die Oberfläche von die Oberfläche einer Kugel ($S$) gleich der Pi ($\pi$) und der Scheibenradius ($r$) ist, haben wir:
| $ S = 4 \pi r ^2$ |
was in der Grafik dargestellt ist
die Eingekapselte Ladung auf der Gauß-Oberfläche ($q$) mit einem Radius gleich die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) und der Kugelradius ($R$) mit die Ladung ($Q$), so dass:
| $ q =\displaystyle\frac{ r ^3}{ R ^3} Q $ |
Für der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) ergibt sich die folgende Gleichung:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
ID:(11840, 0)
Teilchen im elektrischen Potencial einer Kugel, innen
Beschreibung
Da der Potentialunterschied der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) mit der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) und der Radius ($r$) ist, ergibt sich:
| $ \varphi_i = -\displaystyle\int_0^ r du\, E_i $ |
Da der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$), der Kugelradius ($R$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) gleich ist:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
In sphärischen Koordinaten haben wir:
$\varphi_i = -\displaystyle\int_0^{r} du \displaystyle\frac{ Q u }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon R ^3 }= -\displaystyle\frac{ Q }{ 8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$
Daher ergibt sich der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) mit die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) in:
| $ \varphi_i = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$ |
Wie in der folgenden Grafik dargestellt:
muss das Feld an zwei Punkten die gleiche Energie aufweisen. Daher müssen die Variablen die Ladung ($Q$), die Partikelmasse ($m$), die Geschwindigkeit 1 ($v_1$), die Geschwindigkeit 2 ($v_2$) und der Elektrisches Potential 1 ($\varphi_1$) gemäß der Gleichung:
| $ \varphi_1 = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r_1 ^2 }{ R ^3 }$ |
und der Elektrisches Potential 2 ($\varphi_2$) gemäß der Gleichung:
| $ \varphi_2 = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r_2 ^2 }{ R ^3 }$ |
die folgende Beziehung erfüllen:
| $ \displaystyle\frac{1}{2} m v_1 ^2 + q \varphi_1 = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2 ^2 + q \varphi_2 $ |
ID:(11847, 0)
Innenraum einer isolierenden Kugel
Beschreibung
Im Fall einer isolierenden Kugel mit homogener Ladungsverteilung können sich die Ladungen nicht bewegen. Das elektrische Feld kann berechnet werden, indem man eine sphärische Symmetrie annimmt und die Gaußsche Fläche als Kugel mit einem gegebenen Radius definiert. Auf diese Weise hängen das elektrische Feld und das Potential von der durch diese Fläche eingeschlossenen Ladung ab.
Variablen
Berechnungen
zu 
,
dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Variable
Gegeben
Berechnen
Ziel :
Gleichung
Zu verwenden
Gleichungen
F r den Fall einer kugelf rmigen Gau -Oberfl che ist das elektrische Feld konstant. Daher ist der Elektrisches Feld ($E$) gleich die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) und die Oberfläche der Leiters ($S$) gem :
| $ E S = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$ |
Da die Oberfl che von die Oberfläche einer Kugel ($S$) gleich der Pi ($\pi$) und der Scheibenradius ($r$) ist, haben wir:
| $ S = 4 \pi r ^2$ |
Die in der Gau -Oberfl che eingeschlossene Ladung, mit die Eingekapselte Ladung auf der Gauß-Oberfläche ($q$), der Kugelradius ($R$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$), ergibt:
| $ q =\displaystyle\frac{ r ^3}{ R ^3} Q $ |
Daher ergibt sich der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) als:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
(ID 11447)
F r den Fall einer kugelf rmigen Gau -Oberfl che ist das elektrische Feld konstant. Daher ist der Elektrisches Feld ($E$) gleich die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) und die Oberfläche der Leiters ($S$) gem :
| $ E S = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$ |
Da die Oberfl che von die Oberfläche einer Kugel ($S$) gleich der Pi ($\pi$) und der Scheibenradius ($r$) ist, haben wir:
| $ S = 4 \pi r ^2$ |
Die in der Gau -Oberfl che eingeschlossene Ladung, mit die Eingekapselte Ladung auf der Gauß-Oberfläche ($q$), der Kugelradius ($R$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$), ergibt:
| $ q =\displaystyle\frac{ r ^3}{ R ^3} Q $ |
Daher ergibt sich der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) als:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
(ID 11447)
Da der Potentialunterschied der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) mit der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) und der Radius ($r$) ist, ergibt sich:
| $ \varphi_i = -\displaystyle\int_0^ r du\, E_i $ |
Da der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$), der Kugelradius ($R$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) gleich ist:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
In sph rischen Koordinaten haben wir:
$\varphi_i = -\displaystyle\int_0^{r} du \displaystyle\frac{ Q u }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon R ^3 }= -\displaystyle\frac{ Q }{ 8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$
Daher ergibt sich der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) mit die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) in:
| $ \varphi_i = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$ |
(ID 11583)
Da der Potentialunterschied der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) mit der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) und der Radius ($r$) ist, ergibt sich:
| $ \varphi_i = -\displaystyle\int_0^ r du\, E_i $ |
Da der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$), der Kugelradius ($R$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) gleich ist:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
In sph rischen Koordinaten haben wir:
$\varphi_i = -\displaystyle\int_0^{r} du \displaystyle\frac{ Q u }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon R ^3 }= -\displaystyle\frac{ Q }{ 8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$
Daher ergibt sich der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) mit die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) in:
| $ \varphi_i = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$ |
(ID 11583)
Beispiele
(ID 15796)
Im Fall einer sph rischen Gau 'schen Oberfl che ist der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) in Richtung von der Versor normal zum Abschnitt ($\hat{n}$) konstant. Daher kann es unter Verwendung von die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$) und die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) durch Integration ber die Oberfläche, wo das elektrische Feld konstant ($dS$) berechnet werden:
| $\displaystyle\int_S\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_0\epsilon}$ |
Da die Oberfl che von die Oberfläche einer Kugel ($S$) gleich der Pi ($\pi$) und der Scheibenradius ($r$) ist, haben wir:
| $ S = 4 \pi r ^2$ |
was in der Grafik dargestellt ist
die Eingekapselte Ladung auf der Gauß-Oberfläche ($q$) mit einem Radius gleich die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) und der Kugelradius ($R$) mit die Ladung ($Q$), so dass:
| $ q =\displaystyle\frac{ r ^3}{ R ^3} Q $ |
F r der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) ergibt sich die folgende Gleichung:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
(ID 11840)
Da der Potentialunterschied der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) mit der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) und der Radius ($r$) ist, ergibt sich:
| $ \varphi_i = -\displaystyle\int_0^ r du\, E_i $ |
Da der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$), der Kugelradius ($R$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) gleich ist:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
In sph rischen Koordinaten haben wir:
$\varphi_i = -\displaystyle\int_0^{r} du \displaystyle\frac{ Q u }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon R ^3 }= -\displaystyle\frac{ Q }{ 8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$
Daher ergibt sich der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) mit die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) in:
| $ \varphi_i = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$ |
Wie in der folgenden Grafik dargestellt:
muss das Feld an zwei Punkten die gleiche Energie aufweisen. Daher m ssen die Variablen die Ladung ($Q$), die Partikelmasse ($m$), die Geschwindigkeit 1 ($v_1$), die Geschwindigkeit 2 ($v_2$) und der Elektrisches Potential 1 ($\varphi_1$) gem der Gleichung:
| $ \varphi_1 = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r_1 ^2 }{ R ^3 }$ |
und der Elektrisches Potential 2 ($\varphi_2$) gem der Gleichung:
| $ \varphi_2 = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r_2 ^2 }{ R ^3 }$ |
die folgende Beziehung erf llen:
| $ \displaystyle\frac{1}{2} m v_1 ^2 + q \varphi_1 = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2 ^2 + q \varphi_2 $ |
(ID 11847)
(ID 15806)
Im Fall einer der Kugelradius ($R$) Kugel mit homogener Ladung umfasst die Gau sche Oberfl che f r die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) Die Eingekapselte Ladung auf der Gauß-Oberfläche ($q$) f r die Ladung ($Q$):
| $ q =\displaystyle\frac{ r ^3}{ R ^3} Q $ |
(ID 11461)
Der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) ist mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$), der Kugelradius ($R$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) ist gleich:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
(ID 11447)
Im Fall einer der Kugelradius ($R$) Kugel mit homogener Ladung umfasst die Gau sche Oberfl che f r die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) Die Eingekapselte Ladung auf der Gauß-Oberfläche ($q$) f r die Ladung ($Q$):
| $ q =\displaystyle\frac{ r ^3}{ R ^3} Q $ |
(ID 11461)
Der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) ist mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$), der Kugelradius ($R$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) ist gleich:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
(ID 11447)
Der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) ist mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$), die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) und der Kugelradius ($R$) ist gleich:
| $ \varphi_i = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$ |
(ID 11583)
Der Elektrisches Potential, isolierende Kugel, innen ($\varphi_i$) ist mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$), die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) und der Kugelradius ($R$) ist gleich:
| $ \varphi_i = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$ |
(ID 11583)
Elektrische Potentiale, die die potenzielle Energie pro Ladungseinheit darstellen, beeinflussen, wie sich die Geschwindigkeit eines Teilchens ndert. Daher folgt aus der Energieerhaltung zwischen zwei Punkten, dass in Anwesenheit der Variablen die Ladung ($q$), die Partikelmasse ($m$), die Geschwindigkeit 1 ($v_1$), die Geschwindigkeit 2 ($v_2$), der Elektrisches Potential 1 ($\varphi_1$) und der Elektrisches Potential 2 ($\varphi_2$) die folgende Beziehung erf llt sein muss:
| $ \displaystyle\frac{1}{2} m v_1 ^2 + q \varphi_1 = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2 ^2 + q \varphi_2 $ |
(ID 11596)
ID:(2077, 0)