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Außerhalb einer Kugel
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Sowohl für eine leitende Kugel als auch für eine isolierende Kugel hängt das äußere Feld nur von der Gesamtladung ab, unabhängig davon, ob sie sich auf der Oberfläche (leitende Kugel) oder im Inneren (isolierende Kugel) befindet.
ID:(2078, 0)
Teilchen im elektrischen Feld einer Kugel, außen
Konzept
Im Fall einer sphärischen Gauß'schen Oberfläche ist der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) in Richtung von der Versor normal zum Abschnitt ($\hat{n}$) konstant. Daher kann es unter Verwendung von die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$) und die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) durch Integration über die Oberfläche, wo das elektrische Feld konstant ($dS$) berechnet werden:
| $\displaystyle\int_S\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_0\epsilon}$ |
Da die Oberfläche von die Oberfläche einer Kugel ($S$) gleich der Pi ($\pi$) und der Scheibenradius ($r$) ist, haben wir:
| $ S = 4 \pi r ^2$ |
was in der Grafik dargestellt ist
Außerhalb der Kugel ist der Elektrisches Feld, Kugel, außen ($E_e$) mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) gleich:
| $ E_e=\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r ^2 }$ |
Während im Fall einer isolierenden Kugel der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) mit der Kugelradius ($R$) gleich ist:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
Wenn die Kugel leitend ist, werden sich die Ladungen auf der Oberfläche verteilen, und der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) wird null sein.
ID:(11839, 0)
Teilchen im elektrischen Potencial einer Kugel, außen
Konzept
Da der Potentialunterschied der Elektrisches Potential, Kugel, außen ($\varphi_e$) mit der Elektrisches Feld, Kugel, außen ($E_e$), der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$), der Kugelradius ($R$) und der Radius ($r$) ist, ergibt sich:
| $ \varphi_e = - \displaystyle\int_0^ R du\, E_i - \displaystyle\int_ R ^ r du\, E_e $ |
Da der Elektrisches Feld, Kugel, außen ($E_e$) mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) gleich ist:
| $ E_e=\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r ^2 }$ |
und der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) mit der Inneres Radius ($r_i$) gleich ist:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
In sphärischen Koordinaten haben wir:
$\varphi_e = -\displaystyle\int_0^R du \displaystyle\frac{ Q u }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon R ^3 } -\displaystyle\int_R^r du \displaystyle\frac{ Q }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon u ^2 }= -\displaystyle\frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r }$
Daher ergibt sich der Elektrisches Potential, Kugel, außen ($\varphi_e$) in:
| $ \varphi_e = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r } $ |
Wie in der folgenden Grafik dargestellt:
muss das Feld an zwei Punkten die gleiche Energie aufweisen. Daher müssen die Variablen die Ladung ($Q$), die Partikelmasse ($m$), die Geschwindigkeit 1 ($v_1$), die Geschwindigkeit 2 ($v_2$) und der Elektrisches Potential 1 ($\varphi_1$) gemäß der Gleichung:
| $ \varphi_1 = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r_1 } $ |
und der Elektrisches Potential 2 ($\varphi_2$) gemäß der Gleichung:
| $ \varphi_2 = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r_2 } $ |
die folgende Beziehung erfüllen:
| $ \displaystyle\frac{1}{2} m v_1 ^2 + Q \varphi_1 = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2 ^2 + Q \varphi_2 $ |
ID:(11846, 0)
Modell
Top
Parameter
Variablen
Berechnungen
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ E_e=\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r ^2 }$
E_e = Q /(4 * pi * epsilon_0 * epsilon * r ^2)
$ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$
E_i = Q * r /(4 * pi * epsilon_0 * epsilon * R ^3)
$ \displaystyle\frac{1}{2} m v_1 ^2 + Q \varphi_1 = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2 ^2 + Q \varphi_2 $
m * v_1 ^2/2 + Q * phi_1 = m * v_2 ^2/2 + Q * phi_2
$ \varphi_e = - \displaystyle\int_0^ R du\, E_i - \displaystyle\int_ R ^ r du\, E_e $
phi_e = - int( E_i , u , 0 , R ) - int( E_e , u , R , r )
$ \varphi_e = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r } $
phi_e =- Q / (4 * pi * epsilon * epsilon_0 * r )
$ \varphi_1 = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r_1 } $
phi_e =- Q / (4 * pi * epsilon * epsilon_0 * r )
$ \varphi_2 = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r_2 } $
phi_e =- Q / (4 * pi * epsilon * epsilon_0 * r )
ID:(15807, 0)
Isolierkugel mit voller Volumenladung, innen
Gleichung
Der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) ist mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$), der Kugelradius ($R$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) ist gleich:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
Für den Fall einer kugelförmigen Gauß-Oberfläche ist das elektrische Feld konstant. Daher ist der Elektrisches Feld ($E$) gleich die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) und die Oberfläche der Leiters ($S$) gemäß:
| $ E S = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$ |
Da die Oberfläche von die Oberfläche einer Kugel ($S$) gleich der Pi ($\pi$) und der Scheibenradius ($r$) ist, haben wir:
| $ S = 4 \pi r ^2$ |
Die in der Gauß-Oberfläche eingeschlossene Ladung, mit die Eingekapselte Ladung auf der Gauß-Oberfläche ($q$), der Kugelradius ($R$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$), ergibt:
| $ q =\displaystyle\frac{ r ^3}{ R ^3} Q $ |
Daher ergibt sich der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) als:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
ID:(11447, 0)
Isolierkugel mit voller Volumenladung, außen
Gleichung
Der Elektrisches Feld, Kugel, außen ($E_e$) ist mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) ist gleich:
| $ E_e=\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r ^2 }$ |
Im Fall einer kugelförmigen Gauß-Oberfläche ist das elektrische Feld konstant, sodass der Elektrisches Feld ($E$) unter Verwendung von die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) und die Oberfläche der Leiters ($S$) berechnet werden kann, was zu folgendem Ergebnis führt:
| $ E S = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$ |
Da die Oberfläche einer Kugel ($S$) gleich der Pi ($\pi$) und der Scheibenradius ($r$) ist, ergibt sich:
| $ S = 4 \pi r ^2$ |
Schließlich ist der Elektrisches Feld, Kugel, außen ($E_e$) zusammen mit die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) gleich:
| $ E_e=\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r ^2 }$ |
ID:(11446, 0)
Elektrisches Potential mit sphärischer Geometrie, aussen
Gleichung
Der Elektrisches Potential, Kugel, außen ($\varphi_e$) ist mit der Elektrisches Feld, Kugel, außen ($E_e$), der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$), der Kugelradius ($R$) und der Radius ($r$) ist gleich:
| $ \varphi_e = - \displaystyle\int_0^ R du\, E_i - \displaystyle\int_ R ^ r du\, E_e $ |
Im Fall einer sphärischen Geometrie eines Isolators auf der Außenseite ist das Wegintegral der Elektrisches Grundpotential ($\varphi_0$) mit der Elektrisches Potential ($\varphi$), die Infinitesimalen Entfernung ($ds$) und der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) gleich:
| $ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$ |
Das Feld ist proportional zum inversen Quadrat des Radius:
$E_e\propto\displaystyle\frac{1}{r^2}$
daher ist der einfachste Weg radial. In diesem Fall wurde das Referenzpotenzial im Inneren bereits auf null am Ursprung festgelegt. Um sicherzustellen, dass die Funktion kontinuierlich ist, müssen wir das Referenzpotenzial für den Außenbereich ($r > R$) so festlegen, dass es kontinuierlich mit dem der inneren Zone ist. Daher ist in diesem Fall das äußere elektrische Potenzial der Elektrisches Potential, Kugel, außen ($\varphi_e$) mit der Elektrisches Feld, Kugel, außen ($E_e$), der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$), der Kugelradius ($R$) und der Radius ($r$), was ergibt:
| $ \varphi_e = - \displaystyle\int_0^ R du\, E_i - \displaystyle\int_ R ^ r du\, E_e $ |
ID:(11580, 0)
Elektrisches Potential mit sphärischer Geometrie, aussen
Gleichung
Der Elektrisches Potential, Kugel, außen ($\varphi_e$) ist mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) ist gleich:
| $ \varphi_e = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r } $ |
Da der Potentialunterschied der Elektrisches Potential, Kugel, außen ($\varphi_e$) mit der Elektrisches Feld, Kugel, außen ($E_e$), der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$), der Kugelradius ($R$) und der Radius ($r$) ist, ergibt sich:
| $ \varphi_e = - \displaystyle\int_0^ R du\, E_i - \displaystyle\int_ R ^ r du\, E_e $ |
Da der Elektrisches Feld, Kugel, außen ($E_e$) mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) gleich ist:
| $ E_e=\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r ^2 }$ |
und der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) mit der Inneres Radius ($r_i$) gleich ist:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
In sphärischen Koordinaten haben wir:
$\varphi_e = -\displaystyle\int_0^R du \displaystyle\frac{ Q u }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon R ^3 } -\displaystyle\int_R^r du \displaystyle\frac{ Q }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon u ^2 }= -\displaystyle\frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r }$
Daher ergibt sich der Elektrisches Potential, Kugel, außen ($\varphi_e$) in:
| $ \varphi_e = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r } $ |
ID:(11584, 0)
Elektrisches Potential mit sphärischer Geometrie, aussen (1)
Gleichung
Der Elektrisches Potential, Kugel, außen ($\varphi_e$) ist mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) ist gleich:
| $ \varphi_1 = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r_1 } $ |
| $ \varphi_e = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r } $ |
Da der Potentialunterschied der Elektrisches Potential, Kugel, außen ($\varphi_e$) mit der Elektrisches Feld, Kugel, außen ($E_e$), der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$), der Kugelradius ($R$) und der Radius ($r$) ist, ergibt sich:
| $ \varphi_e = - \displaystyle\int_0^ R du\, E_i - \displaystyle\int_ R ^ r du\, E_e $ |
Da der Elektrisches Feld, Kugel, außen ($E_e$) mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) gleich ist:
| $ E_e=\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r ^2 }$ |
und der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) mit der Inneres Radius ($r_i$) gleich ist:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
In sphärischen Koordinaten haben wir:
$\varphi_e = -\displaystyle\int_0^R du \displaystyle\frac{ Q u }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon R ^3 } -\displaystyle\int_R^r du \displaystyle\frac{ Q }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon u ^2 }= -\displaystyle\frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r }$
Daher ergibt sich der Elektrisches Potential, Kugel, außen ($\varphi_e$) in:
| $ \varphi_e = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r } $ |
ID:(11584, 1)
Elektrisches Potential mit sphärischer Geometrie, aussen (2)
Gleichung
Der Elektrisches Potential, Kugel, außen ($\varphi_e$) ist mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) ist gleich:
| $ \varphi_2 = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r_2 } $ |
| $ \varphi_e = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r } $ |
Da der Potentialunterschied der Elektrisches Potential, Kugel, außen ($\varphi_e$) mit der Elektrisches Feld, Kugel, außen ($E_e$), der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$), der Kugelradius ($R$) und der Radius ($r$) ist, ergibt sich:
| $ \varphi_e = - \displaystyle\int_0^ R du\, E_i - \displaystyle\int_ R ^ r du\, E_e $ |
Da der Elektrisches Feld, Kugel, außen ($E_e$) mit der Pi ($\pi$), die Ladung ($Q$), die Elektrische Feldkonstante ($\epsilon_0$), die Dielektrizitätskonstante ($\epsilon$) und die Entfernung zwischen Ladungen ($r$) gleich ist:
| $ E_e=\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r ^2 }$ |
und der Elektrisches Feld, Kugel, Innenraum ($E_i$) mit der Inneres Radius ($r_i$) gleich ist:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
In sphärischen Koordinaten haben wir:
$\varphi_e = -\displaystyle\int_0^R du \displaystyle\frac{ Q u }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon R ^3 } -\displaystyle\int_R^r du \displaystyle\frac{ Q }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon u ^2 }= -\displaystyle\frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r }$
Daher ergibt sich der Elektrisches Potential, Kugel, außen ($\varphi_e$) in:
| $ \varphi_e = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r } $ |
ID:(11584, 2)
Energie eines Teilchens
Gleichung
Elektrische Potentiale, die die potenzielle Energie pro Ladungseinheit darstellen, beeinflussen, wie sich die Geschwindigkeit eines Teilchens ändert. Daher folgt aus der Energieerhaltung zwischen zwei Punkten, dass in Anwesenheit der Variablen die Ladung ($Q$), die Partikelmasse ($m$), die Geschwindigkeit 1 ($v_1$), die Geschwindigkeit 2 ($v_2$), der Elektrisches Potential 1 ($\varphi_1$) und der Elektrisches Potential 2 ($\varphi_2$) die folgende Beziehung erfüllt sein muss:
| $ \displaystyle\frac{1}{2} m v_1 ^2 + Q \varphi_1 = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2 ^2 + Q \varphi_2 $ |
ID:(11596, 0)