Utilizador:
Lei de Darcy
Storyboard
A lei de Hagen-Poiseuille para o fluxo total pode ser reescrita em termos de uma diferença de pressão, a taxa de fluxo e um fator que pode ser caracterizado como resistência hidráulica, o que nos leva à conhecida lei de Darcy.
ID:(877, 0)
Fluxo laminar através de um tubo
Conceito
Quando um tubo preenchido com líquido de viscosidade viscosidade ($\eta$) é exposto a la pressão na posição inicial ($p_i$) em o posição no início do tubo ($L_i$) e la pressão na posição final (e) ($p_e$) em o posição na extremidade do tubo ($L_e$), gera-se uma diferença de pressão ($\Delta p$) ao longo de o comprimento do tubo ($\Delta L$), resultando no perfil de la velocidade em um raio do cilindro ($v$):
Em fluxos com valores baixos de o número de Reynolds ($Re$), onde a viscosidade é mais relevante do que a inércia do líquido, o fluxo se desenvolve de forma laminar, ou seja, sem a presença de turbulência.
ID:(2218, 0)
Lei de Hagen Poiseuille
Equação
Se considerarmos o perfil de la velocidade em um raio do cilindro ($v$) para um fluido em um canal cilíndrico com raio de raio do cilindro ($R$), no qual la velocidade em um raio do cilindro ($v$) varia em função de um raio de posição em um tubo ($r$), podemos integrá-lo em toda a seção transversal do canal:
$J_V= \pi \displaystyle\int_0^Rdr r v(r)$
Isso nos leva à lei de Hagen-Poiseuille com os parâmetros o fluxo de volume ($J_V$), la viscosidade ($\eta$), la diferença de pressão ($\Delta p$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$):
 $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Se considerarmos o perfil de velocidade em um raio do cilindro ($v$) para um fluido em um canal cilíndrico, onde la velocidade em um raio do cilindro ($v$) varia em relação a raio de posição em um tubo ($r$) de acordo com a seguinte expressão:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
envolvendo o raio do cilindro ($R$) e la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$). Podemos calcular la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) utilizando la viscosidade ($\eta$), la diferença de pressão ($\Delta p$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$) da seguinte forma:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Se integrarmos a velocidade em toda a seção transversal do canal, obteremos o fluxo de volume ($J_V$), definida como a integral de $\pi r v(r)$ em relação a raio de posição em um tubo ($r$) de $0$ a raio do cilindro ($R$). Essa integral pode ser simplificada da seguinte maneira:
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
A integração resulta na lei de Hagen-Poiseuille resultante:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Os artigos originais que deram origem a esta lei com um nome combinado foram:
• Gotthilf Hagen: "Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen" (Sobre as leis que regem o fluxo da água em recipientes cilíndricos), Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839).
• Jean-Louis-Marie Poiseuille: "Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres" (Pesquisa experimental sobre o movimento de líquidos em tubos de diâmetros muito pequenos), Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).
ID:(3178, 0)
Condutância Hidráulica de um Tubo
Equação
Se observarmos a lei de Hagen-Poiseuille, que nos permite calcular o fluxo de volume ($J_V$) a partir de o raio do cilindro ($R$), la viscosidade ($\eta$), o comprimento do tubo ($\Delta L$) e la diferença de pressão ($\Delta p$):
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
podemos identificar parâmetros relacionados com a geometria (o comprimento do tubo ($\Delta L$) e o raio do cilindro ($R$)) e o tipo de líquido (la viscosidade ($\eta$)), que podem ser designados coletivamente como uma condutância hidráulica ($G_h$):
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
ID:(15102, 0)
Lei de Darcy e condutância hidráulica
Equação
Com a introdução de la condutância hidráulica ($G_h$), podemos reescrever a equação de Hagen-Poiseuille com la diferença de pressão ($\Delta p$) e o fluxo de volume ($J_V$) usando a seguinte equação:
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
Se observarmos a lei de Hagen-Poiseuille, que nos permite calcular o fluxo de volume ($J_V$) a partir de o raio do cilindro ($R$), la viscosidade ($\eta$), o comprimento do tubo ($\Delta L$) e la diferença de pressão ($\Delta p$):
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
podemos introduzir la condutância hidráulica ($G_h$), definido em termos de o comprimento do tubo ($\Delta L$), o raio do cilindro ($R$) e la viscosidade ($\eta$), da seguinte forma:
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
para obter:
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
ID:(14471, 0)
Condutância hidráulica
Equação
No contexto da resistência elétrica, existe o seu inverso, conhecido como a condutância elétrica. Da mesma forma, o que seria la condutância hidráulica ($G_h$) pode ser definido em termos de la resistência hidráulica ($R_h$) através da expressão:
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$ |
ID:(15092, 0)
Resistência hidráulica de um tubo
Equação
Como la resistência hidráulica ($R_h$) é igual ao inverso de la condutância hidráulica ($G_h$), ele pode ser calculado a partir da expressão deste último. Dessa forma, podemos identificar parâmetros relacionados à geometria (o comprimento do tubo ($\Delta L$) e o raio do cilindro ($R$)) e ao tipo de líquido (la viscosidade ($\eta$)), que podem ser denominados coletivamente como uma resistência hidráulica ($R_h$):
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
Uma vez que la resistência hidráulica ($R_h$) é igual a la condutância hidráulica ($G_h$) conforme a seguinte equação:
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$ |
e uma vez que la condutância hidráulica ($G_h$) é expresso em termos de la viscosidade ($\eta$), o raio do cilindro ($R$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$) da seguinte forma:
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
podemos concluir que:
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
ID:(3629, 0)
Lei de Darcy e resistência hidráulica
Equação
Uma vez que o fluxo de volume ($J_V$) pode ser calculado a partir de la condutância hidráulica ($G_h$) e la diferença de pressão ($\Delta p$) usando a seguinte equação:
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
ele pode ser expresso em termos de la diferença de pressão ($\Delta p$). Considerando que o inverso de la resistência hidráulica ($R_h$) é La condutância hidráulica ($G_h$), chegamos à seguinte expressão:
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
No caso de um único cilindro la resistência hidráulica ($R_h$), que depende de la viscosidade ($\eta$), o comprimento do tubo ($\Delta L$) e o raio do cilindro ($R$), é calculado usando a seguinte equação:
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
Por outro lado, a lei de Hagen-Poiseuille permite calcular o fluxo de volume ($J_V$) gerado por la diferença de pressão ($\Delta p$) de acordo com a seguinte equação:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Combinando ambas as equações, obtemos a lei de Darcy:
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
que Henry Darcy formulou para modelar o comportamento geral de meios porosos mais complexos através dos quais um líquido flui.
A genialidade dessa maneira de reescrever a lei de Hagen-Poiseuille está em mostrar a analogia entre o fluxo de corrente elétrica e o fluxo de líquido. Nesse sentido, a lei de Hagen-Poiseuille corresponde à lei de Ohm. Isso abre a possibilidade de aplicar os conceitos de redes elétricas a sistemas de tubulações através das quais um líquido flui.
Essa lei, também conhecida como Lei de Darcy-Weisbach, foi publicada pela primeira vez na obra de Darcy:
• "Les fontaines publiques de la ville de Dijon" ("As Fontes Públicas da Cidade de Dijon"), Henry Darcy, Victor Dalmont Editeur, Paris (1856).
ID:(3179, 0)
Superfície de um disco
Equação
A área la seção ($S$) de um disco com um diâmetro de ($$) é calculada da seguinte forma:
| $ S = \pi r ^2$ |
ID:(3804, 0)
Permeabilidade hidráulica
Equação
Ao analisar la condutância hidráulica ($G_h$), é possível notar que no numerador está representada a área da seção transversal do tubo como $\pi R^2$, onde o raio do cilindro ($R$) corresponde a uma propriedade do líquido, la viscosidade ($\eta$) está relacionado à viscosidade do fluido e o comprimento do tubo ($\Delta L$) se refere ao gradiente de pressão gerado.
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
O fator restante é denominado la permeabilidade hidrodinâmica ($k$), conhecido como
| $ k = \displaystyle\frac{ R ^2}{8}$ |
.
ID:(108, 0)
Densidade de fluxo entre colunas
Equação
No caso de um tubo pelo qual um líquido com la densidade líquida ($\rho_w$) flui devido a la diferença de pressão ($\Delta p$) gerado por uma diferença de altura ($\Delta h$) sob a influência da gravidade representada por la aceleração gravitacional ($g$) e calculado usando:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
isso pode ser aplicado na equação de Hagen-Poiseuille, juntamente com a definição de la densidade de fluxo ($j_s$) em termos de o fluxo de volume ($J_V$), que por sua vez depende de o raio do cilindro ($R$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$):
| $ j_s = -\displaystyle\frac{ k }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
ID:(14470, 0)
Medição da Lei de Darcy
Imagem
O experimento de Darcy envolve um cilindro preenchido com um material em estudo, que é então preenchido com o líquido desejado. Na parte inferior, há uma válvula que regula a saída do líquido. Tanto a parte superior quanto a inferior possuem colunas de líquido associadas para determinar as pressões existentes. Dessa forma, são medidas as pressões, a quantidade de líquido que flui e o tempo decorrido, o que permite determinar a resistência hidráulica.
ID:(11104, 0)
0
Video
Vídeo: Lei de Darcy