Storyboard

Tanto para una esfera conductora como para una esfera aislante, el campo en su exterior depende únicamente de la carga total, ya sea esta distribuida en la superficie (esfera conductora) o en el interior (esfera aislante).

>Modelo

ID:(2078, 0)

Iframe

>Top

ID:(15797, 0)

Concepto

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En el caso de una superficie gaussiana esférica, el campo eléctrico ($\vec{E}$) es constante en la dirección de el versor normal a la sección ($\hat{n}$). Por lo tanto, utilizando la carga ($Q$), la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$) y la constante dieléctrica ($\epsilon$), se puede calcular integrando sobre la superficie en que campo eléctrico es constante ($dS$):

Dado que la superficie de la superficie de una esfera ($S$) es igual a el pi ($\pi$) y el radio de un disco ($r$), se tiene:

lo que se muestra en la grafica

En el exterior de la esfera, el campo eléctrico, esfera, exterior ($E_e$) con el pi ($\pi$), la carga ($Q$), la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$) y la distancia entre cargas ($r$) es igual a:

Mientras que en el caso de una esfera aislante, el campo eléctrico, esfera, interior ($E_i$) con el radio de la esfera ($R$) es:

En el caso de que la esfera sea conductora, las cargas se distribuirán sobre la superficie y el campo eléctrico, esfera, interior ($E_i$) será nulo.

ID:(11839, 0)

Concepto

>Top

Como la diferencia de potencial es el potencial eléctrico, esfera, exterior ($\varphi_e$) con el campo eléctrico, esfera, exterior ($E_e$), el campo eléctrico, esfera, interior ($E_i$), el radio de la esfera ($R$) y el radio ($r$), obtenemos:

Dado que el campo eléctrico, esfera, exterior ($E_e$) con el pi ($\pi$), la carga ($Q$), la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$) y la distancia entre cargas ($r$) es igual a:

y que el campo eléctrico, esfera, interior ($E_i$) con el radio interno ($r_i$) es igual a:

en coordenadas esféricas tenemos:

$\varphi_e = -\displaystyle\int_0^R du \displaystyle\frac{ Q u }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon R ^3 } -\displaystyle\int_R^r du \displaystyle\frac{ Q }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon u ^2 }= -\displaystyle\frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r }$

Por lo tanto, el potencial eléctrico, esfera, exterior ($\varphi_e$) resulta en:

Como se ilustra en la siguiente gráfica:

el campo en dos puntos debe poseer la misma energía. Por lo tanto, las variables la carga ($Q$), la masa de la partícula ($m$), la velocidad 1 ($v_1$), la velocidad 2 ($v_2$), y el potencial eléctrico 1 ($\varphi_1$) según la ecuación:



y el potencial eléctrico 2 ($\varphi_2$), según la ecuación:



deben satisfacer la relación siguiente:

ID:(11846, 0)

Top

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Parámetros

$\epsilon_0$

epsilon_0

Constante de campo eléctrico

C^2/m^2N

$\epsilon$

epsilon

Constante dieléctrica

-

$m$

m

Masa de la partícula

kg

$\pi$

pi

Pi

rad

$R$

R

Radio de la esfera

m

Variables

$E_e$

E_e

Campo eléctrico, esfera, exterior

V/m

$E_i$

E_i

Campo eléctrico, esfera, interior

V/m

$Q$

Q

Carga

C

$q$

q

Carga de prueba

C

$\varphi_1$

phi_1

Potencial eléctrico 1

V

$\varphi_2$

phi_2

Potencial eléctrico 2

V

$r_1$

r_1

Radio 1

m

$r_2$

r_2

Radio 2

m

$v_1$

v_1

Velocidad 1

m/s

$v_2$

v_2

Velocidad 2

m/s

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estrategia
• 2D
• 3D

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación: a , luego, seleccione la variable: a

---

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable Dado Calcule Objetivo : Ecuación A utilizar

Ecuaciones

ID:(15807, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El campo eléctrico, esfera, interior ($E_i$) es con el pi ($\pi$), la carga ($Q$), la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$), el radio de la esfera ($R$) y la distancia entre cargas ($r$) es igual a:

$E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r_1 }{ R ^3 }$

$E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$

Condiciones

Variables

$E_i$

Campo eléctrico, esfera, interior

$V/m$

8530

$Q$

Carga

$C$

5459

$\epsilon_0$

Constante de campo eléctrico

8.854187e-12

$C^2/m^2N$

5462

$\epsilon$

Constante dieléctrica

$-$

5463

$r$

$r_1$

Radio 1

$m$

10390

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$R$

Radio de la esfera

$m$

8541

Relación

Desarrollo

Para el caso de una superficie gaussiana esférica, el campo es constante y, por lo tanto, el campo eléctrico ($E$) es igual a la carga ($Q$), la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$) y la área del conductor ($S$) según:

$E S = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$

Dado que la superficie de la superficie de una esfera ($S$) es igual a el pi ($\pi$) y el radio de un disco ($r$), se tiene:

$S = 4 \pi r ^2$

La carga encerrada en la superficie gaussiana, con la carga encapsulada en la superficie de Gauss ($q$), el radio de la esfera ($R$) y la distancia entre cargas ($r$), es:

$q =\displaystyle\frac{ r ^3}{ R ^3} Q$

Por lo tanto, el campo eléctrico, esfera, interior ($E_i$) resulta en:

$E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$

ID:(11447, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El campo eléctrico, esfera, exterior ($E_e$) es con el pi ($\pi$), la carga ($Q$), la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$) y la distancia entre cargas ($r$) es igual a:

$E_e=\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r_2 ^2 }$

$E_e=\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r ^2 }$

Condiciones

Variables

$E_e$

Campo eléctrico, esfera, exterior

$V/m$

8529

$Q$

Carga

$C$

5459

$\epsilon_0$

Constante de campo eléctrico

8.854187e-12

$C^2/m^2N$

5462

$\epsilon$

Constante dieléctrica

$-$

5463

$r$

$r_2$

Radio 2

$m$

10391

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

Relación

Desarrollo

Para el caso de una superficie gausseana esférica el campo es constante por lo que se puede calcular el campo eléctrico ($E$) con la carga ($Q$), la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$) y la área del conductor ($S$) siendo igual a:

$E S = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$

Como la superficie de una esfera ($S$) es con el pi ($\pi$) y el radio de un disco ($r$) igual a:

$S = 4 \pi r ^2$

el campo eléctrico, esfera, exterior ($E_e$) es con la distancia entre cargas ($r$) igual

$E_e=\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r ^2 }$

ID:(11446, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El potencial eléctrico, esfera aislante, interior ($\varphi_i$) es con el pi ($\pi$), la carga ($Q$), la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$), la distancia entre cargas ($r$) y el radio de la esfera ($R$) es igual a:

$\varphi_1 = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r_1 ^2 }{ R ^3 }$

$\varphi_i = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$

Condiciones

Variables

$Q$

Carga

$C$

5459

$\epsilon_0$

Constante de campo eléctrico

8.854187e-12

$C^2/m^2N$

5462

$\epsilon$

Constante dieléctrica

$-$

5463

$r$

$r_1$

Radio 1

$m$

10390

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$\varphi_i$

$\varphi_1$

Potencial eléctrico 1

$V$

10392

$R$

Radio de la esfera

$m$

8541

Relación

Desarrollo

Como la diferencia de potencial es el potencial eléctrico, esfera aislante, interior ($\varphi_i$) con el campo eléctrico, esfera, interior ($E_i$) y el radio ($r$), obtenemos:

$\varphi_i = -\displaystyle\int_0^ r du\, E_i$

Dado que el campo eléctrico, esfera, interior ($E_i$) con el pi ($\pi$), la carga ($Q$), la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$), el radio de la esfera ($R$) y la distancia entre cargas ($r$) es igual a:

$E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r_1 }{ R ^3 }$

en coordenadas esféricas tenemos:

$\varphi_i = -\displaystyle\int_0^{r} du \displaystyle\frac{ Q u }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon R ^3 }= -\displaystyle\frac{ Q }{ 8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$

Por lo tanto, el potencial eléctrico, esfera aislante, interior ($\varphi_i$) con la distancia entre cargas ($r$) resulta en:

$\varphi_i = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$

ID:(11583, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El potencial eléctrico, esfera, exterior ($\varphi_e$) es con el pi ($\pi$), la carga ($Q$), la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$) y la distancia entre cargas ($r$) es igual a:

$\varphi_2 = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r_2 }$

$\varphi_e = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r }$

Condiciones

Variables

$Q$

Carga

$C$

5459

$\epsilon_0$

Constante de campo eléctrico

8.854187e-12

$C^2/m^2N$

5462

$\epsilon$

Constante dieléctrica

$-$

5463

$r$

$r_2$

Radio 2

$m$

10391

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$\varphi_e$

$\varphi_2$

Potencial eléctrico 2

$V$

10393

Relación

Desarrollo

Como la diferencia de potencial es el potencial eléctrico, esfera, exterior ($\varphi_e$) con el campo eléctrico, esfera, exterior ($E_e$), el campo eléctrico, esfera, interior ($E_i$), el radio de la esfera ($R$) y el radio ($r$), obtenemos:

$\varphi_e = - \displaystyle\int_0^ R du\, E_i - \displaystyle\int_ R ^ r du\, E_e$

Dado que el campo eléctrico, esfera, exterior ($E_e$) con el pi ($\pi$), la carga ($Q$), la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$) y la distancia entre cargas ($r$) es igual a:

$E_e=\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r_2 ^2 }$

y que el campo eléctrico, esfera, interior ($E_i$) con el radio interno ($r_i$) es igual a:

$E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r_1 }{ R ^3 }$

en coordenadas esféricas tenemos:

$\varphi_e = -\displaystyle\int_0^R du \displaystyle\frac{ Q u }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon R ^3 } -\displaystyle\int_R^r du \displaystyle\frac{ Q }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon u ^2 }= -\displaystyle\frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r }$

Por lo tanto, el potencial eléctrico, esfera, exterior ($\varphi_e$) resulta en:

$\varphi_e = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r }$

ID:(11584, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Los potenciales eléctricos, que representan la energía potencial por unidad de carga, influyen en cómo varía la velocidad de una partícula. Por consiguiente, la conservación de la energía entre dos puntos implica que, en presencia de las variables la carga ($q$), la masa de la partícula ($m$), la velocidad 1 ($v_1$), la velocidad 2 ($v_2$), el potencial eléctrico 1 ($\varphi_1$) y el potencial eléctrico 2 ($\varphi_2$), se debe cumplir la siguiente relación:

$\displaystyle\frac{1}{2} m v_1 ^2 + q \varphi_1 = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2 ^2 + q \varphi_2$

Condiciones

Variables

$q$

Carga de prueba

$C$

8746

$m$

Masa de la partícula

$kg$

5516

$\varphi_1$

Potencial eléctrico 1

$V$

10392

$\varphi_2$

Potencial eléctrico 2

$V$

10393

$v_1$

Velocidad 1

$m/s$

8562

$v_2$

Velocidad 2

$m/s$

8563

Relación

Desarrollo

ID:(11596, 0)