Storyboard

Quando um corpo se move em um meio viscoso sob a influência de uma força constante, como a gravidade, inicialmente a gravidade acelera o corpo até que sua velocidade aumente a um nível onde a força viscosa e a gravidade se equilibram. A partir desse ponto em diante, o corpo não sofre mais aceleração e se move a uma velocidade constante.

>Modelo

ID:(1965, 0)

Iframe

>Top

ID:(15539, 0)

Top

>Top

A força experimentada por um corpo que se desloca com uma velocidade de ($$) em um meio, caracterizado por la constante de força viscosa ($b$), é La força viscosa ($F_v$), como descrito pela equação:

Para entender o papel de la constante de força viscosa ($b$), é importante lembrar que a viscosidade é uma medida de como o momento, ou a velocidade das moléculas, se difunde. Em outras palavras, la constante de força viscosa ($b$) é a medida pela qual o corpo perde energia ao transferi-la para o meio e ao acelerar as moléculas, fornecendo-lhes energia. Portanto, la constante de força viscosa ($b$) é proporcional à viscosidade.

ID:(15546, 0)

Descrição

>Top

Quando uma esfera é lançada em um meio viscoso, surge uma força inicial ascendente, uma força gravitacional ($F_g$), que afunda gradualmente o corpo. Durante esse processo, a esfera ganha velocidade, resultando em uma força descendente, uma força viscosa ($F_v$), que depende da velocidade. Conforme a velocidade total, la força com massa constante ($F$),

começa a diminuir até se tornar nula. A partir desse momento, o movimento continua com velocidade constante, já que não há força para acelerá-lo.

ID:(15544, 0)

Descrição

>Top

O método de medição de viscosidade de Ostwald baseia-se no comportamento de um líquido fluindo através de um tubo de pequeno raio (capilar).

O líquido é introduzido, aplica-se sucção para exceder a marca superior e, em seguida, permite-se que escorra, medindo o tempo que leva para o nível passar da marca superior para a inferior.

O experimento é conduzido primeiro com um líquido para o qual a viscosidade e a densidade são conhecidas (por exemplo, água destilada), e depois com o líquido para o qual se deseja determinar a viscosidade. Se as condições forem idênticas, o líquido fluindo em ambos os casos será semelhante e, assim, o tempo será proporcional à densidade dividida pela viscosidade. Portanto, pode-se estabelecer uma equação de comparação entre ambas as viscosidades:

ID:(15545, 0)

Top

>Top

No caso de um corpo caindo em um meio viscoso, a equação de movimento é uma equação de la velocidade ($v$) em função de o tempo ($t$) com la massa gravitacional ($m_g$), la massa inercial ($m_i$), la aceleração gravitacional ($g$) e la constante de força viscosa ($b$):

Isso é obtido com la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$)

e com la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$)

Integrando com tempo inicial zero e la velocidade inicial ($v_0$),

que é representado abaixo:

O gráfico ilustra como a viscosidade força o corpo a descer com uma velocidade assintótica ($v_{\infty}$), o que equivale a $g\tau_g$. Isso ocorre em um tempo da ordem de la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$), seja quando la velocidade ($v$) é menor ou maior que la velocidade assintótica ($v_{\infty}$).

ID:(15547, 0)

Top

>Top

No caso de um corpo caindo em um meio viscoso, a equação de movimento é uma equação de la posição ($s$) em função de la aceleração gravitacional ($g$), la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$), la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$), la velocidade inicial ($v_0$) e o tempo ($t$):

A partir desta equação, obtemos integrando com tempo inicial zero e uma velocidade ($s_0$):

que é representada abaixo:

ID:(15550, 0)

Top

>Top

Parâmetros

$g$

g

Aceleração gravitacional

m/s^2

$b$

b

Constante de força viscosa

kg/s

$m_g$

m_g

Massa gravitacional

kg

$m_i$

m_i

Massa inercial

kg

$\tau_g$

tau_g

Tempo de viscosidade e massa gravitacional

s

$\tau_i$

tau_i

Tempo de viscosidade e massa inercial

s

$s_0$

s_0

Velocidade

m

$v_{\infty}$

v_inf

Velocidade assintótica

m/s

$v_0$

v_0

Velocidade inicial

m/s

Variáveis

$a$

a

Aceleração instantânea

m/s^2

$F$

F

Força com massa constante

N

$F_g$

F_g

Força gravitacional

N

$F_v$

F_v

Força viscosa

N

$s$

s

Posição

m

$t$

t

Tempo

s

$v$

v

Velocidade

m/s

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estratégia
• 2D
• 3D

Equação

Equação

Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

---

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado

Equações

ID:(15541, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso de um corpo que cai em um meio viscoso, a força total, la força com massa constante ($F$), é igual a la força gravitacional ($F_g$) menos la força viscosa ($F_v$), então

$F = F_g - F_v$

Condições

Variáveis

$F$

Força com massa constante

$N$

9046

$F_g$

Força gravitacional

$N$

4977

$F_v$

Força viscosa

$N$

4979

Relação

ID:(15543, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso em que la massa inercial ($m_i$) é igual a la massa inicial ($m_0$),

a derivada do momento será igual à massa multiplicada pela derivada de la velocidade ($v$). Dado que a derivada da velocidade é La aceleração instantânea ($a$), temos que la força com massa constante ($F$) é igual a

$F = m_i a$

Condições

Variáveis

$a$

Aceleração instantânea

$m/s^2$

4972

$F$

Força com massa constante

$N$

9046

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

Relação

Desenvolvimento

Dado que o momento ($p$) se define con la massa inercial ($m_i$) y la velocidade ($v$),

$p = m_i v$

Si la massa inercial ($m_i$) é igual a la massa inicial ($m_0$), então podemos derivar o momento em relação ao tempo e obter la força com massa constante ($F$):

$F=\displaystyle\frac{d}{dt}p=m_i\displaystyle\frac{d}{dt}v=m_ia$

Portanto, chegamos à conclusão de que

$F = m_i a$

ID:(10975, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A forma mais simples de la força viscosa ($F_v$) é aquela que é proporcional ao la velocidade ($v$) do corpo, representada por:

$F_v = b v$

Condições

Variáveis

$b$

Constante de força viscosa

$kg/s$

5312

$F_v$

Força viscosa

$N$

4979

$v$

Velocidade

$m/s$

6029

Relação

A constante de proporcionalidade, também conhecida como la constante de força viscosa ($b$), geralmente depende da forma do objeto e da viscosidade do meio através do qual ele se move. Um exemplo desse tipo de força é aquela exercida por um fluxo de fluido em um corpo esférico, cuja expressão matemática é conhecida como a lei de Stokes.

ID:(3243, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La força gravitacional ($F_g$) baseia-se em la massa gravitacional ($m_g$) do objeto e em uma constante que reflete a intensidade da gravidade na superfície do planeta. Esta última é identificada por la aceleração gravitacional ($g$), que é igual a $9.8 m/s^2$.

Consequentemente, conclui-se que:

$F_g = m_g g$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$F_g$

Força gravitacional

$N$

4977

$m_g$

Massa gravitacional

$kg$

8762

Relação

ID:(3241, 0)

Equação

>Top, >Modelo

As massas que Newton utilizou em seus princípios estão relacionadas à inércia dos corpos, o que leva ao conceito de la massa inercial ($m_i$).

A lei de Newton, que está ligada à força entre corpos devido às suas massas, está relacionada à gravidade, sendo conhecida como la massa gravitacional ($m_g$).

Empiricamente, concluiu-se que ambas as massas são equivalentes, e, portanto, definimos

$m_g = m_i$

Condições

Variáveis

$m_g$

Massa gravitacional

$kg$

8762

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

Relação

Einstein foi quem questionou essa igualdade e, a partir dessa dúvida, compreendeu por que ambas 'aparecem' iguais em sua teoria da gravidade. Em seu argumento, Einstein explicou que as massas deformam o espaço, e essa deformação do espaço causa uma mudança no comportamento dos corpos. Assim, as massas acabam sendo equivalentes. O conceito revolucionário da curvatura do espaço implica que até mesmo a luz, que não tem massa, é afetada por corpos celestes, contradizendo a teoria da gravitação de Newton. Isso foi demonstrado experimentalmente ao estudar o comportamento da luz durante um eclipse solar. Nessa situação, os feixes de luz são desviados devido à presença do sol, permitindo a observação de estrelas que estão atrás dele.

ID:(12552, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La força com massa constante ($F$) é igual a la força gravitacional ($F_g$) menos la força viscosa ($F_v$), então:

Essa relação permite estabelecer a equação de movimento para la aceleração instantânea ($a$) com uma massa inercial ($m_i$) caindo devido à gravidade da Terra com la aceleração gravitacional ($g$), e com uma massa gravitacional ($m_g$), em la constante de força viscosa ($b$), assumirá a forma de:

$m_i a = m_g g - b v$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$a$

Aceleração instantânea

$m/s^2$

4972

$b$

Constante de força viscosa

$kg/s$

5312

$m_g$

Massa gravitacional

$kg$

8762

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

$v$

Velocidade

$m/s$

6029

Relação

ID:(14495, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La massa inercial ($m_i$) que cai devido à gravidade da Terra com uma aceleração gravitacional ($g$), e com uma massa gravitacional ($m_g$) em um meio viscoso com uma constante de força viscosa ($b$), é apresentado da seguinte forma:

Para resolver esta equação, é necessário levá-la à sua forma diferencial. Isso é alcançado substituindo la aceleração instantânea ($a$) pela derivada de la velocidade ($v$) em o tempo ($t$):

$m_i \displaystyle\frac{dv}{dt} = m_g g - b v$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$b$

Constante de força viscosa

$kg/s$

5312

$m_g$

Massa gravitacional

$kg$

8762

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

$t$

Tempo

$s$

5264

$v$

Velocidade

$m/s$

6029

Relação

ID:(14492, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Com a equação de movimento de um corpo em um meio viscoso, temos a derivada de la velocidade ($v$) em o tempo ($t$) com la massa inercial ($m_i$), la massa gravitacional ($m_g$), la constante de força viscosa ($b$) e la aceleração gravitacional ($g$):

Isso define la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$) como:

$\tau_g \equiv \displaystyle\frac{ m_g }{ b }$

Condições

Variáveis

$b$

Constante de força viscosa

$kg/s$

5312

$m_g$

Massa gravitacional

$kg$

8762

$\tau_g$

Tempo de viscosidade e massa gravitacional

$s$

10329

Relação

ID:(15549, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Com a equação de movimento de um corpo em um meio viscoso, temos a derivada de la velocidade ($v$) em o tempo ($t$) com la constante de força viscosa ($b$) e la aceleração gravitacional ($g$):

Isso define la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$) como:

$\tau_i \equiv \displaystyle\frac{ m_i }{ b }$

Condições

Variáveis

$b$

Constante de força viscosa

$kg/s$

5312

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

$\tau_i$

Tempo de viscosidade e massa inercial

$s$

10328

Relação

ID:(15548, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A equação do movimento em la velocidade ($v$) em o tempo ($t$) com la massa inercial ($m_i$), la massa gravitacional ($m_g$), la aceleração gravitacional ($g$) e la constante de força viscosa ($b$) é:

Supondo que o tempo inicial seja zero, la velocidade inicial ($v_0$), la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$) e la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$), obtemos a seguinte equação:

$v = g \tau_g + ( v_0 - g \tau_g )e^{- t / \tau_i }$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$t$

Tempo

$s$

5264

$\tau_g$

Tempo de viscosidade e massa gravitacional

$s$

10329

$\tau_i$

Tempo de viscosidade e massa inercial

$s$

10328

$v$

Velocidade

$m/s$

6029

$v_0$

Velocidade inicial

$m/s$

5188

Relação

Desenvolvimento

A equação de movimento em la velocidade ($v$) em o tempo ($t$) com la massa inercial ($m_i$), la massa gravitacional ($m_g$), la aceleração gravitacional ($g$) e la constante de força viscosa ($b$):

$m_i \displaystyle\frac{dv}{dt} = m_g g - b v$

juntamente com a definição de la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$)

$\tau_i \equiv \displaystyle\frac{ m_i }{ b }$

e la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$)

$\tau_g \equiv \displaystyle\frac{ m_g }{ b }$

pode ser reformulada como

$\displaystyle\frac{dv}{g\tau_g - v} = \displaystyle\frac{dt}{\tau_i}$

Se integrarmos essa expressão entre uma velocidade inicial ($v_0$) e la velocidade ($v$), e do tempo inicial zero até O tempo ($t$), obtemos

$\ln(g\tau_g-v_0)-\ln(g\tau_g-v)=\displaystyle\frac{t}{\tau_i}$

Resolvendo para a velocidade, obtemos

$v = g \tau_g + ( v_0 - g \tau_g )e^{- t / \tau_i }$

Esta equação ilustra que la velocidade inicial ($v_0$) então converge assintoticamente para a velocidade $g\tau_g$.

ID:(14493, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A integração da equação do movimento resulta em la velocidade ($v$) como uma função de la aceleração gravitacional ($g$), la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$), la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$), la velocidade inicial ($v_0$) e o tempo ($t$) da seguinte forma:

Para o tempo ($t$) muito maior que la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$), obtém-se o limite la velocidade assintótica ($v_{\infty}$):

$v_{\infty} \equiv g \tau_g$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\tau_g$

Tempo de viscosidade e massa gravitacional

$s$

10329

$v_{\infty}$

Velocidade assintótica

$m/s$

10070

Relação

ID:(14494, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A integração da equação do movimento resulta em la velocidade ($v$) como uma função de la aceleração gravitacional ($g$), la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$), la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$), la velocidade inicial ($v_0$) e o tempo ($t$) da seguinte forma:

em sua forma diferencial,

$\displaystyle\frac{ds}{dt} = g \tau_g + ( v_0 - g \tau_g )e^{- t / \tau_i }$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$s$

Posição

$m$

9899

$t$

Tempo

$s$

5264

$\tau_g$

Tempo de viscosidade e massa gravitacional

$s$

10329

$\tau_i$

Tempo de viscosidade e massa inercial

$s$

10328

$v_0$

Velocidade inicial

$m/s$

5188

Relação

onde la posição ($s$) representa a distância percorrida.

ID:(14496, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A integração da equação de movimento produz la posição ($s$) em termos de la aceleração gravitacional ($g$), la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$), la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$), la velocidade inicial ($v_0$) e o tempo ($t$) da seguinte forma:

do tempo inicial nulo até O tempo ($t$), e de la velocidade ($s_0$) até La posição ($s$), obtemos

$s = s_0 + g \tau_g t +( v_0 - g \tau_g ) \tau_i (1 - e^{- t / \tau_i })$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$s$

Posição

$m$

9899

$t$

Tempo

$s$

5264

$\tau_g$

Tempo de viscosidade e massa gravitacional

$s$

10329

$\tau_i$

Tempo de viscosidade e massa inercial

$s$

10328

$s_0$

Velocidade

$m$

5336

$v_0$

Velocidade inicial

$m/s$

5188

Relação

ID:(14497, 0)