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Viskose Kraft und Gravitation
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Wenn sich ein Körper in einem viskosen Medium unter dem Einfluss einer konstanten Kraft wie der Schwerkraft bewegt, beschleunigt die Schwerkraft den Körper anfangs, bis seine Geschwindigkeit auf das Niveau ansteigt, auf dem sich die viskose Kraft und die Schwerkraft ausgleichen. Ab diesem Punkt erfährt der Körper keine weitere Beschleunigung mehr und bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.
ID:(1965, 0)
Mechanismen
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Mechanismen
ID:(15539, 0)
Viskose Kraft auf einen Körper
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Die Kraft, die ein Körper erfährt, der sich mit einer Geschwindigkeit von eine Geschwindigkeit ($v$) in einem Medium bewegt, das durch die Konstante des Viscose Kraft ($b$) charakterisiert ist, beträgt die Viscose Kraft ($F_v$), wie durch die Gleichung beschrieben:
| $ F_v = b v $ |
Um die Rolle von die Konstante des Viscose Kraft ($b$) zu verstehen, ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass Viskosität ein Maß dafür ist, wie sich der Impuls oder die Geschwindigkeit der Moleküle ausbreitet. Mit anderen Worten, die Konstante des Viscose Kraft ($b$) ist das Maß dafür, wie viel Energie der Körper verliert, indem er sie an das Medium überträgt und die Moleküle beschleunigt, und ihnen so Energie zuführt. Daher ist die Konstante des Viscose Kraft ($b$) proportional zur Viskosität.
ID:(15546, 0)
Kräfte auf eine Kugel, die in ein Medium fällt
Beschreibung
Wenn eine Kugel in ein viskoses Medium geworfen wird, entsteht eine anfängliche Aufwärtskraft, eine Schwerkraft ($F_g$), die den Körper allmählich absinken lässt. Während dieses Prozesses gewinnt die Kugel an Geschwindigkeit, was zu einer abwärts gerichteten Kraft, eine Viscose Kraft ($F_v$), führt, die von der Geschwindigkeit abhängt. Wenn die Gesamtgeschwindigkeit, die Kraft mit konstanter Masse ($F$),
| $ F = F_g - F_v $ |
beginnt sich zu verringern, bis sie null ist. Ab diesem Moment setzt sich die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit fort, da keine Kraft vorhanden ist, die sie beschleunigt.
ID:(15544, 0)
Ostwald-Methode zur Messung der Viskosität
Beschreibung
Die Viskositätsmessmethode nach Ostwald basiert auf dem Verhalten eines Flüssigkeitsstroms durch ein Rohr mit kleinem Radius (Kapillare).
Die Flüssigkeit wird eingeführt, Unterdruck wird angewendet, um die obere Markierung zu überschreiten, und dann wird sie abfließen gelassen, wobei die Zeit gemessen wird, die der Pegel benötigt, um von der oberen zur unteren Markierung zu gelangen.
Das Experiment wird zuerst mit einer Flüssigkeit durchgeführt, deren Viskosität und Dichte bekannt sind (z. B. destilliertes Wasser), und dann mit der Flüssigkeit, für die die Viskosität bestimmt werden soll. Wenn die Bedingungen identisch sind, wird die in beiden Fällen fließende Flüssigkeit ähnlich sein, und somit wird die Zeit proportional zur Dichte durch die Viskosität sein. Somit kann eine Vergleichsgleichung zwischen beiden Viskositäten aufgestellt werden:
ID:(15545, 0)
Fallgeschwindigkeit in viskosem Medium
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Im Fall eines Körpers, der in einem viskosen Medium fällt, ist die Bewegungsgleichung eine Gleichung von die Geschwindigkeit ($v$) in Abhängigkeit von der Zeit ($t$) mit die Gravitationsmasse ($m_g$), die Träge Masse ($m_i$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Konstante des Viscose Kraft ($b$):
| $ m_i \displaystyle\frac{dv}{dt} = m_g g - b v $ |
Dies wird erhalten mit die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$)
| $ \tau_i \equiv \displaystyle\frac{ m_i }{ b }$ |
und mit die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$)
| $ \tau_g \equiv \displaystyle\frac{ m_g }{ b }$ |
Integrieren mit Anfangszeit null und die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$),
| $ v = g \tau_g + ( v_0 - g \tau_g )e^{- t / \tau_i }$ |
welche nachfolgend dargestellt ist:
Das Diagramm zeigt, wie die Viskosität den Körper dazu zwingt, mit eine Asymptotische Geschwindigkeit ($v_{\infty}$) abzusteigen, was gleich $g\tau_g$ ist. Dies geschieht innerhalb einer Zeitordnung von die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$), egal ob die Geschwindigkeit ($v$) kleiner oder größer als die Asymptotische Geschwindigkeit ($v_{\infty}$) ist.
ID:(15547, 0)
Fallweg in viskosem Medium
Top
Im Fall eines Körpers, der in einem viskosen Medium fällt, ist die Bewegungsgleichung eine Gleichung von die Position ($s$) in Abhängigkeit von die Gravitationsbeschleunigung ($g$), die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$), die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und der Zeit ($t$):
| $ \displaystyle\frac{ds}{dt} = g \tau_g + ( v_0 - g \tau_g )e^{- t / \tau_i }$ |
Aus dieser Gleichung erhalten wir durch Integration mit Anfangszeit null und eine Ausgangsstellung ($s_0$):
| $ s = s_0 + g \tau_g t +( v_0 - g \tau_g ) \tau_i (1 - e^{- t / \tau_i })$ |
die unten dargestellt ist:
ID:(15550, 0)
Modell
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Parameter
Variablen
Berechnungen
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ \displaystyle\frac{ds}{dt} = g \tau_g + ( v_0 - g \tau_g )e^{- t / \tau_i }$
@DIFF( s , t )= g * tau_g + ( v_0 - g * tau_g )*exp(- t / tau_i )
$ F = F_g - F_v $
F = F_g - F_v
$ F = m_i a $
F = m_i * a
$ F_g = m_g g $
F_g = m_g * g
$ F_v = b v $
F_v = b * v
$ m_g = m_i $
m_g = m_i
$ m_i \displaystyle\frac{dv}{dt} = m_g g - b v $
m_i * @DIFF( v , t ) = m_g * g - b * v
$ m_i a = m_g g - b v $
m_i * a = m_g * g - b * v
$ s = s_0 + g \tau_g t +( v_0 - g \tau_g ) \tau_i (1 - e^{- t / \tau_i })$
s = s_0 + g * tau_g * t + ( v_0 - g * tau_g )* tau_i *(1-exp(- t / tau_i ))
$ \tau_g \equiv \displaystyle\frac{ m_g }{ b }$
tau_g = m_g / b
$ \tau_i \equiv \displaystyle\frac{ m_i }{ b }$
tau_i = m_i / b
$ v = g \tau_g + ( v_0 - g \tau_g )e^{- t / \tau_i }$
v = g * tau_g + ( v_0 - g * tau_g )*exp(- t / tau_i )
$ v_{\infty} \equiv g \tau_g $
v_i = g * tau_g
ID:(15541, 0)
Gesamtkraft des Körpers, der in ein viskoses Medium fällt
Gleichung
Im Fall eines Körpers, der in einem viskosen Medium fällt, ist die Gesamtkraft, die Kraft mit konstanter Masse ($F$), gleich die Schwerkraft ($F_g$) minus die Viscose Kraft ($F_v$), also
| $ F = F_g - F_v $ |
ID:(15543, 0)
Kraftfall konstante Masse
Gleichung
Im Fall, dass die Träge Masse ($m_i$) gleich die Anfangsmasse ($m_0$) ist,
| $ m_g = m_i $ |
wird die Ableitung des Impulses gleich der Masse mal der Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) sein. Da die Ableitung der Geschwindigkeit die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) ist, ergibt sich, dass die Kraft mit konstanter Masse ($F$) ist
| $ F = m_i a $ |
Da der Moment ($p$) mit die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) definiert ist,
| $ p = m_i v $ |
Wenn die Träge Masse ($m_i$) gleich die Anfangsmasse ($m_0$) ist, können wir den Impuls nach der Zeit ableiten und die Kraft mit konstanter Masse ($F$) erhalten:
$F=\displaystyle\frac{d}{dt}p=m_i\displaystyle\frac{d}{dt}v=m_ia$
Daher kommen wir zu dem Schluss, dass
| $ F = m_i a $ |
ID:(10975, 0)
Viscose Kraft
Gleichung
Die einfachste Form von die Viscose Kraft ($F_v$) ist diejenige, die proportional zum die Geschwindigkeit ($v$) des Körpers ist, dargestellt durch:
| $ F_v = b v $ |
Die Proportionalitätskonstante, auch bekannt als die Konstante des Viscose Kraft ($b$), hängt im Allgemeinen von der Form des Objekts und der Viskosität des Mediums ab, in dem es sich bewegt. Ein Beispiel für diese Art von Kraft ist die, die von einem Fluidstrom auf einen kugelförmigen Körper ausgeübt wird, deren mathematischer Ausdruck als Stokesches Gesetz bekannt ist.
ID:(3243, 0)
Schwerkraft
Gleichung
Die Schwerkraft ($F_g$) basiert auf die Gravitationsmasse ($m_g$) des Objekts und auf einer Konstanten, die die Intensität der Gravitation an der Oberfläche des Planeten widerspiegelt. Letztere wird durch die Gravitationsbeschleunigung ($g$) identifiziert, was $9.8 m/s^2$ entspricht.
Daraus folgt, dass:
| $ F_g = m_g g $ |
ID:(3241, 0)
Gleichheit von träger und schwerer Masse
Gleichung
Die Massen, die Newton in seinen Prinzipien verwendete, sind mit der Trägheit der Körper verbunden, was zum Konzept von die Träge Masse ($m_i$) führt.
Das nach Newton benannte Gesetz, das die Kraft zwischen Körpern aufgrund ihrer Massen beschreibt, ist mit der Gravitation verbunden und wird daher als die Gravitationsmasse ($m_g$) bezeichnet.
Empirisch wurde festgestellt, dass beide Massen äquivalent sind, und daher definieren wir
| $ m_g = m_i $ |
Einstein war derjenige, der diese Gleichheit in Frage stellte und von diesem Zweifel aus verstand, warum beide in seiner Gravitationstheorie "gleich erscheinen". In seinem Argument erklärte Einstein, dass Massen den Raum verformen, und diese Raumverformung führt zu einer Veränderung des Verhaltens von Körpern. Auf diese Weise erweisen sich die Massen als äquivalent. Das revolutionäre Konzept der Raumkrümmung impliziert, dass selbst Licht, das keine Masse hat, von Himmelskörpern beeinflusst wird, was der Gravitationstheorie von Newton widerspricht. Dies wurde experimentell durch die Untersuchung des Verhaltens von Licht während einer Sonnenfinsternis nachgewiesen. In dieser Situation werden Lichtstrahlen aufgrund der Anwesenheit der Sonne abgelenkt, was es ermöglicht, Sterne hinter ihr zu beobachten.
ID:(12552, 0)
Bewegungsgleichung beim Fallen in einem viskosen Medium
Gleichung
Die Kraft mit konstanter Masse ($F$) ist gleich die Schwerkraft ($F_g$) minus die Viscose Kraft ($F_v$), also:
| $ F = F_g - F_v $ |
Diese Beziehung ermöglicht die Aufstellung der Bewegungsgleichung für die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) mit eine Träge Masse ($m_i$), die aufgrund der Schwerkraft der Erde mit die Gravitationsbeschleunigung ($g$) fällt, und mit eine Gravitationsmasse ($m_g$), in die Konstante des Viscose Kraft ($b$), wird sie die Form annehmen von:
| $ m_i a = m_g g - b v $ |
ID:(14495, 0)
Differentialgleichung für den Fall in einem viskosen Medium
Gleichung
Die Träge Masse ($m_i$), das durch die Erdanziehungskraft mit eine Gravitationsbeschleunigung ($g$) fällt, und mit eine Gravitationsmasse ($m_g$) in einem viskosen Medium mit eine Konstante des Viscose Kraft ($b$), wird wie folgt dargestellt:
| $ m_i a = m_g g - b v $ |
Um diese Gleichung zu lösen, muss sie in ihre Differentialform gebracht werden. Dies wird erreicht, indem die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) durch die Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) in der Zeit ($t$) ersetzt wird:
| $ m_i \displaystyle\frac{dv}{dt} = m_g g - b v $ |
ID:(14492, 0)
Gravitationsmassenzeit und Viskosität
Gleichung
Mit der Bewegungsgleichung eines Körpers in einem viskosen Medium haben wir die Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) bei der Zeit ($t$) mit die Träge Masse ($m_i$), die Gravitationsmasse ($m_g$), die Konstante des Viscose Kraft ($b$) und die Gravitationsbeschleunigung ($g$):
| $ m_i \displaystyle\frac{dv}{dt} = m_g g - b v $ |
Damit wird die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$) definiert als:
| $ \tau_g \equiv \displaystyle\frac{ m_g }{ b }$ |
ID:(15549, 0)
Zeit und Viskosität der trägen Masse
Gleichung
Mit der Bewegungsgleichung eines Körpers in einem viskosen Medium haben wir die Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) bei der Zeit ($t$) mit die Konstante des Viscose Kraft ($b$) und die Gravitationsbeschleunigung ($g$):
| $ m_i \displaystyle\frac{dv}{dt} = - b v $ |
Damit wird die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$) definiert als:
| $ \tau_i \equiv \displaystyle\frac{ m_i }{ b }$ |
ID:(15548, 0)
Lösung der Bewegung, die in ein viskoses Medium fällt
Gleichung
Die Bewegungsgleichung in die Geschwindigkeit ($v$) bei der Zeit ($t$) mit die Träge Masse ($m_i$), die Gravitationsmasse ($m_g$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Konstante des Viscose Kraft ($b$) lautet:
| $ m_i \displaystyle\frac{dv}{dt} = m_g g - b v $ |
Unter der Annahme, dass die Anfangszeit null ist, die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$) und die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$), erhalten wir die folgende Gleichung:
| $ v = g \tau_g + ( v_0 - g \tau_g )e^{- t / \tau_i }$ |
Die Bewegungsgleichung bei die Geschwindigkeit ($v$) in der Zeit ($t$) mit die Träge Masse ($m_i$), die Gravitationsmasse ($m_g$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Konstante des Viscose Kraft ($b$):
| $ m_i \displaystyle\frac{dv}{dt} = m_g g - b v $ |
zusammen mit der Definition von die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$)
| $ \tau_i \equiv \displaystyle\frac{ m_i }{ b }$ |
und die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$)
| $ \tau_g \equiv \displaystyle\frac{ m_g }{ b }$ |
kann umformuliert werden als
$\displaystyle\frac{dv}{g\tau_g - v} = \displaystyle\frac{dt}{\tau_i}$
Wenn wir diesen Ausdruck zwischen eine Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und die Geschwindigkeit ($v$) integrieren und vom Anfangszeitpunkt null bis der Zeit ($t$) integrieren, erhalten wir
$\ln(g\tau_g-v_0)-\ln(g\tau_g-v)=\displaystyle\frac{t}{\tau_i}$
Durch Lösen nach der Geschwindigkeit erhalten wir
| $ v = g \tau_g + ( v_0 - g \tau_g )e^{- t / \tau_i }$ |
Diese Gleichung veranschaulicht, dass die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) dann asymptotisch gegen die Geschwindigkeit $g\tau_g$ konvergiert.
ID:(14493, 0)
Asymptotische Geschwindigkeit
Gleichung
Die Integration der Bewegungsgleichung ergibt die Geschwindigkeit ($v$) als Funktion von die Gravitationsbeschleunigung ($g$), die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$), die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und der Zeit ($t$) in der Form:
| $ v = g \tau_g + ( v_0 - g \tau_g )e^{- t / \tau_i }$ |
Für der Zeit ($t$) viel größer als die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$) ergibt sich das Limit die Asymptotische Geschwindigkeit ($v_{\infty}$):
| $ v_{\infty} \equiv g \tau_g $ |
ID:(14494, 0)
Differentialgleichung des Fallwegs in viskosem Medium
Gleichung
Die Integration der Bewegungsgleichung ergibt die Geschwindigkeit ($v$) als Funktion von die Gravitationsbeschleunigung ($g$), die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$), die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und der Zeit ($t$) in der Form:
| $ v = g \tau_g + ( v_0 - g \tau_g )e^{- t / \tau_i }$ |
in ihrer differentiellen Form,
| $ \displaystyle\frac{ds}{dt} = g \tau_g + ( v_0 - g \tau_g )e^{- t / \tau_i }$ |
wobei die Position ($s$) die zurückgelegte Strecke repräsentiert.
ID:(14496, 0)
Weg beim Sturz in einem viskosen Medium
Gleichung
Die Integration der Bewegungsgleichung ergibt die Position ($s$) in Abhängigkeit von die Gravitationsbeschleunigung ($g$), die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$), die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und der Zeit ($t$) wie folgt:
| $ \displaystyle\frac{ds}{dt} = g \tau_g + ( v_0 - g \tau_g )e^{- t / \tau_i }$ |
von einem anfänglichen Nullzeitpunkt bis der Zeit ($t$), und von die Ausgangsstellung ($s_0$) bis die Position ($s$), erhalten wir
| $ s = s_0 + g \tau_g t +( v_0 - g \tau_g ) \tau_i (1 - e^{- t / \tau_i })$ |
ID:(14497, 0)