Utilizador:
Força de Stokes
Storyboard 
Um exemplo de força viscosa é o modelo que surge quando uma esfera se move em um meio viscoso. Esse modelo e a equação associada são conhecidos pelo nome de seu autor, George Stokes.
A força de Stokes depende da viscosidade do meio, do raio da esfera e da velocidade com que ela se move no meio. Da mesma forma, se o meio está em movimento, ele arrasta o objeto junto com ele.
ID:(1964, 0)
Mecanismos
Iframe
Mecanismos
ID:(15540, 0)
George Stokes
Descrição
George Stokes fez contribuições significativas nas áreas de hidrodinâmica e matemática. Ele é principalmente lembrado pela conhecida lei de Stokes aplicada a corpos esféricos em um fluxo e pelo teorema de Stokes na matemática.
ID:(12535, 0)
Forças sobre uma esfera caindo em um meio
Descrição
Quando uma esfera é lançada em um meio viscoso, surge uma força inicial ascendente, uma força gravitacional ($F_g$), que afunda gradualmente o corpo. Durante esse processo, a esfera ganha velocidade, resultando em uma força descendente, uma força viscosa ($F_v$), que depende da velocidade. Conforme a velocidade total, la força com massa constante ($F$),
| $ F = F_g - F_v $ |
começa a diminuir até se tornar nula. A partir desse momento, o movimento continua com velocidade constante, já que não há força para acelerá-lo.
ID:(15544, 0)
Força de Stokes
Top
A força de Stokes é a força gerada pelo fluxo ao redor de uma esfera de ($$) imersa nele. Neste caso, utiliza-se o modelo de força proporcional a la velocidade ($v$):
Neste contexto, pode-se demonstrar que la constante de força viscosa ($b$) com la viscosidade ($\eta$) é igual a:
portanto, a força de Stokes é expressa como:
Esta força é aplicada principalmente em fluxos laminares.
ID:(15555, 0)
Velocidade de queda em meio viscoso
Top
O movimento de uma esfera em duas dimensões é caracterizado por la componente x da velocidade ($v_x$) com la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):
| $ v_x = v_{0x} e^{- t / \tau }$ |
e la componente y da velocidade ($v_y$) com la velocidade vertical inicial ($v_{0y}$), la tempo de adaptação ($\tau$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$):
| $ v_y = g \tau + ( v_{0y} - g \tau )e^{- t / \tau }$ |
o que é representado em um diagrama $v_x$ vs. $v_y$:
O diagrama mostra como ambas as componentes de velocidade evoluem ao longo do tempo. Inicialmente, $v$ é igual a $v_{0x}$, o que corresponde a um ponto na borda direita do gráfico. Com o tempo, as componentes de velocidade evoluem da direita para a borda esquerda, onde a velocidade horizontal é nula e a velocidade vertical atinge o limite de $g\tau$, de modo que $v/g\tau$ é igual a um.
ID:(15558, 0)
Trajetória de queda em meio viscoso
Top
A deslocação horizontal pode ser calculada usando a equação para la posição no eixo x ($x$) com la posição inicial no eixo x ($x_0$), la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):
| $ x = x_0 + v_{0x} \tau (1 - e^{- t / \tau })$ |
e o deslocamento vertical para la posição no eixo y ($y$) com la posição inicial no eixo y ($y_0$), la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):
| $ y = y_0 + \tau g t + \tau ( v_{0y} - g \tau )(1 - e^{- t / \tau })$ |
que é graficamente representado nas posições $x$ vs $y$:
Neste caso, a posição evolui da borda esquerda para a direita, onde para o movimento horizontal alcançando uma distância máxima de $v_{0x}\tau$. O deslocamento vertical é descrito com um sistema de coordenadas que tem sua origem no ponto onde a trajetória começa e cuja versão vertical aponta para baixo. Nesse sentido, o aumento em $y$ corresponde ao movimento descendente da esfera na direção da gravidade.
ID:(15559, 0)
Método Ostwald para medir a viscosidade
Descrição
O método de medição de viscosidade de Ostwald baseia-se no comportamento de um líquido fluindo através de um tubo de pequeno raio (capilar).
O líquido é introduzido, aplica-se sucção para exceder a marca superior e, em seguida, permite-se que escorra, medindo o tempo que leva para o nível passar da marca superior para a inferior.
O experimento é conduzido primeiro com um líquido para o qual a viscosidade e a densidade são conhecidas (por exemplo, água destilada), e depois com o líquido para o qual se deseja determinar a viscosidade. Se as condições forem idênticas, o líquido fluindo em ambos os casos será semelhante e, assim, o tempo será proporcional à densidade dividida pela viscosidade. Portanto, pode-se estabelecer uma equação de comparação entre ambas as viscosidades:
ID:(15545, 0)
Modelo
Top
Parâmetros
Variáveis
Cálculos
para 
, depois, selecione a variável: 
para 
Cálculos
Cálculos
Variáve 
Dado Calcular 
Objetivo : Equação A ser usado 
Equações
$ b \equiv 6 \pi \eta r $
b = 6* pi * eta * r
$ F = F_g - F_v $
F = F_g - F_v
$ F = m_i a $
F = m_i * a
$ F_g = m_g g $
F_g = m_g * g
$ F_v = b v $
F_v = b * v
$ F_v =6 \pi \eta r v $
F_v =6* pi * eta * r * v
$ m_g = m_i $
m_g = m_i
$ m_i a = m_g g - b v $
m_i * a = m_g * g - b * v
$ \rho \equiv\displaystyle\frac{ m_i }{ V }$
rho = M / V
$ \tau_g \equiv \displaystyle\frac{ m_g }{ b }$
tau_g = m_g / b
$ \tau_i \equiv \displaystyle\frac{ m_i }{ b }$
tau_i = m_i / b
$ V =\displaystyle\frac{4 \pi }{3} r ^3$
V =4* pi * r ^3/3
$ v_x = v_{0x} e^{- t / \tau }$
v_x = v_0x *exp(- t / tau )
$ v_y = g \tau + ( v_{0y} - g \tau )e^{- t / \tau }$
v_y = g * tau + ( v_0y - g * tau )*e^(- t / tau )
$ x = x_0 + v_{0x} \tau (1 - e^{- t / \tau })$
x = x_0 + v_0x * tau *(1-e^(- t / tau ))
$ y = y_0 + \tau g t + \tau ( v_{0y} - g \tau )(1 - e^{- t / \tau })$
y = y_0 + tau * g * t + tau *( v_0y - g * tau )*(1-e^(- t / tau ))
$\tau = \displaystyle\frac{2 r ^2 \rho }{9 \eta }$
tau = 2* r ^2* rho /(9 * eta )
ID:(15542, 0)
Força total do corpo caindo em meio viscoso
Equação
No caso de um corpo que cai em um meio viscoso, a força total, la força com massa constante ($F$), é igual a la força gravitacional ($F_g$) menos la força viscosa ($F_v$), então
| $ F = F_g - F_v $ |
ID:(15543, 0)
Caso de força massa constante
Equação
No caso em que la massa inercial ($m_i$) é igual a la massa inicial ($m_0$),
| $ m_g = m_i $ |
a derivada do momento será igual à massa multiplicada pela derivada de la velocidade ($v$). Dado que a derivada da velocidade é La aceleração instantânea ($a$), temos que la força com massa constante ($F$) é igual a
| $ F = m_i a $ |
Dado que o momento ($p$) se define con la massa inercial ($m_i$) y la velocidade ($v$),
| $ p = m_i v $ |
Si la massa inercial ($m_i$) é igual a la massa inicial ($m_0$), então podemos derivar o momento em relação ao tempo e obter la força com massa constante ($F$):
$F=\displaystyle\frac{d}{dt}p=m_i\displaystyle\frac{d}{dt}v=m_ia$
Portanto, chegamos à conclusão de que
| $ F = m_i a $ |
ID:(10975, 0)
Força gravitacional
Equação
La força gravitacional ($F_g$) baseia-se em la massa gravitacional ($m_g$) do objeto e em uma constante que reflete a intensidade da gravidade na superfície do planeta. Esta última é identificada por la aceleração gravitacional ($g$), que é igual a $9.8 m/s^2$.
Consequentemente, conclui-se que:
| $ F_g = m_g g $ |
ID:(3241, 0)
Força viscosa
Equação
A forma mais simples de la força viscosa ($F_v$) é aquela que é proporcional ao la velocidade ($v$) do corpo, representada por:
| $ F_v = b v $ |
A constante de proporcionalidade, também conhecida como la constante de força viscosa ($b$), geralmente depende da forma do objeto e da viscosidade do meio através do qual ele se move. Um exemplo desse tipo de força é aquela exercida por um fluxo de fluido em um corpo esférico, cuja expressão matemática é conhecida como a lei de Stokes.
ID:(3243, 0)
Força de Stokes
Equação
A força de arrasto é definida em função da viscosidade do fluido e da velocidade da esfera pela equação:
| $ F_v = b v $ |
Stokes calculou explicitamente a resistência sofrida pela esfera e determinou que a viscosidade é proporcional ao raio da esfera e à sua velocidade, resultando na seguinte equação:
| $ F_v =6 \pi \eta r v $ |
ID:(4871, 0)
Fator de força de Stokes
Equação
No caso da força de Stokes em la força viscosa ($F_v$), esta é modelada com la constante de força viscosa ($b$) e la velocidade ($v$),
| $ F_v = b v $ |
o que corresponde a um valor de la constante de força viscosa ($b$) que, com la viscosidade ($\eta$) e ($$), é igual a
| $ b \equiv 6 \pi \eta r $ |
ID:(15554, 0)
Equação do movimento caindo em um meio viscoso
Equação
La força com massa constante ($F$) é igual a la força gravitacional ($F_g$) menos la força viscosa ($F_v$), então:
| $ F = F_g - F_v $ |
Essa relação permite estabelecer a equação de movimento para la aceleração instantânea ($a$) com uma massa inercial ($m_i$) caindo devido à gravidade da Terra com la aceleração gravitacional ($g$), e com uma massa gravitacional ($m_g$), em la constante de força viscosa ($b$), assumirá a forma de:
| $ m_i a = m_g g - b v $ |
ID:(14495, 0)
Massa e Densidade
Equação
La densidade ($\rho$) é definido como a relação entre la massa ($M$) e o volume ($V$), expressa como:
| $ \rho \equiv\displaystyle\frac{ m_i }{ V }$ |
| $ \rho \equiv\displaystyle\frac{ M }{ V }$ |
Essa propriedade é específica do material em questão.
ID:(3704, 0)
Volume da esfera
Equação
La volume de uma esfera ($V$) de uma esfera com um raio de uma esfera ($r$) é calculado pela seguinte fórmula:
| $ V =\displaystyle\frac{4 \pi }{3} r ^3$ |
ID:(4445, 0)
Igualdade das massas inercial e gravitacional
Equação
As massas que Newton utilizou em seus princípios estão relacionadas à inércia dos corpos, o que leva ao conceito de la massa inercial ($m_i$).
A lei de Newton, que está ligada à força entre corpos devido às suas massas, está relacionada à gravidade, sendo conhecida como la massa gravitacional ($m_g$).
Empiricamente, concluiu-se que ambas as massas são equivalentes, e, portanto, definimos
| $ m_g = m_i $ |
Einstein foi quem questionou essa igualdade e, a partir dessa dúvida, compreendeu por que ambas 'aparecem' iguais em sua teoria da gravidade. Em seu argumento, Einstein explicou que as massas deformam o espaço, e essa deformação do espaço causa uma mudança no comportamento dos corpos. Assim, as massas acabam sendo equivalentes. O conceito revolucionário da curvatura do espaço implica que até mesmo a luz, que não tem massa, é afetada por corpos celestes, contradizendo a teoria da gravitação de Newton. Isso foi demonstrado experimentalmente ao estudar o comportamento da luz durante um eclipse solar. Nessa situação, os feixes de luz são desviados devido à presença do sol, permitindo a observação de estrelas que estão atrás dele.
ID:(12552, 0)
Tempo característico da equação de Stokes
Equação
Com o modelo de Stokes, o arrasto viscoso la constante de força viscosa ($b$), que depende de ($$) e la viscosidade ambiental ($\eta$), calculado com
| $ b \equiv 6 \pi \eta r $ |
resulta em la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$) e la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$) assumindo valores iguais la tempo de adaptação ($\tau$), calculados com la densidade ($\rho$) através de
| $\tau = \displaystyle\frac{2 r ^2 \rho }{9 \eta }$ |
Se o tempo característico for definido como
$\tau=\displaystyle\frac{m_i}{b}$
e o coeficiente da força viscosa for
$b=6\pi r\eta$
Por outro lado, considerando que
| $ \rho \equiv\displaystyle\frac{ m_i }{ V }$ |
e
| $ V =\displaystyle\frac{4 \pi }{3} r ^3$ |
segue-se que a massa é
$m_i = \rho V = \displaystyle\frac{4\pi}{3} r^3 \rho$
o que nos leva a
$\tau = \displaystyle\frac{m_i}{b}=\displaystyle\frac{2 \rho r^2}{9\eta}$
ou seja,
| $\tau = \displaystyle\frac{2 r ^2 \rho }{9 \eta }$ |
ID:(14465, 0)
Tempo de massa gravitacional e viscosidade
Equação
Com a equação de movimento de um corpo em um meio viscoso, temos a derivada de la velocidade ($v$) em o tempo ($t$) com la massa inercial ($m_i$), la massa gravitacional ($m_g$), la constante de força viscosa ($b$) e la aceleração gravitacional ($g$):
| $ m_i \displaystyle\frac{dv}{dt} = m_g g - b v $ |
Isso define la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$) como:
| $ \tau_g \equiv \displaystyle\frac{ m_g }{ b }$ |
ID:(15549, 0)
Velocidade horizontal em meio viscoso
Equação
No cenário de movimento horizontal, a esfera enfrenta resistência apenas da viscosidade do meio circundante, que pode ser quantificada pela equação envolvendo la velocidade ($v$) com la velocidade inicial ($v_0$), la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$) e o tempo ($t$):
| $ v = v_0 e^{- t / \tau_i }$ |
Consequentemente, a interação entre esses elementos leva à observação de que la componente x da velocidade ($v_x$) com la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):
| $ v_x = v_{0x} e^{- t / \tau }$ |
ID:(6844, 0)
Posição horizontal média viscosa
Equação
Dentro do contexto do movimento horizontal, a posição é obtida integrando a velocidade, o que resulta em uma equação em la posição ($s$) com la velocidade ($s_0$), la velocidade inicial ($v_0$), la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$), la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$):
| $ s = s_0 + v_0 \tau_i (1 - e^{- t / \tau_i })$ |
A partir desta equação, chegamos à equação do deslocamento horizontal para la posição no eixo x ($x$) com la posição inicial no eixo x ($x_0$), la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):
| $ x = x_0 + v_{0x} \tau (1 - e^{- t / \tau })$ |
ID:(14467, 0)
Tempo de massa inercial e viscosidade
Equação
Com a equação de movimento de um corpo em um meio viscoso, temos a derivada de la velocidade ($v$) em o tempo ($t$) com la constante de força viscosa ($b$) e la aceleração gravitacional ($g$):
| $ m_i \displaystyle\frac{dv}{dt} = - b v $ |
Isso define la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$) como:
| $ \tau_i \equiv \displaystyle\frac{ m_i }{ b }$ |
ID:(15548, 0)
Velocidade vertical em um meio viscoso sob gravidade
Equação
No contexto do movimento vertical, a esfera enfrenta uma resistência dupla: de um lado, a viscosidade do meio circundante e, de outro, a gravidade que a impulsiona para baixo. Esta última pode ser quantificada pela equação em la velocidade ($v$) com la velocidade inicial ($v_0$), la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$), la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$):
| $ v = g \tau_g + ( v_0 - g \tau_g )e^{- t / \tau_i }$ |
Assumimos que a massa gravitacional e a massa inercial são idênticas, então obtemos a função para la componente y da velocidade ($v_y$) com la velocidade vertical inicial ($v_{0y}$), la tempo de adaptação ($\tau$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$):
| $ v_y = g \tau + ( v_{0y} - g \tau )e^{- t / \tau }$ |
ID:(14466, 0)
Posição vertical do meio viscoso sob gravitação
Equação
Dentro do cenário de movimento vertical, a posição é obtida pela integração da velocidade, o que nos dá uma equação em la posição ($s$) com la velocidade ($s_0$), la velocidade inicial ($v_0$), la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$), la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$):
| $ s = s_0 + g \tau_g t +( v_0 - g \tau_g ) \tau_i (1 - e^{- t / \tau_i })$ |
A partir desta equação, chegamos à equação de deslocamento vertical para la posição no eixo y ($y$) com la posição inicial no eixo y ($y_0$), la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):
| $ y = y_0 + \tau g t + \tau ( v_{0y} - g \tau )(1 - e^{- t / \tau })$ |
ID:(14468, 0)