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Stokes Kraft
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Ein Beispiel für eine viskose Kraft ist das Modell, das entsteht, wenn sich eine Kugel in einem viskosen Medium bewegt. Dieses Modell und die zugehörige Gleichung sind bekannt unter dem Namen ihres Autors George Stokes.
Die Stokes'sche Kraft hängt von der Viskosität des Mediums, dem Radius der Kugel und der Geschwindigkeit ab, mit der sie sich im Medium bewegt. Ebenso zieht, wenn sich das Medium selbst bewegt, dieses das Objekt mit sich.
ID:(1964, 0)
Mechanismen
Iframe
Mechanismen
ID:(15540, 0)
George Stokes
Beschreibung
George Stokes leistete bedeutende Beiträge auf den Gebieten der Hydrodynamik und Mathematik. Er wird vor allem für das bekannte Stokes-Gesetz für kugelförmige Körper in einem Strömungsfeld und für den Stokes\'schen Satz in der Mathematik in Erinnerung behalten.
George Gabriel Stokes (1819-1903)
ID:(12535, 0)
Kräfte auf eine Kugel, die in ein Medium fällt
Beschreibung
Wenn eine Kugel in ein viskoses Medium geworfen wird, entsteht eine anfängliche Aufwärtskraft, eine Schwerkraft ($F_g$), die den Körper allmählich absinken lässt. Während dieses Prozesses gewinnt die Kugel an Geschwindigkeit, was zu einer abwärts gerichteten Kraft, eine Viscose Kraft ($F_v$), führt, die von der Geschwindigkeit abhängt. Wenn die Gesamtgeschwindigkeit, die Kraft mit konstanter Masse ($F$),
| $ F = F_g - F_v $ |
beginnt sich zu verringern, bis sie null ist. Ab diesem Moment setzt sich die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit fort, da keine Kraft vorhanden ist, die sie beschleunigt.
ID:(15544, 0)
Stokes Kraft
Top
Die Stokes-Kraft ist die Kraft, die durch den Fluss um eine in ihn eingetauchte Kugel von Radio de la Gota ($r$) erzeugt wird. In diesem Fall wird das Modell der Kraft verwendet, die proportional zu die Geschwindigkeit ($v$) ist:
| $ F_v = b v $ |
In diesem Kontext kann gezeigt werden, dass die Konstante des Viscose Kraft ($b$) mit die Viskosität ($\eta$) gleich ist:
| $ b \equiv 6 \pi \eta r $ |
somit wird die Stokes-Kraft wie folgt ausgedrückt:
| $ F_v =6 \pi \eta r v $ |
Diese Kraft wird hauptsächlich in laminaren Strömungen angewendet.
ID:(15555, 0)
Fallgeschwindigkeit in viskosem Medium
Top
Die Bewegung einer Kugel in zwei Dimensionen wird durch die Komponente x der Geschwindigkeit ($v_x$) mit die Horizontale Geschwindigkeit ($v_{0x}$), die Anpassungszeit ($\tau$) und der Zeit ($t$) charakterisiert:
| $ v_x = v_{0x} e^{- t / \tau }$ |
und die Komponente y der Geschwindigkeit ($v_y$) mit die Vertikale Geschwindigkeit ($v_{0y}$), die Anpassungszeit ($\tau$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und der Zeit ($t$):
| $ v_y = g \tau + ( v_{0y} - g \tau )e^{- t / \tau }$ |
was in einem $v_x$ vs. $v_y$ Diagramm dargestellt wird:
Das Diagramm zeigt, wie sich beide Geschwindigkeitskomponenten im Laufe der Zeit entwickeln. Anfangs entspricht $v$ $v_{0x}$, was einem Punkt am rechten Rand des Graphen entspricht. Im Laufe der Zeit entwickeln sich die Geschwindigkeitskomponenten von der rechten Seite zum linken Rand, wo die horizontale Geschwindigkeit null ist und die vertikale Geschwindigkeit das Limit $g\tau$ erreicht, sodass $v/g\tau$ eins entspricht.
ID:(15558, 0)
Fallweg in viskosem Medium
Top
Die horizontale Verschiebung kann mithilfe der Gleichung für die Position auf der x-Achse ($x$) mit die Ausgangsposition auf der x-Achse ($x_0$), die Horizontale Geschwindigkeit ($v_{0x}$), die Anpassungszeit ($\tau$) und der Zeit ($t$) berechnet werden:
| $ x = x_0 + v_{0x} \tau (1 - e^{- t / \tau })$ |
und die vertikale Verschiebung für die Position auf der y-Achse ($y$) mit die Ausgangsposition auf der y-Achse ($y_0$), die Horizontale Geschwindigkeit ($v_{0x}$), die Anpassungszeit ($\tau$) und der Zeit ($t$):
| $ y = y_0 + \tau g t + \tau ( v_{0y} - g \tau )(1 - e^{- t / \tau })$ |
die in den Positionen $x$ vs $y$ graphisch dargestellt wird:
In diesem Fall entwickelt sich die Position von der linken Kante zur rechten, wo sie in ihrer horizontalen Bewegung stoppt und einen maximalen Abstand von $v_{0x}\tau$ erreicht. Die vertikale Verschiebung wird mit einem Koordinatensystem beschrieben, dessen Ursprung der Punkt ist, an dem die Trajektorie beginnt, und dessen vertikale Version nach unten zeigt. In diesem Sinne entspricht die Zunahme von $y$ dem Abstieg der Kugel in Richtung der Schwerkraft.
ID:(15559, 0)
Ostwald-Methode zur Messung der Viskosität
Beschreibung
Die Viskositätsmessmethode nach Ostwald basiert auf dem Verhalten eines Flüssigkeitsstroms durch ein Rohr mit kleinem Radius (Kapillare).
Die Flüssigkeit wird eingeführt, Unterdruck wird angewendet, um die obere Markierung zu überschreiten, und dann wird sie abfließen gelassen, wobei die Zeit gemessen wird, die der Pegel benötigt, um von der oberen zur unteren Markierung zu gelangen.
Das Experiment wird zuerst mit einer Flüssigkeit durchgeführt, deren Viskosität und Dichte bekannt sind (z. B. destilliertes Wasser), und dann mit der Flüssigkeit, für die die Viskosität bestimmt werden soll. Wenn die Bedingungen identisch sind, wird die in beiden Fällen fließende Flüssigkeit ähnlich sein, und somit wird die Zeit proportional zur Dichte durch die Viskosität sein. Somit kann eine Vergleichsgleichung zwischen beiden Viskositäten aufgestellt werden:
ID:(15545, 0)
Modell
Top
Parameter
Variablen
Berechnungen
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ b \equiv 6 \pi \eta r $
b = 6* pi * eta * r
$ F = F_g - F_v $
F = F_g - F_v
$ F = m_i a $
F = m_i * a
$ F_g = m_g g $
F_g = m_g * g
$ F_v = b v $
F_v = b * v
$ F_v =6 \pi \eta r v $
F_v =6* pi * eta * r * v
$ m_g = m_i $
m_g = m_i
$ m_i a = m_g g - b v $
m_i * a = m_g * g - b * v
$ \rho \equiv\displaystyle\frac{ m_i }{ V }$
rho = M / V
$ \tau_g \equiv \displaystyle\frac{ m_g }{ b }$
tau_g = m_g / b
$ \tau_i \equiv \displaystyle\frac{ m_i }{ b }$
tau_i = m_i / b
$ V =\displaystyle\frac{4 \pi }{3} r ^3$
V =4* pi * r ^3/3
$ v_x = v_{0x} e^{- t / \tau }$
v_x = v_0x *exp(- t / tau )
$ v_y = g \tau + ( v_{0y} - g \tau )e^{- t / \tau }$
v_y = g * tau + ( v_0y - g * tau )*e^(- t / tau )
$ x = x_0 + v_{0x} \tau (1 - e^{- t / \tau })$
x = x_0 + v_0x * tau *(1-e^(- t / tau ))
$ y = y_0 + \tau g t + \tau ( v_{0y} - g \tau )(1 - e^{- t / \tau })$
y = y_0 + tau * g * t + tau *( v_0y - g * tau )*(1-e^(- t / tau ))
$\tau = \displaystyle\frac{2 r ^2 \rho }{9 \eta }$
tau = 2* r ^2* rho /(9 * eta )
ID:(15542, 0)
Gesamtkraft des Körpers, der in ein viskoses Medium fällt
Gleichung
Im Fall eines Körpers, der in einem viskosen Medium fällt, ist die Gesamtkraft, die Kraft mit konstanter Masse ($F$), gleich die Schwerkraft ($F_g$) minus die Viscose Kraft ($F_v$), also
| $ F = F_g - F_v $ |
ID:(15543, 0)
Kraftfall konstante Masse
Gleichung
Im Fall, dass die Träge Masse ($m_i$) gleich die Anfangsmasse ($m_0$) ist,
| $ m_g = m_i $ |
wird die Ableitung des Impulses gleich der Masse mal der Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) sein. Da die Ableitung der Geschwindigkeit die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) ist, ergibt sich, dass die Kraft mit konstanter Masse ($F$) ist
| $ F = m_i a $ |
Da der Moment ($p$) mit die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) definiert ist,
| $ p = m_i v $ |
Wenn die Träge Masse ($m_i$) gleich die Anfangsmasse ($m_0$) ist, können wir den Impuls nach der Zeit ableiten und die Kraft mit konstanter Masse ($F$) erhalten:
$F=\displaystyle\frac{d}{dt}p=m_i\displaystyle\frac{d}{dt}v=m_ia$
Daher kommen wir zu dem Schluss, dass
| $ F = m_i a $ |
ID:(10975, 0)
Schwerkraft
Gleichung
Die Schwerkraft ($F_g$) basiert auf die Gravitationsmasse ($m_g$) des Objekts und auf einer Konstanten, die die Intensität der Gravitation an der Oberfläche des Planeten widerspiegelt. Letztere wird durch die Gravitationsbeschleunigung ($g$) identifiziert, was $9.8 m/s^2$ entspricht.
Daraus folgt, dass:
| $ F_g = m_g g $ |
ID:(3241, 0)
Viscose Kraft
Gleichung
Die einfachste Form von die Viscose Kraft ($F_v$) ist diejenige, die proportional zum die Geschwindigkeit ($v$) des Körpers ist, dargestellt durch:
| $ F_v = b v $ |
Die Proportionalitätskonstante, auch bekannt als die Konstante des Viscose Kraft ($b$), hängt im Allgemeinen von der Form des Objekts und der Viskosität des Mediums ab, in dem es sich bewegt. Ein Beispiel für diese Art von Kraft ist die, die von einem Fluidstrom auf einen kugelförmigen Körper ausgeübt wird, deren mathematischer Ausdruck als Stokesches Gesetz bekannt ist.
ID:(3243, 0)
Stokes Kraft
Gleichung
Die Widerstandskraft wird in Abhängigkeit von der Viskosität des Fluids und der Geschwindigkeit der Kugel durch die Gleichung definiert:
| $ F_v = b v $ |
Stokes hat den Widerstand, dem die Kugel ausgesetzt ist, explizit berechnet und festgestellt, dass die Viskosität proportional zum Radius der Kugel und zu ihrer Geschwindigkeit ist, was zu folgender Gleichung führt:
| $ F_v =6 \pi \eta r v $ |
ID:(4871, 0)
Stokes-Kraftfaktor
Gleichung
Im Fall der Stokes-Kraft in die Viscose Kraft ($F_v$) wird diese mit die Konstante des Viscose Kraft ($b$) und die Geschwindigkeit ($v$) modelliert,
| $ F_v = b v $ |
was einem Wert von die Konstante des Viscose Kraft ($b$) entspricht, der mit die Viskosität ($\eta$) und der Radio de la Gota ($r$) gleich ist
| $ b \equiv 6 \pi \eta r $ |
ID:(15554, 0)
Bewegungsgleichung beim Fallen in einem viskosen Medium
Gleichung
Die Kraft mit konstanter Masse ($F$) ist gleich die Schwerkraft ($F_g$) minus die Viscose Kraft ($F_v$), also:
| $ F = F_g - F_v $ |
Diese Beziehung ermöglicht die Aufstellung der Bewegungsgleichung für die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) mit eine Träge Masse ($m_i$), die aufgrund der Schwerkraft der Erde mit die Gravitationsbeschleunigung ($g$) fällt, und mit eine Gravitationsmasse ($m_g$), in die Konstante des Viscose Kraft ($b$), wird sie die Form annehmen von:
| $ m_i a = m_g g - b v $ |
ID:(14495, 0)
Masse und Dichte
Gleichung
Die Dichte ($\rho$) wird als das Verhältnis zwischen die Masse ($M$) und der Volumen ($V$) definiert, ausgedrückt als:
| $ \rho \equiv\displaystyle\frac{ m_i }{ V }$ |
| $ \rho \equiv\displaystyle\frac{ M }{ V }$ |
Diese Eigenschaft ist spezifisch für das betreffende Material.
ID:(3704, 0)
Kugelvolumen
Gleichung
Die Volumen einer Kugel ($V$) für eine Kugel mit ein Radius einer Kugel ($r$) wird durch die folgende Formel berechnet:
| $ V =\displaystyle\frac{4 \pi }{3} r ^3$ |
ID:(4445, 0)
Gleichheit von träger und schwerer Masse
Gleichung
Die Massen, die Newton in seinen Prinzipien verwendete, sind mit der Trägheit der Körper verbunden, was zum Konzept von die Träge Masse ($m_i$) führt.
Das nach Newton benannte Gesetz, das die Kraft zwischen Körpern aufgrund ihrer Massen beschreibt, ist mit der Gravitation verbunden und wird daher als die Gravitationsmasse ($m_g$) bezeichnet.
Empirisch wurde festgestellt, dass beide Massen äquivalent sind, und daher definieren wir
| $ m_g = m_i $ |
Einstein war derjenige, der diese Gleichheit in Frage stellte und von diesem Zweifel aus verstand, warum beide in seiner Gravitationstheorie "gleich erscheinen". In seinem Argument erklärte Einstein, dass Massen den Raum verformen, und diese Raumverformung führt zu einer Veränderung des Verhaltens von Körpern. Auf diese Weise erweisen sich die Massen als äquivalent. Das revolutionäre Konzept der Raumkrümmung impliziert, dass selbst Licht, das keine Masse hat, von Himmelskörpern beeinflusst wird, was der Gravitationstheorie von Newton widerspricht. Dies wurde experimentell durch die Untersuchung des Verhaltens von Licht während einer Sonnenfinsternis nachgewiesen. In dieser Situation werden Lichtstrahlen aufgrund der Anwesenheit der Sonne abgelenkt, was es ermöglicht, Sterne hinter ihr zu beobachten.
ID:(12552, 0)
Charakteristische Zeit der Stokes-Gleichung
Gleichung
Mit dem Stokes-Modell wird der viskose Widerstand die Konstante des Viscose Kraft ($b$) berechnet, der von der Radio de la Gota ($r$) und die Umgebungsviskosität ($\eta$) abhängt, wie folgt:
| $ b \equiv 6 \pi \eta r $ |
Dies führt dazu, dass die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$) und die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$) gleiche Werte annehmen die Anpassungszeit ($\tau$), die mit die Dichte ($\rho$) wie folgt berechnet werden:
| $\tau = \displaystyle\frac{2 r ^2 \rho }{9 \eta }$ |
Wenn die charakteristische Zeit definiert ist als
$\tau=\displaystyle\frac{m_i}{b}$
und der Koeffizient der viskosen Kraft ist
$b=6\pi r\eta$
Auf der anderen Seite, unter Berücksichtigung von
| $ \rho \equiv\displaystyle\frac{ m_i }{ V }$ |
und
| $ V =\displaystyle\frac{4 \pi }{3} r ^3$ |
folgt, dass die Masse ist
$m_i = \rho V = \displaystyle\frac{4\pi}{3} r^3 \rho$
was zu
$\tau = \displaystyle\frac{m_i}{b}=\displaystyle\frac{2 \rho r^2}{9\eta}$
führt, mit anderen Worten,
| $\tau = \displaystyle\frac{2 r ^2 \rho }{9 \eta }$ |
ID:(14465, 0)
Gravitationsmassenzeit und Viskosität
Gleichung
Mit der Bewegungsgleichung eines Körpers in einem viskosen Medium haben wir die Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) bei der Zeit ($t$) mit die Träge Masse ($m_i$), die Gravitationsmasse ($m_g$), die Konstante des Viscose Kraft ($b$) und die Gravitationsbeschleunigung ($g$):
| $ m_i \displaystyle\frac{dv}{dt} = m_g g - b v $ |
Damit wird die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$) definiert als:
| $ \tau_g \equiv \displaystyle\frac{ m_g }{ b }$ |
ID:(15549, 0)
Horizontale Geschwindigkeit in viskosem Medium
Gleichung
In einem Szenario horizontaler Bewegung steht die Kugel ausschließlich einem Widerstand aufgrund der Viskosität des umgebenden Mediums gegenüber, der durch die Gleichung mit die Geschwindigkeit ($v$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$) und der Zeit ($t$) quantifiziert werden kann:
| $ v = v_0 e^{- t / \tau_i }$ |
Folglich führt die Interaktion zwischen diesen Elementen zur Beobachtung, dass die Komponente x der Geschwindigkeit ($v_x$) mit die Horizontale Geschwindigkeit ($v_{0x}$), die Anpassungszeit ($\tau$) und der Zeit ($t$) steht:
| $ v_x = v_{0x} e^{- t / \tau }$ |
ID:(6844, 0)
Viskose mittlere horizontale Position
Gleichung
Im Kontext der horizontalen Bewegung wird die Position durch Integration der Geschwindigkeit erhalten, was zu einer Gleichung in die Position ($s$) mit die Ausgangsstellung ($s_0$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$), die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und der Zeit ($t$) führt:
| $ s = s_0 + v_0 \tau_i (1 - e^{- t / \tau_i })$ |
Aus dieser Gleichung gelangen wir zur horizontalen Verschiebungsgleichung für die Position auf der x-Achse ($x$) mit die Ausgangsposition auf der x-Achse ($x_0$), die Horizontale Geschwindigkeit ($v_{0x}$), die Anpassungszeit ($\tau$) und der Zeit ($t$):
| $ x = x_0 + v_{0x} \tau (1 - e^{- t / \tau })$ |
ID:(14467, 0)
Zeit und Viskosität der trägen Masse
Gleichung
Mit der Bewegungsgleichung eines Körpers in einem viskosen Medium haben wir die Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) bei der Zeit ($t$) mit die Konstante des Viscose Kraft ($b$) und die Gravitationsbeschleunigung ($g$):
| $ m_i \displaystyle\frac{dv}{dt} = - b v $ |
Damit wird die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$) definiert als:
| $ \tau_i \equiv \displaystyle\frac{ m_i }{ b }$ |
ID:(15548, 0)
Vertikalgeschwindigkeit in viskosen Medium unter Schwerkraft
Gleichung
Im Kontext der vertikalen Bewegung steht die Kugel vor einem doppelten Widerstand: Einerseits die Viskosität des umgebenden Mediums und andererseits die Schwerkraft, die sie nach unten zieht. Letztere kann durch die Gleichung in die Geschwindigkeit ($v$) mit die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$), die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und der Zeit ($t$) quantifiziert werden:
| $ v = g \tau_g + ( v_0 - g \tau_g )e^{- t / \tau_i }$ |
Angenommen, die gravitative Masse und die trägheitsbedingte Masse sind identisch, dann erhalten wir die Funktion für die Komponente y der Geschwindigkeit ($v_y$) mit die Vertikale Geschwindigkeit ($v_{0y}$), die Anpassungszeit ($\tau$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und der Zeit ($t$):
| $ v_y = g \tau + ( v_{0y} - g \tau )e^{- t / \tau }$ |
ID:(14466, 0)
Vertikale Position des viskosen Mediums unter Schwerkraft
Gleichung
Im Szenario der vertikalen Bewegung wird die Position durch Integration der Geschwindigkeit erhalten, was zu einer Gleichung in die Position ($s$) mit die Ausgangsstellung ($s_0$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$), die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und der Zeit ($t$) führt:
| $ s = s_0 + g \tau_g t +( v_0 - g \tau_g ) \tau_i (1 - e^{- t / \tau_i })$ |
Aus dieser Gleichung ergibt sich die Gleichung für die vertikale Verschiebung für die Position auf der y-Achse ($y$) mit die Ausgangsposition auf der y-Achse ($y_0$), die Horizontale Geschwindigkeit ($v_{0x}$), die Anpassungszeit ($\tau$) und der Zeit ($t$):
| $ y = y_0 + \tau g t + \tau ( v_{0y} - g \tau )(1 - e^{- t / \tau })$ |
ID:(14468, 0)