Utilizador:
Efecto de la Viscosidad
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Cálculos
Variáve
Dado
Calcular
Objetivo :
Equação
A ser usado
Equações
Se considerarmos o perfil de ERROR:5449,0 para um fluido em um canal cil ndrico, onde la velocidade em um raio do cilindro ($v$) varia em rela o a ERROR:10120,0 de acordo com a seguinte express o:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
envolvendo o raio do tubo ($R$) e la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$). Podemos calcular la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) utilizando la viscosidade ($\eta$), la diferença de pressão ($\Delta p$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$) da seguinte forma:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Se integrarmos a velocidade em toda a se o transversal do canal, obteremos o fluxo de volume ($J_V$), definida como a integral de $\pi r v(r)$ em rela o a ERROR:10120,0 de $0$ a ERROR:5417,0. Essa integral pode ser simplificada da seguinte maneira:
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
A integra o resulta na lei de Hagen-Poiseuille resultante:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
(ID 3178)
Como a for a viscosa
| $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
e a superf cie do cilindro
$S=2\pi R L$
onde $R$ o raio e $L$ o comprimento do canal, a for a viscosa pode ser expressa como
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
onde $\eta$ representa a viscosidade e $dv/dr$ o gradiente de velocidade entre a parede e o fluxo.
(ID 3623)
Quando uma la diferença de pressão ($\Delta p_s$) age sobre uma se o com uma rea de $\pi R^2$, com o raio do tubo ($R$) como o raio de curvatura ($r$), ela gera uma for a representada por:
$\pi r^2 \Delta p$
Essa for a impulsiona o l quido contra a resist ncia viscosa, dada por:
Ao igualarmos essas duas for as, obtemos:
$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$
O que nos leva equa o:
$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$
Se integrarmos essa equa o de uma posi o definida por o raio de curvatura ($r$) at a borda onde o raio do tubo ($R$) est (levando em considera o que a velocidade na borda zero), podemos obter la velocidade em um raio do cilindro ($v$) como fun o de o raio de curvatura ($r$):
Onde:
la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) no centro do fluxo.
(ID 3627)
Exemplos
La força viscosa ($F_v$) pode ser calculado a partir de os superfícies paralelas ($S$), la viscosidade ($\eta$), la diferença de velocidade entre superfícies ($\Delta v$) e la distância entre superfícies ($\Delta z$) utilizando o seguinte m todo:
| $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
(ID 3622)
No caso de um cilindro, a superf cie definida por ERROR:5430,0 e pelo per metro de cada um dos cilindros internos, que calculado multiplicando $2\pi$ por o raio de posição em um tubo ($r$). Com isso, la força de resistência no cilindro ($F_v$) calculada usando la viscosidade ($\eta$) e la variação de velocidade entre dois raios ($dv$) para a largura do cilindro o variação do raio em um tubo ($dr$), resultando em:
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
(ID 3623)
Para descrever o fluxo, definido um sistema de coordenadas no qual o l quido flui de o posição no início do tubo ($L_i$) para o posição na extremidade do tubo ($L_e$), indicando que a press o em la pressão na posição inicial ($p_i$) maior do que em la pressão na posição final (e) ($p_e$). Este movimento depende de o comprimento do tubo ($\Delta L$), que calculado da seguinte forma:
| $ \Delta L = L_e - L_i $ |
(ID 3802)
Ao resolver a equa o de fluxo com a condi o de contorno, obtemos la velocidade em um raio do cilindro ($v$) como uma fun o de o raio de curvatura ($r$), representada por uma par bola centrada em la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) e igual a zero em o raio do tubo ($R$):
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
.
(ID 3627)
O valor de la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) no centro de um cilindro depende de la viscosidade ($\eta$), o raio do tubo ($R$) e do gradiente criado por la diferença de pressão ($\Delta p_s$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$), conforme representado abaixo:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
O sinal negativo indica que o fluxo sempre ocorre na dire o oposta ao gradiente, ou seja, da rea de maior press o para a rea de menor press o.
(ID 3628)
O fluxo de volume ($J_V$) pode ser calculado com a lei de Hagen-Poiseuille que com os par metros la viscosidade ($\eta$), la diferença de pressão ($\Delta p$), o raio do tubo ($R$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$) :
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
(ID 3178)
ID:(328, 0)