Utilizador:
Força viscosa
Equação
Quando um líquido de viscosidade $\eta$ flui entre duas superfícies $S$ a uma distância $dz$ com uma diferença de velocidade $dv_x$, ele experimenta uma força de viscosidade $F_v$ dada pela lei de Newton da viscosidade:
 $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
ID:(3622, 0)
Força viscosa, caixa do cilindro
Equação
Uma força viscosa ($F_v$) gerada por um líquido com viscosidade ($\eta$) entre algumas superfícies paralelas ($S$) e uma distância entre superfícies ($\Delta z$), juntamente com uma diferença de velocidade entre superfícies ($\Delta v$) e la velocidade em um raio do cilindro ($v$), é calculada da seguinte forma:
| $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
No caso de um cilindro, a superfície é definida por comprimento do tubo ($\Delta L$) e pelo perímetro de cada um dos cilindros internos, que é calculado multiplicando $2\pi$ por o raio de posição em um tubo ($r$). Com isso, la força de resistência no cilindro ($F_v$) é calculada usando la viscosidade ($\eta$) e la variação de velocidade entre dois raios ($dv$) para a largura do cilindro o variação do raio em um tubo ($dr$), resultando em:
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
Como a força viscosa é
| $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
e a superfície do cilindro é
$S=2\pi R L$
onde $R$ é o raio e $L$ é o comprimento do canal, a força viscosa pode ser expressa como
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
onde $\eta$ representa a viscosidade e $dv/dr$ é o gradiente de velocidade entre a parede e o fluxo.
ID:(3623, 0)
Variação de comprimento
Equação
Para descrever o fluxo, é definido um sistema de coordenadas no qual o líquido flui de o posição no início do tubo ($L_i$) para o posição na extremidade do tubo ($L_e$), indicando que a pressão em la pressão na posição inicial ($p_i$) é maior do que em la pressão na posição final (e) ($p_e$). Este movimento depende de o comprimento do tubo ($\Delta L$), que é calculado da seguinte forma:
| $ \Delta L = L_e - L_i $ |
ID:(3802, 0)
Perfil de velocidade de um fluxo através de um cilindro
Equação
Ao resolver a equação de fluxo com a condição de contorno, obtemos la velocidade em um raio do cilindro ($v$) como uma função de o raio de curvatura ($r$), representada por uma parábola centrada em la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) e igual a zero em o raio do cilindro ($R$):
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
Quando uma la diferença de pressão ($\Delta p$) age sobre uma seção com uma área de $\pi R^2$, com o raio do cilindro ($R$) como o raio de curvatura ($r$), ela gera uma força representada por:
$\pi r^2 \Delta p$
Essa força impulsiona o líquido contra a resistência viscosa, dada por:
Ao igualarmos essas duas forças, obtemos:
$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$
O que nos leva à equação:
$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$
Se integrarmos essa equação de uma posição definida por o raio de curvatura ($r$) até a borda onde o raio do cilindro ($R$) está (levando em consideração que a velocidade na borda é zero), podemos obter la velocidade em um raio do cilindro ($v$) como função de o raio de curvatura ($r$):
Onde:
é La taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) no centro do fluxo.
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ID:(3627, 0)
Velocidade máxima no fluxo através de um cilindro
Equação
O valor de la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) no centro de um cilindro depende de la viscosidade ($\eta$), o raio do cilindro ($R$) e do gradiente criado por la diferença de pressão ($\Delta p$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$), conforme representado abaixo:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
O sinal negativo indica que o fluxo sempre ocorre na direção oposta ao gradiente, ou seja, da área de maior pressão para a área de menor pressão.
ID:(3628, 0)
Lei de Hagen Poiseuille
Equação
Se considerarmos o perfil de la velocidade em um raio do cilindro ($v$) para um fluido em um canal cilíndrico com raio de raio do cilindro ($R$), no qual la velocidade em um raio do cilindro ($v$) varia em função de um raio de posição em um tubo ($r$), podemos integrá-lo em toda a seção transversal do canal:
$J_V= \pi \displaystyle\int_0^Rdr r v(r)$
Isso nos leva à lei de Hagen-Poiseuille com os parâmetros o fluxo de volume ($J_V$), la viscosidade ($\eta$), la diferença de pressão ($\Delta p$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$):
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Se considerarmos o perfil de velocidade em um raio do cilindro ($v$) para um fluido em um canal cilíndrico, onde la velocidade em um raio do cilindro ($v$) varia em relação a raio de posição em um tubo ($r$) de acordo com a seguinte expressão:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
envolvendo o raio do cilindro ($R$) e la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$). Podemos calcular la taxa de fluxo máxima ($v_{max}$) utilizando la viscosidade ($\eta$), la diferença de pressão ($\Delta p$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$) da seguinte forma:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Se integrarmos a velocidade em toda a seção transversal do canal, obteremos o fluxo de volume ($J_V$), definida como a integral de $\pi r v(r)$ em relação a raio de posição em um tubo ($r$) de $0$ a raio do cilindro ($R$). Essa integral pode ser simplificada da seguinte maneira:
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
A integração resulta na lei de Hagen-Poiseuille resultante:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Os artigos originais que deram origem a esta lei com um nome combinado foram:
• Gotthilf Hagen: "Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen" (Sobre as leis que regem o fluxo da água em recipientes cilíndricos), Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839).
• Jean-Louis-Marie Poiseuille: "Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres" (Pesquisa experimental sobre o movimento de líquidos em tubos de diâmetros muito pequenos), Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).
ID:(3178, 0)