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Fuerza viscosa
Ecuación 
La fuerza viscosa ($F_v$) se puede calcular a partir de las superficies paralelas ($S$), la viscosidad ($\eta$), la diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) y la distancia entre las superficies ($\Delta z$) utilizando el siguiente método:
 $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
ID:(3622, 0)
Fuerza viscosa, caso cilindro
Ecuación
En el caso de un cilindro, la superficie está definida por largo de tubo ($\Delta L$) y por el perímetro de cada uno de los cilindros internos, que se calcula multiplicando $2\pi$ por el radio de la posición en un tubo ($r$). Con esto, la fuerza de resistencia en cilindro ($F_v$) se calcula utilizando la viscosidad ($\eta$) y la variación de la velocidad entre dos radios ($dv$) para el ancho del cilindro el variación del radio en un tubo ($dr$), lo que resulta en:
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
Como
| $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
y las superficies paralelas ($S$) es
$S=2\pi r \Delta L$
donde el radio de la posición en un tubo ($r$) y el largo de tubo ($\Delta L$), con lo que la la fuerza de resistencia en cilindro ($F_v$) es
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
donde la viscosidad ($\eta$), la variación de la velocidad entre dos radios ($dv$) y el variación del radio en un tubo ($dr$).
ID:(3623, 0)
Variación del largo
Ecuación
Para describir el flujo, se establece un sistema de coordenadas en el cual el líquido fluye de el posición al inicio del tubo ($L_i$) a el posición al final del tubo ($L_e$), lo que implica que la presión en la presión en la posición inicial ($p_i$) es mayor que en la presión en la posición final (e) ($p_e$). Este movimiento dependerá de el largo de tubo ($\Delta L$), el cual se calcula de acuerdo a:
| $ \Delta L = L_e - L_i $ |
ID:(3802, 0)
Viscosidad de la sangre según el modelo de Einstein
Imagen
Si se compara la viscosidad de la sangre medida con aquella estimada con la ecuación de Einstein se observa el siguiente comportamiento:
ID:(1694, 0)
Modelo de viscosidad de la sangre de Einstein
Ecuación
El primero en modelar este efecto fue Einstein (1911) que logro modelar el efecto de esferas suspendidas en un flujo sobre la viscosidad de este.
Si se aplica al caso de la sangre, donde las esferas son los hematocitos se puede estimar la viscosidad normal de la sangre
| $\eta_n=\eta_p\left(1+\displaystyle\frac{5}{2}Ht\right)$ |
La viscosidad del plasma
El modelo de Einstein es uno de cientos de modelos que existen siendo muchos específicos para situaciones que se dan en la sangre. Un articulo que describe distintos modelos y sirve para profundizar en el tema se puede leer en [A critical review on blood flow in large arteries; relevance to blood rheology, viscosity models, and physiologic conditions, Fuat Yalmaz and Mehmet Yasar Gundogdu, Korea-Australia Rheology Journal, Vol. 20, N0. 4, December 2008 pp. 197-211](http://downloads.gphysics.net/medicine/Yilmaz-and-Gundogdu-2008.pdf). Nota: la reología es la ciencia que estudia las propiedades de los materiales, en este caso los de la sangre.
ID:(3636, 0)
Perfil de velocidad de un flujo por un cilindro
Ecuación
Al resolver la ecuación de flujo con la condición de borde, obtenemos la velocidad en un radio del cilindro ($v$) en función de el radio de la curvatura ($r$) como una parábola centrada en la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) y que se anula en el radio del tubo ($R$):
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
La diferencia de presión ($\Delta p_s$) sobre una sección de área $\pi R^2$, con el radio del tubo ($R$) como el radio de la curvatura ($r$), genera una fuerza que se representa como:
$\pi r^2 \Delta p$
Esta fuerza impulsa el líquido en contra de la resistencia viscosa, que está dada por:
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
Igualando estas dos fuerzas, obtenemos:
$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$
Lo que nos lleva a la ecuación:
$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$
Si integramos esta ecuación desde una posición definida por el radio de la curvatura ($r$) hasta el borde donde el radio del tubo ($R$) (teniendo en cuenta que la velocidad en el borde es nula), podemos obtener la velocidad en un radio del cilindro ($v$) en función de el radio de la curvatura ($r$):
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
Donde:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
es la la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) en el centro del flujo.
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ID:(3627, 0)
Velocidad máxima en el flujo por un cilindro
Ecuación
El valor de la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) en el centro de un cilindro depende de la viscosidad ($\eta$), el radio del tubo ($R$), y del gradiente creado por la diferencia de presión ($\Delta p_s$) y el largo de tubo ($\Delta L$), como se representa a continuación:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
El signo negativo indica que el flujo siempre se produce en la dirección negativa del gradiente, es decir, desde el área de mayor presión hacia el área de menor presión.
ID:(3628, 0)
Adherencia de glóbulos en la pared
Imagen
Cuando los glóbulos se adhieren a las paredes de los vasos tienden a enangostar el vaso. Este fenómeno se denomina el efecto Fahraeus-Lindqvist y se muestra a continuación
Glóbulos adheridos a la pared
ID:(1896, 0)
Viscosidad con efecto Fahraeus-Lindqvist
Ecuación
Esto ocurre en especial en vasos de radio menor que 0.3 mm y se denomina el efecto Fahraeus-Lindqvist. Esto se puede modelar si se asume que la capa de glóbulos en la pared reduce el radio artificialmente. La ecuación de flujo tendría la forma
en donde
se tiene una viscosidad efectiva de
| $\eta_{fl}=\displaystyle\frac{\eta_n}{\left(1-\displaystyle\frac{d}{R}\right)^4}$ |
En la medida que el radio toma valores similares a la de la capa de glóbulos la viscosidad crece y el paso de sangre se dificulta.
ID:(3638, 0)
Viscosidad con hematocitos deformados
Ecuación
La viscosidad en estos casos baja en función de la velocidad con que se modifica la tensión que se puede expresar de la forma
| $\eta_d=\displaystyle\frac{\eta_n}{1+C_{\sigma}\displaystyle\frac{d\sigma}{dt}}$ |
donde
ID:(3637, 0)
Deformación de las plaquetas
Imagen
La deformación de los hematocitos lleva a que se vuelven mas hidrodinámicos con lo que se reduce la resistencia.
ID:(1695, 0)
Ley de Hagen Poiseuille
Ecuación
El flujo de volumen ($J_V$) se puede calcular con la ley de Hagen-Poiseuille que con los parámetros la viscosidad ($\eta$), la diferencia de presión ($\Delta p$), el radio del tubo ($R$) y el largo de tubo ($\Delta L$) es:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Si consideramos el perfil de velocidad en un radio del cilindro ($v$) de un fluido en un canal cilíndrico, donde la velocidad en un radio del cilindro ($v$) varía en función de radio de la posición en un tubo ($r$) de acuerdo con la siguiente expresión:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
con el radio del tubo ($R$) y la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$). Podemos calcular la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) utilizando la viscosidad ($\eta$), la diferencia de presión ($\Delta p$) y el largo de tubo ($\Delta L$) de la siguiente manera:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Si integramos la velocidad en toda la sección transversal del canal, obtendremos el flujo de volumen ($J_V$), definida como la integral de $\pi r v(r)$ con respecto a radio de la posición en un tubo ($r$) desde $0$ hasta radio del tubo ($R$). Esta integral se simplifica de la siguiente manera:
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
La integración nos lleva a la ley de Hagen-Poiseuille resultante:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
ID:(3178, 0)