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Efecto de la Viscosidad
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À utiliser
Équations
Si nous examinons le profil de ERROR:5449,0 pour un fluide dans un canal cylindrique, o a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) varie en fonction de ERROR:10120,0 selon l'expression suivante :
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
avec le rayon du tube ($R$) et a vitesse maximal ($v_{max}$). Nous pouvons calculer a vitesse maximal ($v_{max}$) en utilisant a viscosité ($\eta$), a différence de pression ($\Delta p$), et le longueur du tube ($\Delta L$) comme suit :
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Si nous int grons la vitesse sur toute la section transversale du canal, nous obtenons le volumique flux ($J_V$), d fini comme l'int grale de $\pi r v(r)$ par rapport ERROR:10120,0 de $0$ ERROR:5417,0. Cette int grale peut tre simplifi e comme suit :
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
L'int gration donne la loi de Hagen-Poiseuille r sultante :
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
(ID 3178)
En fran ais, l' nonc donn serait le suivant :
"Comme la force visqueuse est
| $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
et la surface du cylindre est
$S=2\pi R L$
o $R$ est le rayon et $L$ est la longueur du canal, la force visqueuse peut tre exprim e comme
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
o $\eta$ repr sente la viscosit et $dv/dr$ est le gradient de vitesse entre la paroi et l' coulement.
(ID 3623)
Quand une a différence de pression ($\Delta p_s$) agit sur une section avec une aire de $\pi R^2$, avec le rayon du tube ($R$) comme le rayon de courbure ($r$), elle g n re une force repr sent e par :
$\pi r^2 \Delta p$
Cette force pousse le liquide contre la r sistance visqueuse, donn e par :
En galant ces deux forces, nous obtenons :
$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$
Ce qui nous conduit l' quation :
$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$
Si nous int grons cette quation d'une position d finie par le rayon de courbure ($r$) jusqu'au bord o se trouve le rayon du tube ($R$) (en tenant compte que la vitesse au bord est nulle), nous pouvons obtenir a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) en fonction de le rayon de courbure ($r$) :
O :
est a vitesse maximal ($v_{max}$) au centre de l' coulement.
(ID 3627)
Exemples
A force visqueuse ($F_v$) peut tre calcul partir de les surfaces parallèles ($S$), a viscosité ($\eta$), a différence de vitesse entre les surfaces ($\Delta v$) et a distance entre les surfaces ($\Delta z$) en utilisant la m thode suivante :
| $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
(ID 3622)
Dans le cas d'un cylindre, la surface est d finie par ERROR:5430,0, et par le p rim tre de chacun des cylindres internes, qui est calcul en multipliant $2\pi$ par le rayon de position dans un tube ($r$). Avec cela, a force de résistance en cylindre ($F_v$) est calcul e en utilisant a viscosité ($\eta$) et a variation de vitesse entre deux rayons ($dv$) pour la largeur du cylindre le variation de rayon dans un tube ($dr$), ce qui donne :
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
(ID 3623)
Pour d crire l' coulement, un syst me de coordonn es est d fini dans lequel le liquide s' coule de le positionner au début du tube ($L_i$) Le positionner au bout du tube ($L_e$), ce qui signifie que la pression en a pression en position initiale ($p_i$) est sup rieure celle en a pression en position finale (e) ($p_e$). Ce mouvement d pend de le longueur du tube ($\Delta L$), qui est calcul comme suit :
| $ \Delta L = L_e - L_i $ |
(ID 3802)
En r solvant l' quation de flux avec la condition aux limites, nous obtenons a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) comme une fonction de le rayon de courbure ($r$), repr sent e par une parabole centr e sur a vitesse maximal ($v_{max}$) et gale z ro en le rayon du tube ($R$) :
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
.
(ID 3627)
La valeur de a vitesse maximal ($v_{max}$) au centre d'un cylindre d pend de a viscosité ($\eta$), le rayon du tube ($R$) et du gradient cr par a différence de pression ($\Delta p_s$) et le longueur du tube ($\Delta L$), comme repr sent ci-dessous :
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Le signe n gatif indique que le flux s'effectue toujours dans la direction oppos e au gradient, c'est- -dire, de la zone de plus haute pression vers la zone de plus basse pression.
(ID 3628)
Le volumique flux ($J_V$) peut tre calcul avec la loi de Hagen-Poiseuille qui avec les param tres a viscosité ($\eta$), a différence de pression ($\Delta p$), le rayon du tube ($R$) et le longueur du tube ($\Delta L$) estxa0:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
(ID 3178)
ID:(328, 0)