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Efecto de la Viscosidad
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Wenn wir das Profil von ERROR:5449,0 f r ein Fluid in einem zylindrischen Kanal betrachten, in dem die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) in Abh ngigkeit von ERROR:10120,0 gem folgendem Ausdruck variiert:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
unter Verwendung von der Rohrradius ($R$) und die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$). K nnen wir die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) mithilfe von die Viskosität ($\eta$), die Druckunterschied ($\Delta p$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) wie folgt berechnen:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Wenn wir die Geschwindigkeit ber den Querschnitt des Kanals integrieren, erhalten wir der Volumenstrom ($J_V$), definiert als das Integral von $\pi r v(r)$ bez glich ERROR:10120,0 von $0$ bis ERROR:5417,0. Dieses Integral kann wie folgt vereinfacht werden:
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
Die Integration f hrt zur resultierenden Hagen-Poiseuille-Gesetz:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
(ID 3178)
Da die viskose Kraft gegeben ist als
| $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
und die Oberfl che des Zylinders ist
$S=2\pi R L$
wobei $R$ der Radius und $L$ die L nge des Kanals ist, kann die viskose Kraft ausgedr ckt werden als
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
wobei $\eta$ die Viskosit t repr sentiert und $dv/dr$ den Geschwindigkeitsgradienten zwischen der Wand und dem Fluss darstellt.
(ID 3623)
Wenn eine die Druckunterschied ($\Delta p_s$) auf einen Abschnitt mit einer Fl che von $\pi R^2$ wirkt, wobei der Rohrradius ($R$) als der Krümmung Radio ($r$) fungiert, erzeugt sie eine Kraft, die wie folgt dargestellt wird:
$\pi r^2 \Delta p$
Diese Kraft treibt die Fl ssigkeit gegen den Viskosewiderstand an, der durch folgenden Ausdruck gegeben ist:
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
Durch das Gleichsetzen dieser beiden Kr fte erhalten wir:
$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$
Dies f hrt zu folgender Gleichung:
$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$
Wenn wir diese Gleichung von einer Position, die durch der Krümmung Radio ($r$) definiert ist, bis zum Rand, wo der Rohrradius ($R$) ist (unter Ber cksichtigung, dass die Geschwindigkeit am Rand null ist), integrieren, k nnen wir die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) als Funktion von der Krümmung Radio ($r$) erhalten:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
Dabei ist:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) in der Mitte des Flusses.
(ID 3627)
Beispiele
Die Viscose Kraft ($F_v$) kann aus die Parallele Flächen ($S$), die Viskosität ($\eta$), die Geschwindigkeitsunterschied zwischen Oberflächen ($\Delta v$) und die Abstand zwischen Oberflächen ($\Delta z$) mit folgender Methode berechnet werden:
| $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
(ID 3622)
Im Falle eines Zylinders wird die Oberfl che durch ERROR:5430,0 definiert und durch den Umfang jeder der internen Zylinder, der durch die Multiplikation von $2\pi$ mit der Positionsradius in einem Rohr ($r$) berechnet wird. Damit wird die Zylinderwiderstandskraft ($F_v$) unter Verwendung von die Viskosität ($\eta$) und die Geschwindigkeitsvariation zwischen zwei Radien ($dv$) f r die Breite des Zylinders der Radiusvariation in einem Rohr ($dr$) berechnet, was zu folgendem Ergebnis f hrt:
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
(ID 3623)
Um den Fluss zu beschreiben, wird ein Koordinatensystem definiert, in dem die Fl ssigkeit von der Position am Anfang des Rohres ($L_i$) nach der Positionieren am Ende des Rohres ($L_e$) flie t, was bedeutet, dass der Druck bei die Druck in der Ausgangsposition ($p_i$) gr er ist als bei die Druck in Endlage (e) ($p_e$). Diese Bewegung h ngt von der Rohrlänge ($\Delta L$) ab, das wie folgt berechnet wird:
| $ \Delta L = L_e - L_i $ |
(ID 3802)
$\eta_n=\eta_p\left(1+\displaystyle\frac{2}{5}Ht\right)$
(ID 3636)
Beim L sen der Flie gleichung mit der Randbedingung erhalten wir die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) als Funktion von der Krümmung Radio ($r$), dargestellt als Parabel mit dem Mittelpunkt bei die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) und Nullwert bei der Rohrradius ($R$):
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
.
(ID 3627)
Der Wert von die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) in der Mitte eines Zylinders h ngt von die Viskosität ($\eta$), der Rohrradius ($R$) und dem Gradienten ab, der von die Druckunterschied ($\Delta p_s$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) erzeugt wird, wie unten dargestellt:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Das negative Vorzeichen deutet darauf hin, dass der Fluss immer in entgegengesetzter Richtung zum Gradienten erfolgt, d.h., von der Region mit h herem Druck zur Region mit niedrigerem Druck.
(ID 3628)
(ID 1896)
$\eta_{fl}=\displaystyle\frac{\eta_n}{\left(1-\displaystyle\frac{d}{R}\right)^4}$
(ID 3638)
(ID 1895)
$\eta_d=\displaystyle\frac{\eta_n}{1+C_{\sigma}\displaystyle\frac{d\sigma}{dt}}$
(ID 3637)
(ID 1695)
Der Volumenstrom ($J_V$) l sst sich mit dem Hagen-Poiseuille-Gesetz berechnen, das mit den Parametern die Viskosität ($\eta$), die Druckunterschied ($\Delta p$), der Rohrradius ($R$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) lautet:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
(ID 3178)
ID:(328, 0)