Storyboard

Um exemplo de força viscosa é o modelo que surge quando uma esfera se move em um meio viscoso. Esse modelo e a equação associada são conhecidos pelo nome de seu autor, George Stokes.

A força de Stokes depende da viscosidade do meio, do raio da esfera e da velocidade com que ela se move no meio. Da mesma forma, se o meio está em movimento, ele arrasta o objeto junto com ele.

>Modelo

ID:(1964, 0)

Iframe

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ID:(15540, 0)

Descrição

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George Stokes fez contribuições significativas nas áreas de hidrodinâmica e matemática. Ele é principalmente lembrado pela conhecida lei de Stokes aplicada a corpos esféricos em um fluxo e pelo teorema de Stokes na matemática.

ID:(12535, 0)

Descrição

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Quando uma esfera é lançada em um meio viscoso, surge uma força inicial ascendente, uma força gravitacional ($F_g$), que afunda gradualmente o corpo. Durante esse processo, a esfera ganha velocidade, resultando em uma força descendente, uma força viscosa ($F_v$), que depende da velocidade. Conforme a velocidade total, la força com massa constante ($F$),

começa a diminuir até se tornar nula. A partir desse momento, o movimento continua com velocidade constante, já que não há força para acelerá-lo.

ID:(15544, 0)

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A força de Stokes é a força gerada pelo fluxo ao redor de uma esfera de ($$) imersa nele. Neste caso, utiliza-se o modelo de força proporcional a la velocidade ($v$):



Neste contexto, pode-se demonstrar que la constante de força viscosa ($b$) com la viscosidade ($\eta$) é igual a:



portanto, a força de Stokes é expressa como:

Esta força é aplicada principalmente em fluxos laminares.

ID:(15555, 0)

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O movimento de uma esfera em duas dimensões é caracterizado por la componente x da velocidade ($v_x$) com la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):

e la componente y da velocidade ($v_y$) com la velocidade vertical inicial ($v_{0y}$), la tempo de adaptação ($\tau$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$):

o que é representado em um diagrama $v_x$ vs. $v_y$:

O diagrama mostra como ambas as componentes de velocidade evoluem ao longo do tempo. Inicialmente, $v$ é igual a $v_{0x}$, o que corresponde a um ponto na borda direita do gráfico. Com o tempo, as componentes de velocidade evoluem da direita para a borda esquerda, onde a velocidade horizontal é nula e a velocidade vertical atinge o limite de $g\tau$, de modo que $v/g\tau$ é igual a um.

ID:(15558, 0)

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A deslocação horizontal pode ser calculada usando a equação para la posição no eixo x ($x$) com la posição inicial no eixo x ($x_0$), la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):

e o deslocamento vertical para la posição no eixo y ($y$) com la posição inicial no eixo y ($y_0$), la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):

que é graficamente representado nas posições $x$ vs $y$:

Neste caso, a posição evolui da borda esquerda para a direita, onde para o movimento horizontal alcançando uma distância máxima de $v_{0x}\tau$. O deslocamento vertical é descrito com um sistema de coordenadas que tem sua origem no ponto onde a trajetória começa e cuja versão vertical aponta para baixo. Nesse sentido, o aumento em $y$ corresponde ao movimento descendente da esfera na direção da gravidade.

ID:(15559, 0)

Descrição

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O método de medição de viscosidade de Ostwald baseia-se no comportamento de um líquido fluindo através de um tubo de pequeno raio (capilar).

O líquido é introduzido, aplica-se sucção para exceder a marca superior e, em seguida, permite-se que escorra, medindo o tempo que leva para o nível passar da marca superior para a inferior.

O experimento é conduzido primeiro com um líquido para o qual a viscosidade e a densidade são conhecidas (por exemplo, água destilada), e depois com o líquido para o qual se deseja determinar a viscosidade. Se as condições forem idênticas, o líquido fluindo em ambos os casos será semelhante e, assim, o tempo será proporcional à densidade dividida pela viscosidade. Portanto, pode-se estabelecer uma equação de comparação entre ambas as viscosidades:

ID:(15545, 0)

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Parâmetros

$g$

g

Aceleração gravitacional

m/s^2

$v_x$

v_x

Componente x da velocidade

m/s

$v_y$

v_y

Componente y da velocidade

m/s

$b$

b

Constante de força viscosa

kg/s

$\rho$

rho

Densidade

kg/m^3

$m_g$

m_g

Massa gravitacional

kg

$m_i$

m_i

Massa inercial

kg

$\pi$

pi

Pi

rad

$x_0$

x_0

Posição inicial no eixo x

m

$y_0$

y_0

Posição inicial no eixo y

m

$r_e$

r_e

Raio da esfera

m

$\tau$

tau

Tempo de adaptação

s

$\tau_g$

tau_g

Tempo de viscosidade e massa gravitacional

s

$\tau_i$

tau_i

Tempo de viscosidade e massa inercial

s

$\eta$

eta

Viscosidade

Pa s

$\eta$

eta

Viscosidade ambiental

Pa s

Variáveis

$a$

a

Aceleração instantânea

m/s^2

$F$

F

Força com massa constante

N

$F_g$

F_g

Força gravitacional

N

$F_v$

F_v

Força viscosa

N

$x$

x

Posição no eixo x

m

$y$

y

Posição no eixo y

m

$r$

r

Raio de uma esfera

$t$

t

Tempo

s

$v$

v

Velocidade

m/s

$v_{0x}$

v_0x

Velocidade horizontal inicial

m/s

$v_{0y}$

v_0y

Velocidade vertical inicial

m/s

$V$

V

Volume de uma esfera

m^3

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estratégia
• 2D
• 3D

Equação

Equação

Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

---

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado

Equações

ID:(15542, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso de um corpo que cai em um meio viscoso, a força total, la força com massa constante ($F$), é igual a la força gravitacional ($F_g$) menos la força viscosa ($F_v$), então

$F = F_g - F_v$

Condições

Variáveis

$F$

Força com massa constante

$N$

9046

$F_g$

Força gravitacional

$N$

4977

$F_v$

Força viscosa

$N$

4979

Relação

ID:(15543, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso em que la massa inercial ($m_i$) é igual a la massa inicial ($m_0$),

a derivada do momento será igual à massa multiplicada pela derivada de la velocidade ($v$). Dado que a derivada da velocidade é La aceleração instantânea ($a$), temos que la força com massa constante ($F$) é igual a

$F = m_i a$

Condições

Variáveis

$a$

Aceleração instantânea

$m/s^2$

4972

$F$

Força com massa constante

$N$

9046

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

Relação

Desenvolvimento

Dado que o momento ($p$) se define con la massa inercial ($m_i$) y la velocidade ($v$),

$p = m_i v$

Si la massa inercial ($m_i$) é igual a la massa inicial ($m_0$), então podemos derivar o momento em relação ao tempo e obter la força com massa constante ($F$):

$F=\displaystyle\frac{d}{dt}p=m_i\displaystyle\frac{d}{dt}v=m_ia$

Portanto, chegamos à conclusão de que

$F = m_i a$

ID:(10975, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La força gravitacional ($F_g$) baseia-se em la massa gravitacional ($m_g$) do objeto e em uma constante que reflete a intensidade da gravidade na superfície do planeta. Esta última é identificada por la aceleração gravitacional ($g$), que é igual a $9.8 m/s^2$.

Consequentemente, conclui-se que:

$F_g = m_g g$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$F_g$

Força gravitacional

$N$

4977

$m_g$

Massa gravitacional

$kg$

8762

Relação

ID:(3241, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A forma mais simples de la força viscosa ($F_v$) é aquela que é proporcional ao la velocidade ($v$) do corpo, representada por:

$F_v = b v$

Condições

Variáveis

$b$

Constante de força viscosa

$kg/s$

5312

$F_v$

Força viscosa

$N$

4979

$v$

Velocidade

$m/s$

6029

Relação

A constante de proporcionalidade, também conhecida como la constante de força viscosa ($b$), geralmente depende da forma do objeto e da viscosidade do meio através do qual ele se move. Um exemplo desse tipo de força é aquela exercida por um fluxo de fluido em um corpo esférico, cuja expressão matemática é conhecida como a lei de Stokes.

ID:(3243, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A força de arrasto é definida em função da viscosidade do fluido e da velocidade da esfera pela equação:

Stokes calculou explicitamente a resistência sofrida pela esfera e determinou que a viscosidade é proporcional ao raio da esfera e à sua velocidade, resultando na seguinte equação:

$F_v =6 \pi \eta r v$

Condições

Variáveis

$F_v$

Força viscosa

$N$

4979

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$r$

Raio de uma esfera

$m$

10331

$v$

Velocidade

$m/s$

6029

$\eta$

Viscosidade

$Pa s$

5422

Relação

ID:(4871, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso da força de Stokes em la força viscosa ($F_v$), esta é modelada com la constante de força viscosa ($b$) e la velocidade ($v$),

o que corresponde a um valor de la constante de força viscosa ($b$) que, com la viscosidade ($\eta$) e ($$), é igual a

$b \equiv 6 \pi \eta r$

Condições

Variáveis

$b$

Constante de força viscosa

$kg/s$

5312

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$r$

Raio de uma esfera

$m$

10331

$\eta$

Viscosidade ambiental

$Pa s$

10068

Relação

ID:(15554, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La força com massa constante ($F$) é igual a la força gravitacional ($F_g$) menos la força viscosa ($F_v$), então:

Essa relação permite estabelecer a equação de movimento para la aceleração instantânea ($a$) com uma massa inercial ($m_i$) caindo devido à gravidade da Terra com la aceleração gravitacional ($g$), e com uma massa gravitacional ($m_g$), em la constante de força viscosa ($b$), assumirá a forma de:

$m_i a = m_g g - b v$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$a$

Aceleração instantânea

$m/s^2$

4972

$b$

Constante de força viscosa

$kg/s$

5312

$m_g$

Massa gravitacional

$kg$

8762

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

$v$

Velocidade

$m/s$

6029

Relação

ID:(14495, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La densidade ($\rho$) é definido como a relação entre la massa ($M$) e o volume ($V$), expressa como:

$\rho \equiv\displaystyle\frac{ m_i }{ V }$

$\rho \equiv\displaystyle\frac{ M }{ V }$

Condições

Variáveis

$\rho$

Densidade

$kg/m^3$

5342

$M$

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

$V$

$V$

Volume de uma esfera

$m^3$

10330

Relação

Essa propriedade é específica do material em questão.

ID:(3704, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La volume de uma esfera ($V$) de uma esfera com um raio de uma esfera ($r$) é calculado pela seguinte fórmula:

$V =\displaystyle\frac{4 \pi }{3} r ^3$

Condições

Variáveis

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$r$

Raio de uma esfera

$m$

10331

$V$

Volume de uma esfera

$m^3$

10330

Relação

ID:(4445, 0)

Equação

>Top, >Modelo

As massas que Newton utilizou em seus princípios estão relacionadas à inércia dos corpos, o que leva ao conceito de la massa inercial ($m_i$).

A lei de Newton, que está ligada à força entre corpos devido às suas massas, está relacionada à gravidade, sendo conhecida como la massa gravitacional ($m_g$).

Empiricamente, concluiu-se que ambas as massas são equivalentes, e, portanto, definimos

$m_g = m_i$

Condições

Variáveis

$m_g$

Massa gravitacional

$kg$

8762

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

Relação

Einstein foi quem questionou essa igualdade e, a partir dessa dúvida, compreendeu por que ambas 'aparecem' iguais em sua teoria da gravidade. Em seu argumento, Einstein explicou que as massas deformam o espaço, e essa deformação do espaço causa uma mudança no comportamento dos corpos. Assim, as massas acabam sendo equivalentes. O conceito revolucionário da curvatura do espaço implica que até mesmo a luz, que não tem massa, é afetada por corpos celestes, contradizendo a teoria da gravitação de Newton. Isso foi demonstrado experimentalmente ao estudar o comportamento da luz durante um eclipse solar. Nessa situação, os feixes de luz são desviados devido à presença do sol, permitindo a observação de estrelas que estão atrás dele.

ID:(12552, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Com o modelo de Stokes, o arrasto viscoso la constante de força viscosa ($b$), que depende de ($$) e la viscosidade ambiental ($\eta$), calculado com

resulta em la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$) e la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$) assumindo valores iguais la tempo de adaptação ($\tau$), calculados com la densidade ($\rho$) através de

$\tau = \displaystyle\frac{2 r ^2 \rho }{9 \eta }$

Condições

Variáveis

$\rho$

Densidade

$kg/m^3$

5342

$r_e$

Raio da esfera

$m$

5321

$\tau$

Tempo de adaptação

$s$

10071

$\eta$

Viscosidade ambiental

$Pa s$

10068

Relação

Desenvolvimento

Se o tempo característico for definido como

$\tau=\displaystyle\frac{m_i}{b}$

e o coeficiente da força viscosa for

$b=6\pi r\eta$

Por outro lado, considerando que

$\rho \equiv\displaystyle\frac{ m_i }{ V }$

e

$V =\displaystyle\frac{4 \pi }{3} r ^3$

segue-se que a massa é

$m_i = \rho V = \displaystyle\frac{4\pi}{3} r^3 \rho$

o que nos leva a

$\tau = \displaystyle\frac{m_i}{b}=\displaystyle\frac{2 \rho r^2}{9\eta}$

ou seja,

$\tau = \displaystyle\frac{2 r ^2 \rho }{9 \eta }$

ID:(14465, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Com a equação de movimento de um corpo em um meio viscoso, temos a derivada de la velocidade ($v$) em o tempo ($t$) com la massa inercial ($m_i$), la massa gravitacional ($m_g$), la constante de força viscosa ($b$) e la aceleração gravitacional ($g$):

Isso define la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$) como:

$\tau_g \equiv \displaystyle\frac{ m_g }{ b }$

Condições

Variáveis

$b$

Constante de força viscosa

$kg/s$

5312

$m_g$

Massa gravitacional

$kg$

8762

$\tau_g$

Tempo de viscosidade e massa gravitacional

$s$

10329

Relação

ID:(15549, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No cenário de movimento horizontal, a esfera enfrenta resistência apenas da viscosidade do meio circundante, que pode ser quantificada pela equação envolvendo la velocidade ($v$) com la velocidade inicial ($v_0$), la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$) e o tempo ($t$):

Consequentemente, a interação entre esses elementos leva à observação de que la componente x da velocidade ($v_x$) com la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):

$v_x = v_{0x} e^{- t / \tau }$

Condições

Variáveis

$v_x$

Componente x da velocidade

$m/s$

7118

$t$

Tempo

$s$

5264

$\tau$

Tempo de adaptação

$s$

10071

$v_{0x}$

Velocidade horizontal inicial

$m/s$

8427

Relação

ID:(6844, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Dentro do contexto do movimento horizontal, a posição é obtida integrando a velocidade, o que resulta em uma equação em la posição ($s$) com la velocidade ($s_0$), la velocidade inicial ($v_0$), la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$), la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$):

A partir desta equação, chegamos à equação do deslocamento horizontal para la posição no eixo x ($x$) com la posição inicial no eixo x ($x_0$), la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):

$x = x_0 + v_{0x} \tau (1 - e^{- t / \tau })$

Condições

Variáveis

$x_0$

Posição inicial no eixo x

$m$

10073

$x$

Posição no eixo x

$m$

6638

$t$

Tempo

$s$

5264

$\tau$

Tempo de adaptação

$s$

10071

$v_{0x}$

Velocidade horizontal inicial

$m/s$

8427

Relação

ID:(14467, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Com a equação de movimento de um corpo em um meio viscoso, temos a derivada de la velocidade ($v$) em o tempo ($t$) com la constante de força viscosa ($b$) e la aceleração gravitacional ($g$):

Isso define la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$) como:

$\tau_i \equiv \displaystyle\frac{ m_i }{ b }$

Condições

Variáveis

$b$

Constante de força viscosa

$kg/s$

5312

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

$\tau_i$

Tempo de viscosidade e massa inercial

$s$

10328

Relação

ID:(15548, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No contexto do movimento vertical, a esfera enfrenta uma resistência dupla: de um lado, a viscosidade do meio circundante e, de outro, a gravidade que a impulsiona para baixo. Esta última pode ser quantificada pela equação em la velocidade ($v$) com la velocidade inicial ($v_0$), la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$), la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$):

Assumimos que a massa gravitacional e a massa inercial são idênticas, então obtemos a função para la componente y da velocidade ($v_y$) com la velocidade vertical inicial ($v_{0y}$), la tempo de adaptação ($\tau$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$):

$v_y = g \tau + ( v_{0y} - g \tau )e^{- t / \tau }$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$v_y$

Componente y da velocidade

$m/s$

7119

$t$

Tempo

$s$

5264

$\tau$

Tempo de adaptação

$s$

10071

$v_{0y}$

Velocidade vertical inicial

$m/s$

8428

Relação

ID:(14466, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Dentro do cenário de movimento vertical, a posição é obtida pela integração da velocidade, o que nos dá uma equação em la posição ($s$) com la velocidade ($s_0$), la velocidade inicial ($v_0$), la tempo de viscosidade e massa gravitacional ($\tau_g$), la tempo de viscosidade e massa inercial ($\tau_i$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$):

A partir desta equação, chegamos à equação de deslocamento vertical para la posição no eixo y ($y$) com la posição inicial no eixo y ($y_0$), la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$), la tempo de adaptação ($\tau$) e o tempo ($t$):

$y = y_0 + \tau g t + \tau ( v_{0y} - g \tau )(1 - e^{- t / \tau })$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$y_0$

Posição inicial no eixo y

$m$

10074

$y$

Posição no eixo y

$m$

8429

$t$

Tempo

$s$

5264

$\tau$

Tempo de adaptação

$s$

10071

$v_{0y}$

Velocidade vertical inicial

$m/s$

8428

Relação

ID:(14468, 0)