Storyboard

Para que un objeto alcance una velocidad angular determinada, primero debe aumentar su velocidad angular desde el reposo. Este proceso se denomina aceleración angular y se define en función de la variación de la velocidad angular en el tiempo. Por otro lado, si se busca reducir la velocidad angular e incluso detener la rotación del objeto, también se introduce una aceleración angular, pero con el signo opuesto al de la velocidad angular (si la velocidad angular es positiva, la aceleración angular es negativa, y viceversa), lo que se conoce como frenado angular.

>Modelo

ID:(612, 0)

Iframe

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ID:(15413, 0)

Concepto

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Cuando la velocidad angular no es constante, es crucial comprender cómo varía con el tiempo. Para ello, necesitamos conocer la tasa de cambio de la velocidad angular por unidad de tiempo, conocida como aceleración angular o desaceleración angular, dependiendo de si la velocidad angular está aumentando o disminuyendo.

La aceleración angular se determina mediante la medición de la variación de la velocidad angular en relación al tiempo.

ID:(12519, 0)

Top

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La aceleración angular media se define como la proporción en la que varía la velocidad angular a lo largo del tiempo. Para medir esta magnitud, es necesario cuantificar cómo cambia la velocidad angular en el transcurso del tiempo.

Para llevar a cabo esta medición de manera precisa, se puede emplear una lámpara estroboscópica que emite destellos luminosos en intervalos de tiempo definidos. Al capturar una fotografía en un instante específico, es posible determinar la distancia angular que el objeto recorre en ese lapso. Al calcular las velocidades angulares en dos instantes consecutivos, se puede obtener la variación de la velocidad angular, y al dividir este cambio entre el intervalo de tiempo entre las fotografías, se obtiene la aceleración angular media.

La ecuación que describe esta aceleración angular media es la siguiente:

Es importante tener en cuenta que la aceleración angular media es una estimación de la aceleración angular real. Sin embargo, existe un problema fundamental:

Si la aceleración angular varía a lo largo del tiempo, el valor de la aceleración angular media puede diferir significativamente de la aceleración angular promedio.

Por lo tanto, la clave reside en

Determinar la aceleración angular en un intervalo de tiempo lo suficientemente corto para minimizar cualquier variación significativa.

ID:(15519, 0)

Descripción

>Top

En el caso de una aceleración angular constante, la velocidad angular sigue una relación lineal en función del tiempo:

que se representa en el siguiente gráfico:

ID:(11429, 0)

Concepto

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Con la aceleración constante ($a_0$), la función de la velocidad angular ($\omega$) describe una recta cuya pendiente es igual a la aceleración angular. Junto con la velocidad angular inicial ($\omega_i$), el tiempo ($t$), y el tiempo inicial ($t_0$), la relación se expresa mediante la ecuación:

Por lo tanto, el área bajo una curva, que representa el desplazamiento total, se compone de un rectángulo y un triángulo:

El rectángulo tiene una altura que corresponde a la velocidad inicial y una base igual al tiempo transcurrido. El triángulo, por su parte, tiene una altura que es el producto de la aceleración angular por el tiempo transcurrido y una base que también es igual al tiempo. Con esta información, se puede calcular el desplazamiento total el ángulo ($\theta$) usando el ángulo inicial ($\theta_0$) como se muestra a continuación:

ID:(11418, 0)

Imagen

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La dirección de la aceleración tangencial puede determinarse utilizando la regla de la mano derecha, donde los dedos se orientan hacia el eje y luego se giran en dirección al radio:

ID:(11600, 0)

Top

>Top

Cálculos

$\theta$

theta

Ángulo

rad

$\Delta\theta$

Dtheta

Diferencia de ángulos

rad

$\Delta\omega$

Domega

Diferencia de velocidades angulares

rad/s

$r$

r

Radio

m

$t$

t

Tiempo

s

$\Delta t$

Dt

Tiempo transcurrido

s

$\omega$

omega

Velocidad angular

rad/s

$\alpha_0$

alpha_0

Aceleración angular constante

rad/s^2

$\bar{\alpha}$

alpha_m

Aceleración angular media

rad/s^2

$a_0$

a_0

Aceleración constante

m/s^2

$\theta_0$

theta_0

Ángulo inicial

rad

$t_0$

t_0

Tiempo inicial

s

$\omega_i$

omega_i

Velocidad angular inicial

rad/s

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estrategia

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación: a , luego, seleccione la variable: a

---

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable Dado Calcule Objetivo : Ecuación A utilizar

---

ID:(15424, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La proporción en la que la variación de la velocidad angular a lo largo del tiempo se define como la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$). Para medirla, es necesario observar la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$).

La ecuación que describe la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es la siguiente:

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$

Condiciones

Variables

$\bar{\alpha}$

Aceleración angular media

$rad/s^2$

4970

$\Delta\omega$

Diferencia de velocidades angulares

$rad/s$

5277

$\Delta t$

Tiempo transcurrido

$s$

5103

Relación

Desarrollo

La aceleración angular media se define como la proporción del ángulo recorrido

$ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $

y el tiempo transcurrido

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

Esta relación entre ambos se establece como la aceleración angular media

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$

durante dicho intervalo de tiempo.

ID:(3234, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si la aceleración no varía, la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) será igual a la aceleración angular constante ($\alpha_0$), lo que se expresa como:

$ \bar{\alpha} = \alpha_0 $

Condiciones

Variables

$\alpha_0$

Aceleración angular constante

$rad/s^2$

5298

$\bar{\alpha}$

Aceleración angular media

$rad/s^2$

4970

Relación

ID:(9873, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Para describir la rotación de un objeto, es necesario determinar la variación del angulo ($\Delta\theta$). Esto se logra restando el ángulo inicial ($\theta_0$) del valor alcanzado por el objeto durante su rotación, que es el ángulo ($\theta$):

$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $

Condiciones

Variables

$\theta$

Ángulo

$rad$

6065

$\theta_0$

Ángulo inicial

$rad$

5296

$\Delta\theta$

Diferencia de ángulos

$rad$

5299

Relación

ID:(3680, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La aceleración se define como el cambio en la velocidad angular por unidad de tiempo.

Por lo tanto, la aceleración angular la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) se puede expresar en términos de la velocidad angular la velocidad angular ($\omega$) y el tiempo la velocidad angular inicial ($\omega_i$) de la siguiente manera:

$ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $

Condiciones

Variables

$\Delta\omega$

Diferencia de velocidades angulares

$rad/s$

5277

$\omega$

Velocidad angular

$rad/s$

6068

$\omega_0$

Velocidad angular inicial

$rad/s$

5295

Relación

ID:(3681, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Para describir el movimiento de un objeto, debemos calcular el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Esta magnitud se obtiene midiendo el tiempo inicial ($t_0$) y el el tiempo ($t$) de dicho movimiento. La duración se determina restando el tiempo inicial al tiempo final:

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

Condiciones

Variables

$t$

Tiempo

$s$

5264

$t_0$

Tiempo inicial

$s$

5265

$\Delta t$

Tiempo transcurrido

$s$

5103

Relación

ID:(4353, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la aceleración angular constante ($\alpha_0$), la velocidad angular ($\omega$) establece una relación lineal con el tiempo ($t$), que también incorpora las variables la velocidad angular inicial ($\omega_i$) y el tiempo inicial ($t_0$), tal que:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

Condiciones

Variables

$\alpha_0$

Aceleración angular constante

$rad/s^2$

5298

$t$

Tiempo

$s$

5264

$t_0$

Tiempo inicial

$s$

5265

$\omega$

Velocidad angular

$rad/s$

6068

$\omega_0$

Velocidad angular inicial

$rad/s$

5295

Relación

Desarrollo

Si suponemos que la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es constante, equivalente a la aceleración angular constante ($\alpha_0$), entonces se aplica la siguiente ecuación:

$ \bar{\alpha} = \alpha_0 $

Por lo tanto, al considerar la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) junto con la velocidad angular ($\omega$) y la velocidad angular inicial ($\omega_i$):

$ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $

y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) en relación con el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$):

$ \Delta t \equiv t - t_0 $

la ecuación para la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$):

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$

puede expresarse como:

$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$

Despejando esta última, obtenemos:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

Esta ecuación representa una recta en el plano de velocidad angular versus tiempo.

ID:(3237, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Dado que el desplazamiento total corresponde al área bajo la curva de velocidad angular frente al tiempo, en el caso de una aceleración angular constante ($\alpha_0$), se determina que el desplazamiento el ángulo ($\theta$) con las variables el ángulo inicial ($\theta_0$), el tiempo ($t$), el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad angular inicial ($\omega_i$) es el siguiente:

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

Condiciones

Variables

$\alpha_0$

Aceleración angular constante

$rad/s^2$

5298

$\theta$

Ángulo

$rad$

6065

$\theta_0$

Ángulo inicial

$rad$

5296

$t$

Tiempo

$s$

5264

$t_0$

Tiempo inicial

$s$

5265

$\omega_0$

Velocidad angular inicial

$rad/s$

5295

Relación

Desarrollo

En el caso de la aceleración angular constante ($\alpha_0$), la velocidad angular ($\omega$) en función de el tiempo ($t$) sigue una relación lineal con el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad angular inicial ($\omega_i$) de la forma:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

Dado que el ángulo recorrido es igual al área bajo la curva de velocidad angular-tiempo, en este caso se puede sumar la contribución del rectángulo:

$\omega_0(t-t_0)$

y el triángulo:

$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$

Esto nos lleva a la expresión para el ángulo ($\theta$) y el ángulo inicial ($\theta_0$):

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

Esta expresión corresponde a la forma general de una parábola.

ID:(3682, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

En el caso de la aceleración angular constante ($\alpha_0$), la función de la velocidad angular ($\omega$) respecto a el tiempo ($t$), con variables adicionales la velocidad angular inicial ($\omega_i$) y el tiempo inicial ($t_0$), está expresada por la ecuación:

A partir de esta ecuación, es posible calcular la relación entre el ángulo ($\theta$) y el ángulo inicial ($\theta_0$), así como el cambio en la velocidad angular:

$ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$

Condiciones

Variables

$\alpha_0$

Aceleración angular constante

$rad/s^2$

5298

$\theta$

Ángulo

$rad$

6065

$\theta_0$

Ángulo inicial

$rad$

5296

$\omega$

Velocidad angular

$rad/s$

6068

$\omega_0$

Velocidad angular inicial

$rad/s$

5295

Relación

Desarrollo

Si resolvemos la ecuación de la velocidad angular ($\omega$) en términos de tiempo, que incluye las variables la velocidad angular inicial ($\omega_i$), el tiempo ($t$), el tiempo inicial ($t_0$) y la aceleración angular constante ($\alpha_0$):

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

obtenemos la siguiente expresión para el tiempo:

$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$

Esta solución puede ser sustituida en la ecuación para calcular el ángulo ($\theta$) utilizando el ángulo inicial ($\theta_0$) de la siguiente manera:

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

Lo que resulta en la siguiente ecuación:

$ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$

ID:(4386, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si dividimos la relación entre la velocidad media ($\bar{v}$), el radio ($r$) y la velocidad angular media ($\bar{\omega}$), expresada en la siguiente ecuación:

por el valor de el tiempo transcurrido ($\Delta t$), podemos obtener el factor que nos permite calcular la aceleración angular a lo largo de la órbita:

$ a_0 = r \alpha_0 $

$ a = r \alpha $

Condiciones

Variables

$\alpha$

$\alpha_0$

Aceleración angular constante

$rad/s^2$

5298

$a$

$a_0$

Aceleración constante

$m/s^2$

5297

$r$

Radio

$m$

9884

Relación

Desarrollo

Dado que la aceleración media ($\bar{a}$) es igual a la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) según

$ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$

y la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es igual a la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) conforme a

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$

se deduce que

$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$

Si asumimos que la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es igual a la aceleración angular constante ($\alpha_0$)

$ \bar{\alpha} = \alpha_0 $

y suponiendo que la aceleración media ($\bar{a}$) es igual a la aceleración constante ($a_0$)

$ a_0 = \bar{a} $

entonces se obtiene la siguiente ecuación:

$ a = r \alpha $

ID:(3236, 0)