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Konstante Winkelbeschleunigung
Storyboard

Um eine bestimmte Winkelgeschwindigkeit zu erreichen, muss ein Objekt zunächst seine Winkelgeschwindigkeit von Ruhe aus erhöhen. Dieser Vorgang wird als Winkelbeschleunigung bezeichnet und wird in Bezug auf die Änderung der Winkelgeschwindigkeit im Laufe der Zeit definiert. Andererseits, wenn das Ziel darin besteht, die Winkelgeschwindigkeit zu verringern und sogar die Rotation des Objekts zu stoppen, wird auch eine Winkelbeschleunigung eingeführt, jedoch mit dem entgegengesetzten Vorzeichen zur Winkelgeschwindigkeit (wenn die Winkelgeschwindigkeit positiv ist, ist die Winkelbeschleunigung negativ, und umgekehrt), was als Bremsen der Rotation bekannt ist.

>Modell

ID:(612, 0)


Mechanismen
Konzept


ID:(15413, 0)


Mittlere Winkelbeschleunigung
Konzept

Wenn die Winkelgeschwindigkeit nicht konstant ist, ist es wichtig zu verstehen, wie sie sich im Laufe der Zeit ändert. Hierfür müssen wir die Änderungsrate der Winkelgeschwindigkeit pro Zeiteinheit kennen, die als Winkelbeschleunigung oder -verzögerung bezeichnet wird, je nachdem, ob die Winkelgeschwindigkeit zunimmt oder abnimmt.Die Winkelbeschleunigung wird durch Messung der Variation der Winkelgeschwindigkeit über die Zeit bestimmt.

ID:(12519, 0)


Messung der mittleren Winkelbeschleunigung
Konzept

Die durchschnittliche Winkelbeschleunigung wird als das Verhältnis definiert, in dem sich die Winkelgeschwindigkeit im Laufe der Zeit ändert. Um diese Größe genau zu messen, ist es erforderlich, zu quantifizieren, wie sich die Winkelgeschwindigkeit im Laufe der Zeit ändert.



Um diese Messung präzise durchzuführen, kann eine Stroboskoplampe verwendet werden, die in definierten Intervallen Lichtblitze abgibt. Durch Aufnahme eines Fotos zu einem bestimmten Zeitpunkt lässt sich der Winkelabstand bestimmen, den das Objekt während dieser Zeitspanne zurücklegt. Durch Berechnung der Winkelgeschwindigkeiten zu zwei aufeinanderfolgenden Momenten kann die Änderung der Winkelgeschwindigkeit ermittelt werden. Durch Division dieser Änderung durch das Zeitintervall zwischen den Fotos wird die durchschnittliche Winkelbeschleunigung berechnet.

Die Gleichung, die diese durchschnittliche Winkelbeschleunigung beschreibt, lautet wie folgt:

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$



Es ist wichtig zu beachten, dass die durchschnittliche Winkelbeschleunigung eine Schätzung der tatsächlichen Winkelbeschleunigung ist. Es gibt jedoch ein grundlegendes Problem:

Wenn die Winkelbeschleunigung im Laufe der Zeit variiert, kann der Wert der durchschnittlichen Winkelbeschleunigung erheblich von der durchschnittlichen Winkelbeschleunigung abweichen.



Daher liegt der Schlüssel darin,

Die Winkelbeschleunigung innerhalb eines ausreichend kurzen Zeitintervalls zu bestimmen, um jegliche signifikante Variation zu minimieren.

ID:(15519, 0)


Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung
Beschreibung

Im Fall einer konstanten Winkelbeschleunigung folgt die Winkelgeschwindigkeit einer linearen Beziehung zur Zeit:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$



wie in der folgenden Grafik dargestellt:

ID:(11429, 0)


Zurückgelegter Winkel bei konstanter Winkelbeschleunigung
Konzept

Mit die konstante Beschleunigung ($a_0$) beschreibt die Funktion von die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) eine Gerade, deren Steigung gleich der Winkelbeschleunigung ist. Zusammen mit die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$), der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$) wird die Beziehung durch die Gleichung ausgedrückt:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$



Daher besteht die Fläche unter einer Kurve, die die gesamte Wegstrecke darstellt, aus einem Rechteck und einem Dreieck:



Das Rechteck hat eine Höhe, die der Anfangsgeschwindigkeit entspricht, und eine Basis gleich der verstrichenen Zeit. Das Dreieck hingegen hat eine Höhe, die das Produkt aus Winkelbeschleunigung und verstrichener Zeit ist, und eine Basis, die ebenfalls der verstrichenen Zeit entspricht. Mit diesen Informationen kann der gesamte Weg der Winkel ($\theta$) unter Verwendung von der Anfangswinkel ($\theta_0$) wie folgt berechnet werden:

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

ID:(11418, 0)


Tangentialbeschleunigung, Rechte-Hand-Regel
Bild

Die Ausrichtung der Tangentialbeschleunigung kann mithilfe der Rechten-Hand-Regel ermittelt werden, indem die Finger in Richtung der Achse zeigen und dann in Richtung des Radius gedreht werden:

ID:(11600, 0)


Modell
Konzept


ID:(15424, 0)


Konstante Winkelbeschleunigung
Modell

Um eine bestimmte Winkelgeschwindigkeit zu erreichen, muss ein Objekt zunächst seine Winkelgeschwindigkeit von Ruhe aus erhöhen. Dieser Vorgang wird als Winkelbeschleunigung bezeichnet und wird in Bezug auf die Änderung der Winkelgeschwindigkeit im Laufe der Zeit definiert. Andererseits, wenn das Ziel darin besteht, die Winkelgeschwindigkeit zu verringern und sogar die Rotation des Objekts zu stoppen, wird auch eine Winkelbeschleunigung eingeführt, jedoch mit dem entgegengesetzten Vorzeichen zur Winkelgeschwindigkeit (wenn die Winkelgeschwindigkeit positiv ist, ist die Winkelbeschleunigung negativ, und umgekehrt), was als Bremsen der Rotation bekannt ist.

Variablen
Symbol
Text
Variable
Wert
Einheiten
Berechnen
MKS-Wert
MKS-Einheiten
$\Delta t$
Dt
Abgelaufene Zeit
s
$\theta_0$
theta_0
Anfangswinkel
rad
$\omega_0$
omega_0
Anfängliche Winkelgeschwindigkeit
rad/s
$\alpha_0$
alpha_0
Constant Angular Acceleration
rad/s^2
$\Delta\theta$
Dtheta
Differenz von Winkel
rad
$a_0$
a_0
konstante Beschleunigung
m/s^2
$\bar{\alpha}$
alpha_m
Mittlere Winkelbeschleunigung
rad/s^2
$r$
r
Radius
m
$t_0$
t_0
Startzeit
s
$\Delta\omega$
Domega
Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten
rad/s
$\theta$
theta
Winkel
rad
$\omega$
omega
Winkelgeschwindigkeit
rad/s
$t$
t
Zeit
s

Berechnungen

Zuerst die Gleichung auswählen:   zu ,  dann die Variable auswählen:   zu 
Symbol
Gleichung
Gelöst
Übersetzt

Berechnungen

Symbol
Gleichung
Gelöst
Übersetzt

 Variable   Gegeben   Berechnen   Ziel :   Gleichung   Zu verwenden


Gleichungen

Die Definition der durchschnittlichen Winkelbeschleunigung basiert auf dem zur ckgelegten Winkel

$ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $



und der verstrichenen Zeit

$ \Delta t \equiv t - t_0 $



Die Beziehung zwischen beiden wird als die durchschnittliche Winkelbeschleunigung definiert

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$

innerhalb dieses Zeitintervalls.

(ID 3234)

Angesichts dessen, dass die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gem

$ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$



und die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) laut

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$



ist, folgt daraus, dass

$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$



Unter der Annahme, dass die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) ist

$ \bar{\alpha} = \alpha_0 $



und angenommen, dass die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich die konstante Beschleunigung ($a_0$) ist

$ a_0 = \bar{a} $



ergibt sich folgende Gleichung:

$ a = r \alpha $

(ID 3236)

Wenn wir annehmen, dass die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) konstant und gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) ist, dann gilt die folgende Gleichung:

$ \bar{\alpha} = \alpha_0 $



Daher, unter Ber cksichtigung von die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) zusammen mit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$):

$ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $



und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) in Bezug auf der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$):

$ \Delta t \equiv t - t_0 $



kann die Gleichung f r die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$):

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$



wie folgt ausgedr ckt werden:

$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$



Durch Aufl sen erhalten wir:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

(ID 3237)

Im Fall von die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) folgt die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) als Funktion von der Zeit ($t$) einer linearen Beziehung mit der Startzeit ($t_0$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) in der Form:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$



Da der zur ckgelegte Winkel gleich der Fl che unter der Kurve der Winkelgeschwindigkeit-Zeit ist, kann in diesem Fall der Beitrag des Rechtecks:

$\omega_0(t-t_0)$



und des Dreiecks:

$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$



hinzugef gt werden.

Dies f hrt uns zu dem Ausdruck f r der Winkel ($\theta$) und der Anfangswinkel ($\theta_0$):

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

(ID 3682)

Wenn wir die Zeit in der Gleichung von die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) aufl sen, die die Variablen die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$), der Zeit ($t$), der Startzeit ($t_0$) und die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) umfasst:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$



erhalten wir den folgenden Ausdruck f r die Zeit:

$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$



Diese L sung kann in die Gleichung eingesetzt werden, um der Winkel ($\theta$) unter Verwendung von der Anfangswinkel ($\theta_0$) wie folgt zu berechnen:

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$



was in der folgenden Gleichung resultiert:

$ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$

(ID 4386)

Beispiele


(ID 15413)

Wenn die Winkelgeschwindigkeit nicht konstant ist, ist es wichtig zu verstehen, wie sie sich im Laufe der Zeit ndert. Hierf r m ssen wir die nderungsrate der Winkelgeschwindigkeit pro Zeiteinheit kennen, die als Winkelbeschleunigung oder -verz gerung bezeichnet wird, je nachdem, ob die Winkelgeschwindigkeit zunimmt oder abnimmt.Die Winkelbeschleunigung wird durch Messung der Variation der Winkelgeschwindigkeit ber die Zeit bestimmt.

(ID 12519)

Die durchschnittliche Winkelbeschleunigung wird als das Verh ltnis definiert, in dem sich die Winkelgeschwindigkeit im Laufe der Zeit ndert. Um diese Gr e genau zu messen, ist es erforderlich, zu quantifizieren, wie sich die Winkelgeschwindigkeit im Laufe der Zeit ndert.



Um diese Messung pr zise durchzuf hren, kann eine Stroboskoplampe verwendet werden, die in definierten Intervallen Lichtblitze abgibt. Durch Aufnahme eines Fotos zu einem bestimmten Zeitpunkt l sst sich der Winkelabstand bestimmen, den das Objekt w hrend dieser Zeitspanne zur cklegt. Durch Berechnung der Winkelgeschwindigkeiten zu zwei aufeinanderfolgenden Momenten kann die nderung der Winkelgeschwindigkeit ermittelt werden. Durch Division dieser nderung durch das Zeitintervall zwischen den Fotos wird die durchschnittliche Winkelbeschleunigung berechnet.

Die Gleichung, die diese durchschnittliche Winkelbeschleunigung beschreibt, lautet wie folgt:

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$



Es ist wichtig zu beachten, dass die durchschnittliche Winkelbeschleunigung eine Sch tzung der tats chlichen Winkelbeschleunigung ist. Es gibt jedoch ein grundlegendes Problem:

Wenn die Winkelbeschleunigung im Laufe der Zeit variiert, kann der Wert der durchschnittlichen Winkelbeschleunigung erheblich von der durchschnittlichen Winkelbeschleunigung abweichen.



Daher liegt der Schl ssel darin,

Die Winkelbeschleunigung innerhalb eines ausreichend kurzen Zeitintervalls zu bestimmen, um jegliche signifikante Variation zu minimieren.

(ID 15519)

Im Fall einer konstanten Winkelbeschleunigung folgt die Winkelgeschwindigkeit einer linearen Beziehung zur Zeit:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$



wie in der folgenden Grafik dargestellt:

(ID 11429)

Mit die konstante Beschleunigung ($a_0$) beschreibt die Funktion von die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) eine Gerade, deren Steigung der Winkelbeschleunigung entspricht. Zusammen mit die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$), der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$) wird diese Beziehung durch die folgende Gleichung ausgedrückt:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$



Die Fläche unter der Kurve die die gesamte Winkelverschiebung darstellt setzt sich daher aus einem Rechteck und einem Dreieck zusammen:



Das Rechteck hat eine Höhe, die der anfänglichen Winkelgeschwindigkeit entspricht, und eine Basis, die der verstrichenen Zeit entspricht. Das Dreieck hat eine Höhe, die dem Produkt aus Winkelbeschleunigung und verstrichener Zeit entspricht, und ebenfalls eine Basis, die gleich der Zeit ist.

Mit diesen Informationen kann die Gesamtverschiebung der Winkel ($\theta$) unter Verwendung von der Anfangswinkel ($\theta_0$) wie folgt berechnet werden:

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

(ID 11418)

Die Ausrichtung der Tangentialbeschleunigung kann mithilfe der Rechten-Hand-Regel ermittelt werden, indem die Finger in Richtung der Achse zeigen und dann in Richtung des Radius gedreht werden:

(ID 11600)


(ID 15424)

ID:(612, 0)