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Aceleración angular constante
Storyboard

Para que un objeto alcance una velocidad angular determinada, primero debe aumentar su velocidad angular desde el reposo. Este proceso se denomina aceleración angular y se define en función de la variación de la velocidad angular en el tiempo. Por otro lado, si se busca reducir la velocidad angular e incluso detener la rotación del objeto, también se introduce una aceleración angular, pero con el signo opuesto al de la velocidad angular (si la velocidad angular es positiva, la aceleración angular es negativa, y viceversa), lo que se conoce como frenado angular.

>Modelo

ID:(612, 0)


Mecanismos
Concepto


ID:(15413, 0)


Aceleración angular media
Concepto

Cuando la velocidad angular no es constante, es crucial comprender cómo varía con el tiempo. Para ello, necesitamos conocer la tasa de cambio de la velocidad angular por unidad de tiempo, conocida como aceleración angular o desaceleración angular, dependiendo de si la velocidad angular está aumentando o disminuyendo.La aceleración angular se determina mediante la medición de la variación de la velocidad angular en relación al tiempo.

ID:(12519, 0)


Medición de la aceleración angular media
Concepto

La aceleración angular media se define como la proporción en la que varía la velocidad angular a lo largo del tiempo. Para medir esta magnitud, es necesario cuantificar cómo cambia la velocidad angular en el transcurso del tiempo.



Para llevar a cabo esta medición de manera precisa, se puede emplear una lámpara estroboscópica que emite destellos luminosos en intervalos de tiempo definidos. Al capturar una fotografía en un instante específico, es posible determinar la distancia angular que el objeto recorre en ese lapso. Al calcular las velocidades angulares en dos instantes consecutivos, se puede obtener la variación de la velocidad angular, y al dividir este cambio entre el intervalo de tiempo entre las fotografías, se obtiene la aceleración angular media.

La ecuación que describe esta aceleración angular media es la siguiente:

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$



Es importante tener en cuenta que la aceleración angular media es una estimación de la aceleración angular real. Sin embargo, existe un problema fundamental:

Si la aceleración angular varía a lo largo del tiempo, el valor de la aceleración angular media puede diferir significativamente de la aceleración angular promedio.



Por lo tanto, la clave reside en

Determinar la aceleración angular en un intervalo de tiempo lo suficientemente corto para minimizar cualquier variación significativa.

ID:(15519, 0)


Velocidad angular en el caso de aceleración angular constante
Descripción

En el caso de una aceleración angular constante, la velocidad angular sigue una relación lineal en función del tiempo:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$



que se representa en el siguiente gráfico:

ID:(11429, 0)


Ángulo recorrido parra aceleración angular constante
Concepto

Con la aceleración constante ($a_0$), la función de la velocidad angular ($\omega$) describe una recta cuya pendiente es igual a la aceleración angular. Junto con la velocidad angular inicial ($\omega_0$), el tiempo ($t$), y el tiempo inicial ($t_0$), la relación se expresa mediante la ecuación:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$



Por lo tanto, el área bajo una curva, que representa el desplazamiento total, se compone de un rectángulo y un triángulo:



El rectángulo tiene una altura que corresponde a la velocidad inicial y una base igual al tiempo transcurrido. El triángulo, por su parte, tiene una altura que es el producto de la aceleración angular por el tiempo transcurrido y una base que también es igual al tiempo. Con esta información, se puede calcular el desplazamiento total el ángulo ($\theta$) usando el ángulo inicial ($\theta_0$) como se muestra a continuación:

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

ID:(11418, 0)


Aceleración tangencial, regla de la mano derecha
Imagen

La dirección de la aceleración tangencial puede determinarse utilizando la regla de la mano derecha, donde los dedos se orientan hacia el eje y luego se giran en dirección al radio:

ID:(11600, 0)


Modelo
Concepto


ID:(15424, 0)


Aceleración angular constante
Modelo

Para que un objeto alcance una velocidad angular determinada, primero debe aumentar su velocidad angular desde el reposo. Este proceso se denomina aceleración angular y se define en función de la variación de la velocidad angular en el tiempo. Por otro lado, si se busca reducir la velocidad angular e incluso detener la rotación del objeto, también se introduce una aceleración angular, pero con el signo opuesto al de la velocidad angular (si la velocidad angular es positiva, la aceleración angular es negativa, y viceversa), lo que se conoce como frenado angular.

Variables
Símbolo
Texto
Variable
Valor
Unidades
Calcule
Valor MKS
Unidades MKS
$\alpha_0$
alpha_0
Aceleración angular constante
rad/s^2
$\bar{\alpha}$
alpha_m
Aceleración angular media
rad/s^2
$a_0$
a_0
Aceleración constante
m/s^2
$\theta$
theta
Ángulo
rad
$\theta_0$
theta_0
Ángulo inicial
rad
$\Delta\theta$
Dtheta
Diferencia de ángulos
rad
$\Delta\omega$
Domega
Diferencia de velocidades angulares
rad/s
$r$
r
Radio
m
$t$
t
Tiempo
s
$t_0$
t_0
Tiempo inicial
s
$\Delta t$
Dt
Tiempo transcurrido
s
$\omega$
omega
Velocidad angular
rad/s
$\omega_0$
omega_0
Velocidad angular inicial
rad/s

Cálculos

Primero, seleccione la ecuación:   a ,  luego, seleccione la variable:   a 
Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

Cálculos

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

 Variable   Dado   Calcule   Objetivo :   Ecuación   A utilizar


Ecuaciones

La aceleraci n angular media se define como la proporci n del ngulo recorrido

$ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $



y el tiempo transcurrido

$ \Delta t \equiv t - t_0 $



Esta relaci n entre ambos se establece como la aceleraci n angular media

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$

durante dicho intervalo de tiempo.

(ID 3234)

Dado que la aceleración media ($\bar{a}$) es igual a la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) seg n

$ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$



y la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es igual a la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) conforme a

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$



se deduce que

$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$



Si asumimos que la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es igual a la aceleración angular constante ($\alpha_0$)

$ \bar{\alpha} = \alpha_0 $



y suponiendo que la aceleración media ($\bar{a}$) es igual a la aceleración constante ($a_0$)

$ a_0 = \bar{a} $



entonces se obtiene la siguiente ecuaci n:

$ a = r \alpha $

(ID 3236)

Si suponemos que la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es constante, equivalente a la aceleración angular constante ($\alpha_0$), entonces se aplica la siguiente ecuaci n:

$ \bar{\alpha} = \alpha_0 $



Por lo tanto, al considerar la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) junto con la velocidad angular ($\omega$) y la velocidad angular inicial ($\omega_0$):

$ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $



y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) en relaci n con el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$):

$ \Delta t \equiv t - t_0 $



la ecuaci n para la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$):

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$



puede expresarse como:

$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$



Despejando esta ltima, obtenemos:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

(ID 3237)

En el caso de la aceleración angular constante ($\alpha_0$), la velocidad angular ($\omega$) en funci n de el tiempo ($t$) sigue una relaci n lineal con el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad angular inicial ($\omega_0$) de la forma:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$



Dado que el ngulo recorrido es igual al rea bajo la curva de velocidad angular-tiempo, en este caso se puede sumar la contribuci n del rect ngulo:

$\omega_0(t-t_0)$



y el tri ngulo:

$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$



Esto nos lleva a la expresi n para el ángulo ($\theta$) y el ángulo inicial ($\theta_0$):

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

(ID 3682)

Si resolvemos la ecuaci n de la velocidad angular ($\omega$) en t rminos de tiempo, que incluye las variables la velocidad angular inicial ($\omega_0$), el tiempo ($t$), el tiempo inicial ($t_0$) y la aceleración angular constante ($\alpha_0$):

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$



obtenemos la siguiente expresi n para el tiempo:

$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$



Esta soluci n puede ser sustituida en la ecuaci n para calcular el ángulo ($\theta$) utilizando el ángulo inicial ($\theta_0$) de la siguiente manera:

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$



Lo que resulta en la siguiente ecuaci n:

$ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$

(ID 4386)

Ejemplos


(ID 15413)

Cuando la velocidad angular no es constante, es crucial comprender c mo var a con el tiempo. Para ello, necesitamos conocer la tasa de cambio de la velocidad angular por unidad de tiempo, conocida como aceleraci n angular o desaceleraci n angular, dependiendo de si la velocidad angular est aumentando o disminuyendo.La aceleraci n angular se determina mediante la medici n de la variaci n de la velocidad angular en relaci n al tiempo.

(ID 12519)

La aceleraci n angular media se define como la proporci n en la que var a la velocidad angular a lo largo del tiempo. Para medir esta magnitud, es necesario cuantificar c mo cambia la velocidad angular en el transcurso del tiempo.



Para llevar a cabo esta medici n de manera precisa, se puede emplear una l mpara estrobosc pica que emite destellos luminosos en intervalos de tiempo definidos. Al capturar una fotograf a en un instante espec fico, es posible determinar la distancia angular que el objeto recorre en ese lapso. Al calcular las velocidades angulares en dos instantes consecutivos, se puede obtener la variaci n de la velocidad angular, y al dividir este cambio entre el intervalo de tiempo entre las fotograf as, se obtiene la aceleraci n angular media.

La ecuaci n que describe esta aceleraci n angular media es la siguiente:

$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$



Es importante tener en cuenta que la aceleraci n angular media es una estimaci n de la aceleraci n angular real. Sin embargo, existe un problema fundamental:

Si la aceleraci n angular var a a lo largo del tiempo, el valor de la aceleraci n angular media puede diferir significativamente de la aceleraci n angular promedio.



Por lo tanto, la clave reside en

Determinar la aceleraci n angular en un intervalo de tiempo lo suficientemente corto para minimizar cualquier variaci n significativa.

(ID 15519)

En el caso de una aceleraci n angular constante, la velocidad angular sigue una relaci n lineal en funci n del tiempo:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$



que se representa en el siguiente gr fico:

(ID 11429)

Con la aceleración constante ($a_0$), la función de la velocidad angular ($\omega$) describe una recta cuya pendiente corresponde a la aceleración angular. Junto con la velocidad angular inicial ($\omega_0$), el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$), esta relación se expresa mediante la ecuación:

$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$



Por lo tanto, el área bajo la curva que representa el desplazamiento angular total se compone de un rectángulo y un triángulo:



El rectángulo tiene una altura igual a la velocidad angular inicial y una base correspondiente al tiempo transcurrido. El triángulo tiene una altura que es el producto de la aceleración angular por el tiempo transcurrido, y su base también es igual al tiempo.

Con esta información, se puede calcular el desplazamiento total el ángulo ($\theta$) utilizando el ángulo inicial ($\theta_0$), como se muestra a continuación:

$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

(ID 11418)

La direcci n de la aceleraci n tangencial puede determinarse utilizando la regla de la mano derecha, donde los dedos se orientan hacia el eje y luego se giran en direcci n al radio:

(ID 11600)


(ID 15424)

ID:(612, 0)