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Umwandlung von Arbeit in Wärme
Beschreibung
Die Umwandlung von Arbeit in Energie wird durch die Erzeugung von Wärme durch Reibung untersucht. Dazu wird ein Metallband um einen Zylinder gewickelt, der Wasser und ein Thermometer enthält. Durch Drehen der Kurbel entsteht durch Reibung Wärme, die zur Erwärmung des Wassers führt. Wenn die aufgebrachte Kraft, die Anzahl der Umdrehungen und der Radius des Zylinders gemessen werden, kann die zurückgelegte Strecke geschätzt werden, was wiederum die Energie als das Produkt aus Kraft und Strecke ermöglicht.
ID:(1884, 0)
Definition der Energie
Gleichung
Die Vorstellung von Energie wurde zuerst in der Thermodynamik eingeführt, um die Menge an Wärme zu quantifizieren, die in mechanische Arbeit umgewandelt werden kann. In einem bestimmten Experiment wurde eine Oberfläche mit einer Kraft gegen ein gespanntes Kabel gerieben. Das Kabel legte dabei effektiv eine Strecke zurück, die, wenn sie mit der aufgebrachten Kraft multipliziert wurde, die Menge an Energie ergab.
$\Delta W = F \Delta s$
Da sowohl die Kraft als auch die Strecke tatsächlich Vektoren sind, kann dieser Ausdruck mithilfe des Skalarprodukts von Kraft und Strecke verallgemeinert werden:
 $ \Delta W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} $ |
Mit anderen Worten trägt nur die Komponente der Kraft, die das Objekt tatsächlich verschiebt, zur Energie bei.
ID:(1136, 0)
Wegdefinition
Bild
Für jeden gegebenen Pfad ist es möglich, die an jedem Punkt wirkende Kraft zu definieren. Darüber hinaus können wir, wenn wir diesen Pfad in verschiedene Segmente unterteilen, die durch Vektoren $d\vec{x}$ dargestellt werden, das Skalarprodukt zwischen ihnen berechnen, um die verbrauchte Energie zu bestimmen:
ID:(11514, 0)
Allgemeine Definition von Energie
Gleichung
Carnot war der Erste, der die Energie im Zusammenhang mit dem Weg und der benötigten Kraft zur Durchquerung beschrieb. Das Vorankommen entlang eines Weges mit einer Kraft erfordert oder erzeugt Energie. Dies entspricht der Gleichung:
| $ \Delta W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} $ |
Im kontinuierlichen Grenzwert kann die Summe als Integral dargestellt werden:
| $ W =\displaystyle\int_C \vec{F} \cdot d \vec{s} $ |
Für einen längeren Weg muss die benötigte Energie für jedes Wegstück summiert werden:
$\bar{W}=\displaystyle\sum_i \vec{F}_i\cdot\Delta\vec{s}_i$
Jedoch repräsentiert der Wert dieser Gleichung lediglich einen Durchschnittswert der benötigten oder erzeugten Energie. Die präzise Energie wird erreicht, wenn die Schritte sehr klein werden und die Kraft innerhalb von ihnen als konstant betrachtet werden kann:
$W=\displaystyle\sum_i \mbox{lim}_{\Delta\vec{s}_i\rightarrow\vec{0}}\vec{F}_i\cdot\Delta\vec{s}_i$
In diesem Grenzwert entspricht die Energie dem Integral entlang des zurückgelegten Weges, was uns ergibt:
| $ W =\displaystyle\int_C \vec{F} \cdot d \vec{s} $ |
ID:(3601, 0)
Energie als Funktion des Drehmoments
Gleichung
Ähnlich wie die Energie in Abhängigkeit von Kraft und zurückgelegtem Weg durch
| $ \Delta W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} $ |
analog dazu wird für die Rotation die Energie in Abhängigkeit vom Drehmoment ausgedrückt als
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
Unter Verwendung der traditionellen Definition von Energie als
| $ \Delta W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} $ |
im Fall einer Rotation steht die Kraft senkrecht zum Radius, tangential zur Umlaufbahn und parallel zum Bogen, was sich ausdrückt als
| $ \Delta s=r \Delta\theta $ |
somit ergibt sich mit
| $ T = r F $ |
dass
$\Delta W = \vec{F}\cdot\Delta\vec{s}=F\Delta s = F r\Delta\theta = T\Delta\theta$
bedeutet
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
ID:(12550, 0)
Allgemeine Definition der Rotationsfallenergie
Gleichung
Carnot war der Erste, der die Energie in Abhängigkeit vom Weg und der erforderlichen Kraft zur Durchquerung beschrieb. Das Vorankommen entlang eines Weges mit einer Kraft erfordert oder erzeugt Energie. Dies entspricht der Gleichung:
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
Im kontinuierlichen Grenzwert kann die Summe als Integral dargestellt werden:
| $ W =\displaystyle\int_C T d \theta $ |
Bei einem längeren Weg muss die Energie für jedes Wegstück summiert werden:
$\bar{W}=\displaystyle\sum_i T_i\Delta\theta_i$
Jedoch repräsentiert der Wert dieser Gleichung lediglich einen Durchschnittswert der benötigten oder erzeugten Energie. Die präzise Energie wird erreicht, wenn die Schritte sehr klein werden und das Drehmoment innerhalb von ihnen als konstant betrachtet werden kann:
$W=\displaystyle\sum_i \mbox{lim}_{\Delta\theta_i\rightarrow 0} T_i\Delta\theta_i$
In diesem Grenzwert entspricht die Energie der Integral entlang des zurückgelegten Weges, was uns ergibt:
| $ W =\displaystyle\int_C T d \theta $ |
ID:(321, 0)
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Video
Video: Energie