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Laplace des Potenzials
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Das Gaußsche Gesetz in seiner Differentialform kann auch für das elektrische Potential geschrieben werden. In diesem Fall stellt sich heraus, dass der Laplace-Wert des elektrischen Potentials proportional zur Ladungsdichte ist.
ID:(1567, 0)
Der Laplacian
Gleichung
Como el campo eléctrico se puede calcular del potencial eléctrico con el gradiente
| $ \vec{E} = -\nabla\varphi $ |
y la divergencia del campo es proporcional a la densidad de carga
| $\nabla\cdot\vec{E} = \displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0\epsilon}$ |
se puede construir el llamado Laplaciano que es la divergencia de un gradiente. Como el operador nabla es
abla = \hat{x}\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+\hat{y}\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}+\hat{z}\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}
el producto punto sera
abla\cdot
abla =\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial z^2}\equiv
abla^2
con lo que la ecuación para el potencial eléctrico queda como
| $ \nabla^2 V = \displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0\epsilon}$ |
ID:(11567, 0)
Laplace-Gleichung
Gleichung
En el caso de que no existan cargas la ley de Gauss diferencial para el potencial eléctrico
| $ \nabla^2 V = \displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0\epsilon}$ |
se reduce a la llamada ecuación de Laplace
| $ \nabla^2 V = 0$ |
Esta ecuación tiene como solución las llamadas funciones armónicas que corresponden a oscilaciones del medio. En este caso dan cuenta que movimientos de cargas generan ondas que se propagan por el espacio que que a su vez pueden generar en otro lugar movimientos de cargas.
ID:(11568, 0)
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