Felddivergenz
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Die Divergenz analysiert den Fluss des elektrischen Feldes auf infinitesimale Volumina. Dieser Wert ist proportional zur Ladungsdichte, daher ist die Divergenz ein Werkzeug zum Erkennen des Vorhandenseins von Ladungen, da das Problem des Gaußschen Gesetzes für größere Volumina darin besteht, dass, wenn sich die Summe der Ladungen innerhalb des Volumens aufhebt, auch Felder neigen dazu, sich zu versetzen.
ID:(1566, 0)
Unterteilung von Flächen und Volumen
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Cuando se analizo el flujo eléctrico se vio que se podia calcular sumando las contribuciones de muchas secciones
$ \Phi = \displaystyle\int \vec{E} \cdot \hat{n} dS $ |
se vio que se podia calcular subdividiendo el volumen en muchas pequeñas superficies
En otras palabras un volumen con su respectiva superficie se puede subdividir en múltiples volúmenes con sus correspondientes superficies:
ID:(11560, 0)
Fluss eines Elements mit infinitesimalem Volumen
Gleichung
Al subdividir el volumen en pequeños volúmenes infinitesimales
$\Phi_i = \displaystyle\int_{S_i} \vec{E}\cdot d\vec{S}_i$ |
ID:(11561, 0)
Flow by volume
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Si se toma el flujo del campo eléctrico por el volumen en la dirección
es igual a lo que flujo que sale
y se resta el flujo que ingresa
se puede estimar el flujo neto por volumen
ID:(11616, 0)
Berechnet man die Divergenz
Gleichung
El flujo en la dirección
por lo que el flujo total se puede generalizar a tres dimensiones que corresponde de hecho al producto punto del vector derivada
abla} = \hat{x}\displaystyle\frac{\partial }{\partial x}+\hat{y}\displaystyle\frac{\partial }{\partial y}+\hat{z}\displaystyle\frac{\partial }{\partial z}
con lo que la divergencia se define como:
$ \nabla\cdot\vec{E} = \displaystyle\frac{\partial E_x}{\partial x}+ \displaystyle\frac{\partial E_y}{\partial y}+ \displaystyle\frac{\partial E_z}{\partial z}$ |
ID:(11566, 0)
Definition der Felddivergenz
Gleichung
Como el volumen
$\nabla\cdot\vec{E} = \lim_{V_i\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{V_i}\displaystyle\int_{S_i} \vec{E}\cdot d\vec{S}_i$ |
ID:(11562, 0)
Divergenzsatz
Gleichung
Si consideramos el flujo segmentado
se puede empleamos la definición de la divergencia
$\nabla\cdot\vec{E} = \lim_{V_i\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{V_i}\displaystyle\int_{S_i} \vec{E}\cdot d\vec{S}_i$ |
para pasar de la suma de suma de volumenes
abla}\cdot\vec{E}\rightarrow \displaystyle\int_V (\vec{
abla}\cdot\vec{E})dV
a la integral del volumen
$\displaystyle\int_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \displaystyle\int_V (\nabla\cdot\vec{E}) dV$ |
ID:(11563, 0)
Ladungsdichte
Gleichung
En la ley de Gauss se tenia una carga
$ Q = \displaystyle\int_V \rho dV$ |
ID:(11564, 0)
Differential-Gauß-Gesetz
Gleichung
Si comparamos la ley de Gauss
$\displaystyle\int_S\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_0\epsilon}$ |
con el teorema de la divergencia
$\displaystyle\int_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \displaystyle\int_V (\nabla\cdot\vec{E}) dV$ |
y la definición de la densidad de carga
$ Q = \displaystyle\int_V \rho dV$ |
se obtiene la ley diferencial de Gauss
$\nabla\cdot\vec{E} = \displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0\epsilon}$ |
La ley de Gauss en su forma diferencial 'detecta' las cargas en los volúmenes infinitesimales obviando el problema que en el teorema de Gauss integral en que para volúmenes mayores si la suma de las cargas contenidas se anula el campo también se compensa.
ID:(11565, 0)
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Video: Felddivergenz