Field divergence
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Divergence analyzes the flow of the electric field for infinitesimal volumes. This value is proportional to the charge density, so the divergence is a tool to detect the presence of charges since the problem of Gauss's law for larger volumes is that if the sum of the charges cancels out within the volume, then also fields tend to offset.
ID:(1566, 0)
Subdividing surfaces and volumes
Image
Cuando se analizo el flujo eléctrico se vio que se podia calcular sumando las contribuciones de muchas secciones
$ \Phi = \displaystyle\int \vec{E} \cdot \hat{n} dS $ |
se vio que se podia calcular subdividiendo el volumen en muchas pequeñas superficies
En otras palabras un volumen con su respectiva superficie se puede subdividir en múltiples volúmenes con sus correspondientes superficies:
ID:(11560, 0)
Flow of an element of infinitesimal volume
Equation
Al subdividir el volumen en pequeños volúmenes infinitesimales
$\Phi_i = \displaystyle\int_{S_i} \vec{E}\cdot d\vec{S}_i$ |
ID:(11561, 0)
Flow by volume
Image
Si se toma el flujo del campo eléctrico por el volumen en la dirección
es igual a lo que flujo que sale
y se resta el flujo que ingresa
se puede estimar el flujo neto por volumen
ID:(11616, 0)
Calculate the divergence
Equation
El flujo en la dirección
por lo que el flujo total se puede generalizar a tres dimensiones que corresponde de hecho al producto punto del vector derivada
abla} = \hat{x}\displaystyle\frac{\partial }{\partial x}+\hat{y}\displaystyle\frac{\partial }{\partial y}+\hat{z}\displaystyle\frac{\partial }{\partial z}
con lo que la divergencia se define como:
$ \nabla\cdot\vec{E} = \displaystyle\frac{\partial E_x}{\partial x}+ \displaystyle\frac{\partial E_y}{\partial y}+ \displaystyle\frac{\partial E_z}{\partial z}$ |
ID:(11566, 0)
Definition of field divergence
Equation
Como el volumen
$\nabla\cdot\vec{E} = \lim_{V_i\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{V_i}\displaystyle\int_{S_i} \vec{E}\cdot d\vec{S}_i$ |
ID:(11562, 0)
Divergence theorem
Equation
Si consideramos el flujo segmentado
se puede empleamos la definición de la divergencia
$\nabla\cdot\vec{E} = \lim_{V_i\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{V_i}\displaystyle\int_{S_i} \vec{E}\cdot d\vec{S}_i$ |
para pasar de la suma de suma de volumenes
abla}\cdot\vec{E}\rightarrow \displaystyle\int_V (\vec{
abla}\cdot\vec{E})dV
a la integral del volumen
$\displaystyle\int_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \displaystyle\int_V (\nabla\cdot\vec{E}) dV$ |
ID:(11563, 0)
Charge density
Equation
En la ley de Gauss se tenia una carga
$ Q = \displaystyle\int_V \rho dV$ |
ID:(11564, 0)
Differential Gauss law
Equation
Si comparamos la ley de Gauss
$\displaystyle\int_S\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_0\epsilon}$ |
con el teorema de la divergencia
$\displaystyle\int_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \displaystyle\int_V (\nabla\cdot\vec{E}) dV$ |
y la definición de la densidad de carga
$ Q = \displaystyle\int_V \rho dV$ |
se obtiene la ley diferencial de Gauss
$\nabla\cdot\vec{E} = \displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0\epsilon}$ |
La ley de Gauss en su forma diferencial 'detecta' las cargas en los volúmenes infinitesimales obviando el problema que en el teorema de Gauss integral en que para volúmenes mayores si la suma de las cargas contenidas se anula el campo también se compensa.
ID:(11565, 0)
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Video
Video: Field divergence