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Vitesse angulaire instantanée
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La vitesse angulaire moyenne est définie en tenant compte de l'angle parcouru pendant un intervalle de temps, sans prendre en compte les éventuelles fluctuations de la vitesse angulaire.
Pour déterminer la vitesse angulaire à un instant spécifique, il est nécessaire de considérer un intervalle de temps extrêmement petit, de sorte que la vitesse angulaire n'ait pas de variations significatives pendant cette période.
C'est pourquoi la vitesse angulaire instantanée est obtenue en calculant la vitesse angulaire moyenne dans la limite d'un intervalle de temps tendant vers zéro. Mathématiquement, cela équivaut à la dérivée de la position par rapport au temps et à la pente de la courbe angle-temps.
ID:(1447, 0)
Vitesse angulaire instantanée
Storyboard
La vitesse angulaire moyenne est définie en tenant compte de l'angle parcouru pendant un intervalle de temps, sans prendre en compte les éventuelles fluctuations de la vitesse angulaire. Pour déterminer la vitesse angulaire à un instant spécifique, il est nécessaire de considérer un intervalle de temps extrêmement petit, de sorte que la vitesse angulaire n'ait pas de variations significatives pendant cette période. C'est pourquoi la vitesse angulaire instantanée est obtenue en calculant la vitesse angulaire moyenne dans la limite d'un intervalle de temps tendant vers zéro. Mathématiquement, cela équivaut à la dérivée de la position par rapport au temps et à la pente de la courbe angle-temps.
Variables
Calculs
à 
,
puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
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Donnée
Calculer
Cible :
Équation
À utiliser
Équations
Si l'on consid re l'angle parcouru comme a variation d'angle ($\Delta\theta$) au temps $t+\Delta t$ et $t$:
$\Delta\theta = \theta(t+\Delta t)-\theta(t)$
et le temps écoulé ($\Delta t$), alors dans la limite des temps infinit simalement courts :
$\omega=\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\displaystyle\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t}\rightarrow lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{d\theta}{dt}$
Cette derni re expression correspond la d riv e de la fonction d'angle $\theta(t)$, qui son tour est la pente de la repr sentation graphique de cette fonction dans le temps.
Puisque a vitesse ($v$) est avec a vitesse angulaire instantanée ($\omega$) et le radio ($r$) gale
nous pouvons calculer a vitesse (vector) ($\vec{v}$) en utilisant le produit crois avec le vecteur de l'axe, repr sent par $\hat{n}$, et le vecteur radial, repr sent par $\hat{r}$ :
$\hat{t} = \hat{n} \times \hat{r}$
Ainsi, si nous d finissons
$\vec{v}=v\hat{t}$
,
$\vec{r}=r\hat{r}$
et
$\vec{\omega}=\omega\hat{n}$
,
alors nous pouvons exprimer la vitesse comme
$\vec{v}=v\hat{t}=v\hat{n}\times\hat{r}=r\omega\hat{n}\times\hat{r}=\vec{\omega}\times\vec{r}$
ce qui signifie que
Exemples
Si l'on prend un temps $t$ avec un angle $\theta(t)$ et qu'on observe un point un temps futur $t+\Delta t$ avec un angle $\theta(t+\Delta t)$, on peut estimer la vitesse comme l'angle parcouru
$\theta(t+\Delta t)-\theta(t)$
en temps $\Delta t$.
$\omega\sim\displaystyle\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t}$
mesure que la valeur de $\Delta t$ est r duite, la vitesse angulaire prend le r le de la tangente la courbe de position ce moment-l :
Cela g n ralise ce qui a d j t vu pour le cas d'une vitesse angulaire constante.
Si nous observons que la vitesse angulaire $\omega$ est gale l'angle $\Delta\theta$ multipli par le temps $\Delta t$, nous pouvons affirmer que le d placement est
$\Delta\theta = \omega\Delta t$
tant donn que le produit $\omega\Delta t$ repr sente l'aire sous la courbe de la vitesse angulaire en fonction du temps, et que cette aire est galement gale au d placement parcouru :
L'int grale d'une fonction correspond la surface sous la courbe qui d finit la fonction. Par cons quent, l'int grale de la vitesse entre les temps $t_0$ et $t$ correspond l'angle parcouru entre la position initiale $\theta_0$ et $\theta.
Cela peut tre exprim math matiquement comme suit:
Cette relation est repr sent e graphiquement ci-dessous :
Cette formule est utile pour calculer l'angle parcouru par un objet dans des situations o la fonction de vitesse est connue. L'int grale de la fonction de vitesse fournit une mesure du d placement total de l\'objet entre les deux temps $t_0$ et $t$, ce qui peut tre utilis pour calculer l'angle parcouru par l'objet en divisant le d placement par le rayon du cercle. Ce concept est particuli rement utile dans les applications de physique et d'ing nierie dans lesquelles le mouvement de rotation est impliqu .
L'orientation de la vitesse tangentielle peut tre obtenue en utilisant la r gle de la main droite. Si les doigts pointent vers l\'axe de rotation et sont ensuite courb s vers le vecteur de position (rayon), le pouce pointera dans la direction de la vitesse tangentielle:
Si un objet est soumis un mode de maintien d'un rayon constant, il tournera comme indiqu dans la figure. En observant la figure, on remarquera que la masse effectue un mouvement de translation avec une vitesse tangentielle gale au rayon multipli par la vitesse angulaire:
Cependant, si l' l ment reliant l\'objet l\'axe est coup , l\'objet continuera se d placer tangentiellement en ligne droite.
La a vitesse angulaire moyenne ($\bar{\omega}$) calcul e partir de une variation d'angle ($\Delta\theta$) et de le temps écoulé ($\Delta t$) travers l' quation
est une approximation du vrai a vitesse angulaire instantanée ($\omega$), qui a tendance se d former lorsque la vitesse angulaire fluctue pendant l'intervalle de temps. Par cons quent, le concept de a vitesse angulaire instantanée ($\omega$) d termin sur un temps tr s court est introduit. Dans ce cas, il s'agit d'un intervalle de temps infinit simalement petit.
qui correspond la d riv e de l'angle.
Comme le temps ($t$) est la d riv e de le angle ($\theta$) par rapport a vitesse angulaire instantanée ($\omega$), c'est- -dire
l'int gration de le temps ($t$) entre le temps initial ($t_0$) et le temps ($t$) correspondra l'angle parcouru entre le angle de départ ($\theta_0$) et le angle ($\theta$), comme d montr dans
A vitesse angulaire instantanée ($\omega$) est d fini comme un vecteur dont la direction co ncide avec l'axe de rotation. tant donn que la rotation le radio ($r$) et a vitesse angulaire instantanée ($\omega$) sont perpendiculaires a vitesse ($v$), elle peut tre exprim e comme le produit vectoriel entre a vitesse angulaire instantanée ($\omega$) et la rotation le radio ($r$) :
a vitesse ($v$) peut tre crite sous forme vectorielle comme a vitesse (vector) ($\vec{v}$), r sultant du produit crois entre a vitesse angulaire ($\vec{\omega}$) et a rayon (vecteur) ($\vec{r}$) :
En g n ral, a vitesse angulaire instantanée ($\omega$) doit tre compris comme une entit tridimensionnelle, c'est- -dire un vecteur a vitesse angulaire ($\vec{\omega}$). Chaque composante peut tre d finie comme la d riv e de le angle ($\theta$) par rapport le temps ($t$) :
Ainsi, on peut l'exprimer avec la d riv e par rapport le temps ($t$) de le angle (vecteur) ($\vec{\theta}$) comme a vitesse angulaire ($\vec{\omega}$) :
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