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L'écoulement de l'Eau
Storyboard 
Dans un sol saturé, il peut y avoir des situations où des variations de pression se produisent. Ces variations génèrent à leur tour un écoulement qui, dans ce cas, devrait se produire à l'intérieur des pores du sol. Étant donné que ces pores ont une taille de l'ordre des microns ou des dizaines de microns, l'écoulement a tendance à être laminaire en raison des faibles nombres de Reynolds.
ID:(369, 0)
Solution de densité de flux à partir d'un canal
Concept
La solution obtenue pour la hauteur et les paramètres le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) nous montre que a densité de flux ($j_s$) est égal à :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Nous pouvons représenter graphiquement a densité de flux ($j_s$) en fonction des facteurs additionnels $j_s/j_{s0}$ et $x/x_0$ comme suit :
a densité de flux ($j_s$) continue d'augmenter à mesure que nous nous approchons du canal, tandis que a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) diminue. Cette augmentation est nécessaire pour maintenir la vitesse d'écoulement dans a densité de flux ($j_s$) ou, en alternative, pour l'augmenter.
ID:(7827, 0)
Flux laminaire à travers un tube
Concept
Lorsqu'un tube rempli de liquide d'une viscosité de viscosité ($\eta$) est exposé à A pression en position initiale ($p_i$) en le positionner au début du tube ($L_i$) et a pression en position finale (e) ($p_e$) en le positionner au bout du tube ($L_e$), cela génère une différence de pression ($\Delta p_s$) le long de le longueur du tube ($\Delta L$), ce qui donne le profil de a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) :
Dans les écoulements avec de faibles valeurs de le le numéro de Reynold ($Re$), où la viscosité est plus significative que l'inertie du liquide, l'écoulement se développe de manière laminée, c'est-à-dire sans la présence de turbulences.
ID:(2218, 0)
Foils dans le courant
Concept
Dans un écoulement laminaire, des couches adjacentes se déplacent et une force est générée par la viscosité entre elles. La couche la plus rapide entraîne sa voisine plus lente, tandis que la plus lente limite l'avancement de la plus rapide.
Par conséquent, la force a force visqueuse ($F_v$) générée par ($$) sur l'autre est une fonction de ($$), ($$) et ($$), comme indiqué dans l'équation suivante :
| $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
illustrée dans le schéma suivant :
ID:(7053, 0)
S'écouler dans un cylindre
Concept
L'écoulement laminaire autour d'un cylindre peut être représenté comme plusieurs couches cylindriques glissant sous l'influence des couches adjacentes. Dans ce cas, a force visqueuse ($F_v$) avec le longueur du tube ($\Delta L$), a viscosité ($\eta$) et les variables a position radiale dans le cylindre ($r$) et a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) est exprimée comme suit :
La couche à la frontière à ($$) reste stationnaire en raison de l'effet de bord et, à travers a viscosité ($\eta$), ralentit la couche adjacente qui a une vitesse.
Le centre est la partie qui se déplace à A vitesse maximal ($v_{max}$), entraînant la couche environnante. À son tour, cette couche entraîne la suivante, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'elle atteigne la couche en contact avec la paroi du cylindre, qui est immobile.
Ainsi, le système transfère de l'énergie du centre vers la paroi, générant un profil de vitesse représenté par :
avec :
ID:(7057, 0)
Débit selon l'équation de Hagen-Poiseuille
Concept
Le profil de a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) en le rayon de position dans un tube ($r$) nous permet de calculer le volumique flux ($J_V$) dans un tube en intégrant sur toute la surface, ce qui nous conduit à la loi bien connue de Hagen-Poiseuille.
Le résultat est une équation qui dépend de rayon du tube ($R$) élevé à la quatrième puissance. Cependant, il est essentiel de noter que ce profil d'écoulement n'est valable que dans le cas d'un écoulement laminaire.
Ainsi, avec cela, on déduit de a viscosité ($\eta$) que le volumique flux ($J_V$) devant un longueur du tube ($\Delta L$) et ($$), l'expression :
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Les articles originaux qui ont donné naissance à cette loi avec un nom combiné étaient:
"Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen" (Sur les lois régissant l'écoulement de l'eau dans des récipients cylindriques), Gotthilf Hagen, Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839).
"Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres", Jean-Louis-Marie Poiseuille, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).
ID:(2216, 0)
Flux volumique
Concept
Durant un temps écoulé ($\Delta t$), le fluide avec une vitesse moyenne du fluide ($v$) se déplace de un élément tubulaire ($\Delta s$). Si a section ($S$) représente la quantité de fluide traversant cette section en le temps écoulé ($\Delta t$), elle se calcule comme suit :
$\Delta V = S \Delta s = Sv \Delta t$
Cette équation indique que le volume de fluide qui s'écoule à travers la section a section ($S$) durant un temps écoulé ($\Delta t$) est égal au produit de la surface de la section et de la distance parcourue par le fluide pendant ce temps.
Cela facilite le calcul de le élément de volume ($\Delta V$), qui est le volume de fluide s'écoulant à travers le canal sur une période spécifique de le temps écoulé ($\Delta t$), correspondant à Le volumique flux ($J_V$).
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
ID:(2212, 0)
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Calculs
à 
, puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Calculs
Variable 
Donnée Calculer 
Cible : Équation À utiliser 
Équations
$ \Delta L = L_e - L_i $
DL = L_e - L_i
$ \Delta p = p_e - p_i $
Dp = p_e - p_i
$ \Delta p = R_h J_V $
Dp = R_h * J_V
$ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$
F_v =- S * eta * Dv / Dz
$ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$
F_v =-2* pi * r * DL * eta *( dv / dr )
$ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$
G_h = pi * R ^4/(8* eta * abs( DL ))
$ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$
j_s = J_V / S
$ J_V =\displaystyle\frac{ dV }{ dt }$
J_V = @DIFF( V , t , 1 )
$ J_V = G_h \Delta p $
J_V = G_h * Dp
$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$
J_V =- pi * R ^4* Dp /(8* eta * DL )
$ k = \displaystyle\frac{ R ^2}{8}$
k = R ^2/8
$ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$
Re = rho * R * v / eta
$ R_h = \displaystyle\frac{1}{ G_h }$
R_h = 1/ G_h
$ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$
R_h =8* eta * abs( DL )/( pi * R ^4)
$ S = \pi r ^2$
S = pi * r ^2
$ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$
v = v_max *(1- ( r / R )^2)
$ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$
v_max = - R ^2* Dp /(4* DL * eta )
ID:(15221, 0)
Le numéro de Reynold
Équation
Le critère clé pour déterminer si un milieu est laminé ou turbulent est le numéro de Reynolds, qui compare l'énergie associée à l'inertie à celle associée à la viscosité. La première dépend de a densité ($\rho$), a vitesse moyenne du fluide ($v$) et a dimension typique du système ($R$), tandis que la seconde dépend de a viscosité ($\eta$), le définissant ainsi :
| $ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$ |
ID:(3177, 0)
Différence de pression
Équation
Lorsque a pression en position initiale ($p_i$) et a pression en position finale (e) ($p_e$) sont connectés, une a différence de pression ($\Delta p_s$) est créée, qui est calculée à l'aide de la formule suivante :
| $ \Delta p = p_e - p_i $ |
a différence de pression ($\Delta p_s$) représente la différence de pression qui fera couler le liquide de la colonne la plus haute vers la colonne la plus basse.
ID:(14459, 0)
Variation de longueur
Équation
Pour décrire l'écoulement, un système de coordonnées est défini dans lequel le liquide s'écoule de le positionner au début du tube ($L_i$) à Le positionner au bout du tube ($L_e$), ce qui signifie que la pression en a pression en position initiale ($p_i$) est supérieure à celle en a pression en position finale (e) ($p_e$). Ce mouvement dépend de le longueur du tube ($\Delta L$), qui est calculé comme suit :
| $ \Delta L = L_e - L_i $ |
ID:(3802, 0)
Force visqueuse
Équation
A force visqueuse ($F_v$) peut être calculé à partir de les surfaces parallèles ($S$), a viscosité ($\eta$), a différence de vitesse entre les surfaces ($\Delta v$) et a distance entre les surfaces ($\Delta z$) en utilisant la méthode suivante :
| $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
ID:(3622, 0)
Force visqueuse, carter de cylindre
Équation
Dans le cas d'un cylindre, la surface est définie par longueur du tube ($\Delta L$), et par le périmètre de chacun des cylindres internes, qui est calculé en multipliant $2\pi$ par le rayon de position dans un tube ($r$). Avec cela, a force de résistance en cylindre ($F_v$) est calculée en utilisant a viscosité ($\eta$) et a variation de vitesse entre deux rayons ($dv$) pour la largeur du cylindre le variation de rayon dans un tube ($dr$), ce qui donne :
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
En français, l'énoncé donné serait le suivant :
"Comme la force visqueuse est
| $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
et la surface du cylindre est
$S=2\pi R L$
où $R$ est le rayon et $L$ est la longueur du canal, la force visqueuse peut être exprimée comme
| $ F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$ |
où $\eta$ représente la viscosité et $dv/dr$ est le gradient de vitesse entre la paroi et l'écoulement.
ID:(3623, 0)
Profil de vitesse d'un écoulement à travers un cylindre
Équation
En résolvant l'équation de flux avec la condition aux limites, nous obtenons a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) comme une fonction de le rayon de courbure ($r$), représentée par une parabole centrée sur a vitesse maximal ($v_{max}$) et égale à zéro en le rayon du tube ($R$) :
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
Quand une a différence de pression ($\Delta p_s$) agit sur une section avec une aire de $\pi R^2$, avec le rayon du tube ($R$) comme le rayon de courbure ($r$), elle génère une force représentée par :
$\pi r^2 \Delta p$
Cette force pousse le liquide contre la résistance visqueuse, donnée par :
En égalant ces deux forces, nous obtenons :
$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$
Ce qui nous conduit à l'équation :
$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$
Si nous intégrons cette équation d'une position définie par le rayon de courbure ($r$) jusqu'au bord où se trouve le rayon du tube ($R$) (en tenant compte que la vitesse au bord est nulle), nous pouvons obtenir a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) en fonction de le rayon de courbure ($r$) :
Où :
est a vitesse maximal ($v_{max}$) au centre de l'écoulement.
.
ID:(3627, 0)
Vitesse maximale d'écoulement à travers un cylindre
Équation
La valeur de a vitesse maximal ($v_{max}$) au centre d'un cylindre dépend de a viscosité ($\eta$), le rayon du tube ($R$) et du gradient créé par a différence de pression ($\Delta p_s$) et le longueur du tube ($\Delta L$), comme représenté ci-dessous :
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Le signe négatif indique que le flux s'effectue toujours dans la direction opposée au gradient, c'est-à-dire, de la zone de plus haute pression vers la zone de plus basse pression.
ID:(3628, 0)
Débit volumique instantané
Équation
Le volumique flux ($J_V$) correspond à la quantité volume ($V$) qui s'écoule à travers le canal pendant un temps ($t$). Par conséquent, nous avons :
| $ J_V =\displaystyle\frac{ dV }{ dt }$ |
La définition de le volumique flux ($J_V$) est le élément de volume ($\Delta V$) pendant le temps écoulé ($\Delta t$) :
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
qui, à la limite d'un intervalle de temps infinitésimal, correspond à la dérivée de le volume ($V$) par rapport à Le temps ($t$) :
| $ J_V =\displaystyle\frac{ dV }{ dt }$ |
ID:(12713, 0)
Loi de Hagen Poiseuille
Équation
Le volumique flux ($J_V$) peut être calculé avec la loi de Hagen-Poiseuille qui avec les paramètres a viscosité ($\eta$), a différence de pression ($\Delta p$), le rayon du tube ($R$) et le longueur du tube ($\Delta L$) est :
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Si nous examinons le profil de vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) pour un fluide dans un canal cylindrique, où A vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) varie en fonction de rayon de position dans un tube ($r$) selon l'expression suivante :
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
avec le rayon du tube ($R$) et a vitesse maximal ($v_{max}$). Nous pouvons calculer a vitesse maximal ($v_{max}$) en utilisant a viscosité ($\eta$), a différence de pression ($\Delta p$), et le longueur du tube ($\Delta L$) comme suit :
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Si nous intégrons la vitesse sur toute la section transversale du canal, nous obtenons le volumique flux ($J_V$), défini comme l'intégrale de $\pi r v(r)$ par rapport à rayon de position dans un tube ($r$) de $0$ à rayon du tube ($R$). Cette intégrale peut être simplifiée comme suit :
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
L'intégration donne la loi de Hagen-Poiseuille résultante :
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
ID:(3178, 0)
Conductance hydraulique d'un tuyau
Équation
Avec le rayon du tube ($R$), a viscosité ($\eta$) et le longueur du tube ($\Delta L$) nous avons que une conductance hydraulique ($G_h$) vaut :
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
ID:(15102, 0)
Loi de Darcy et conductance hydraulique
Équation
Avec l'introduction de a conductance hydraulique ($G_h$), nous pouvons réécrire l'équation de Hagen-Poiseuille avec a différence de pression ($\Delta p$) et le volumique flux ($J_V$) à l'aide de l'équation suivante :
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
Si nous examinons la loi de Hagen-Poiseuille, qui nous permet de calculer le volumique flux ($J_V$) à partir de le rayon du tube ($R$), a viscosité ($\eta$), le longueur du tube ($\Delta L$) et a différence de pression ($\Delta p$) :
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
nous pouvons introduire a conductance hydraulique ($G_h$), défini en termes de le longueur du tube ($\Delta L$), le rayon du tube ($R$) et a viscosité ($\eta$), de la manière suivante :
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
pour obtenir :
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
ID:(14471, 0)
Conductance hydraulique
Équation
Dans le contexte de la résistance électrique, son inverse existe, connu sous le nom de conductance électrique. De manière similaire, ce qui serait a conductance hydraulique ($G_h$) peut être défini en termes de a résistance hydraulique ($R_h$) à travers l'expression :
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{ G_h }$ |
.
ID:(15092, 0)
Résistance hydraulique d'un tube
Équation
Puisque a résistance hydraulique ($R_h$) est égal à l'inverse de a conductance hydraulique ($G_h$), il peut être calculé à partir de l'expression de ce dernier. De cette manière, nous pouvons identifier des paramètres liés à la géométrie (le longueur du tube ($\Delta L$) et le rayon du tube ($R$)) et au type de liquide (a viscosité ($\eta$)), qui peuvent être collectivement désignés sous le nom de une résistance hydraulique ($R_h$) :
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
Puisque a résistance hydraulique ($R_h$) est égal à A conductance hydraulique ($G_h$) conformément à l'équation suivante :
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{ G_h }$ |
et puisque a conductance hydraulique ($G_h$) est exprimé en termes de a viscosité ($\eta$), le rayon du tube ($R$), et le longueur du tube ($\Delta L$) comme suit :
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
nous pouvons en conclure que :
| $ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$ |
ID:(3629, 0)
Loi de Darcy et résistance hydraulique
Équation
Darcy réécrit l'équation de Hagen Poiseuille de sorte que a différence de pression ($\Delta p$) soit égal à A résistance hydraulique ($R_h$) fois le volumique flux ($J_V$) :
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
Le volumique flux ($J_V$) peut être calculé à partir de a conductance hydraulique ($G_h$) et a différence de pression ($\Delta p$) en utilisant l'équation suivante :
| $ J_V = G_h \Delta p $ |
De plus, en utilisant la relation pour a résistance hydraulique ($R_h$) :
| $ R_h = \displaystyle\frac{1}{ G_h }$ |
on obtient :
| $ \Delta p = R_h J_V $ |
ID:(3179, 0)
Surface d'un disque
Équation
A section ($S$) de un rayon du disque ($r$) est calculée comme suit :
| $ S = \pi r ^2$ |
ID:(3804, 0)
Flux volumique et sa vitesse
Équation
Une densité de flux ($j_s$) peut être exprimé en termes de le volumique flux ($J_V$) à l'aide de a coupe ou surface ($S$) par la formule suivante :
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Le flux est défini comme le volume le élément de volume ($\Delta V$) divisé par le temps le temps écoulé ($\Delta t$), ce qui est exprimé dans l'équation suivante :
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
et le volume est égal à la section transversale a section de tube ($S$) multipliée par la distance parcourue le élément tubulaire ($\Delta s$) :
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
Étant donné que la distance parcourue le élément tubulaire ($\Delta s$) par unité de temps le temps écoulé ($\Delta t$) correspond à la vitesse, elle est représentée par :
| $ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Ainsi, le flux est une densité de flux ($j_s$), qui est calculé à l'aide de :
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
ID:(4349, 0)
Perméabilité hydraulique
Équation
Le facteur restant est appelé A perméabilité hydrodynamique ($k$) et peut être calculé en utilisant le rayon du tube ($R$) avec la formule suivante :
| $ k = \displaystyle\frac{ R ^2}{8}$ |
Si nous examinons a conductance hydraulique ($G_h$), nous pouvons remarquer que le numérateur contient la section transversale du tube, représentée par $\pi R^2$. Ici, le rayon du tube ($R$) correspond à une propriété du liquide, a viscosité ($\eta$) est liée à la viscosité du fluide, et le longueur du tube ($\Delta L$) se réfère au gradient de pression généré.
| $ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$ |
Ainsi, le facteur propre à la géométrie des pores peut être défini comme a perméabilité hydrodynamique ($k$) en utilisant la formule suivante :
| $ k = \displaystyle\frac{ R ^2}{8}$ |
ID:(108, 0)