Utilisateur:
Densité d'écoulement et conductivité hydraulique
Concept 
A densité de flux ($j_s$) peut être exprimé en termes de a conductivité hydraulique ($K_s$), dans la limite infinitésimale avec a différentiel de hauteur de colonne ($dh$) et a différentiel de distance ($dx$), comme suit :
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
Cela signifie que plus le gradient est raide ou plus le terrain est pentu, plus a densité de flux ($j_s$) sera grand, comme illustré dans le graphique :
Le graphique montre comment les barres ayant des valeurs égales de différentiel de distance ($dx$) ont progressivement des valeurs de différentiel de hauteur de colonne ($dh$) de plus en plus petites, entraînant une diminution de densité de flux ($j_s$). Étant donné que le volume du liquide est conservé, cela ne peut être possible que s'il existe un autre flux qui compense cette réduction de densité de flux ($j_s$). Il pourrait s'agir d'un flux perpendiculaire à celui montré dans le graphique, par exemple, si les barres plus courtes sont plus larges dans une direction perpendiculaire au graphique.
Ce problème conduit aux considérations suivantes :
La hauteur $h$ du liquide ne peut être calculée qu'en résolvant une équation différentielle, car elle doit satisfaire à l'exigence que le volume soit conservé sur l'ensemble de la zone où s'écoule le fluide.
De plus, il est important de garder à l'esprit que :
Le signe négatif reflète le fait que le flux s'écoule toujours de la zone de plus haute altitude vers celle de plus basse altitude. Si la pente est négative, le signe négatif entraîne un flux positif (de gauche à droite), et inversement, si la pente est positive, le flux est négatif (de droite à gauche).
ID:(930, 0)
Équation de flux en une dimension
Concept
Si nous étudions le cas unidimensionnel, décrivant le processus le long de l'axe $x$, nous pouvons observer comment la hauteur de la colonne $\Delta h$ varie sur un intervalle de temps $\Delta t$. Dans ce cas, une colonne d'une largeur $\Delta x$ changera son volume par unité de longueur au fil du temps comme $\Delta x \Delta h/\Delta t$. D'autre part, la quantité de liquide qui entre le long de la colonne en $x$ est $h(x) j_s(x)$, tandis qu'en $x+\Delta x$ il en sort comme $h(x+\Delta x) j_s(x+\Delta x)$ :
Par conséquent, la variation de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) au fil du temps est égale à la variation du produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) et a densité de flux ($j_s$) à la position :
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
Les dérivées partielles sont similaires aux dérivées ordinaires, à la différence qu'elles s'appliquent à des fonctions qui dépendent de plus d'une variable. Dans ces cas, la dérivée partielle, représentée par le symbole $\partial$, nous rappelle la dérivée classique notée par la lettre $d$, mais avec la particularité que les variables non mentionnées au dénominateur sont maintenues constantes.
ID:(2290, 0)
S'écouler dans un canal
Concept
Dans le cas de l'écoulement vers un canal, le système peut être modélisé de manière unidimensionnelle, où A hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) est une fonction de a position de la colonne d'eau au sol ($x$) représentant a densité de flux ($j_s$), et elle satisfait à la condition
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
avec le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) définissant le profil de l'eau dans le sol :
La clé de cette équation est que le produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) et de a densité de flux ($j_s$) doit toujours rester constant. En ce sens, si a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) augmente, a densité de flux ($j_s$) diminue et vice versa. De plus, le signe reste le même ; donc, l'écoulement vers le canal, c'est-à-dire l'écoulement négatif, se produira uniquement lorsque le niveau de la nappe phréatique est plus élevé que celui du canal. À mesure que le liquide s'approche du canal, le niveau de la nappe phréatique diminue, entraînant une augmentation de la densité de l'écoulement.
ID:(15104, 0)
Flux provenant d'un canal
Concept
Dans le cas où le flux émerge du canal, une situation se présente où le niveau de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) doit diminuer à mesure que l'on s'éloigne du canal, assurant ainsi l'existence du gradient de pression qui entraîne le flux. Le problème est que si le flux se déplace rapidement à l'intérieur du milieu, la hauteur aura tendance à atteindre zéro et, par conséquent, le flux approchera l'infini, ce qui n'a aucun sens.
Cela signifie qu'il n'y a pas de solution stationnaire dans un tel scénario, et la seule solution est que le milieu se remplisse jusqu'à atteindre la hauteur du canal, devenant ainsi effectivement constant.
La question est de savoir s'il existe une situation stationnaire non triviale qui représente une situation réelle et intéressante. Un cas possible est lorsque le niveau du milieu diminue au point de devenir plus bas que la colonne avant que la solution ne diverge. Ce cas correspond à la situation où le flux émerge à la surface, et il n'y a pas de divergence dans la solution. Cela impliquerait qu'un flux est généré et sort à l'extérieur à un certain point, avec le risque d'affaiblir les fondations et ainsi de déstabiliser le milieu, qui agit comme un barrage.
ID:(4746, 0)
Couler dans un puits
Concept
Dans le cas de l'écoulement de l'eau souterraine vers un puits, a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de le rayon du centre du puits ($r$) avec le rayon du puits d'eau ($r_0$), le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) est représenté par
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
ce qui définit le profil de l'eau dans le sol :
ID:(4371, 0)
Modèle
Top
Paramètres
Variables
Calculs
à 
, puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Calculs
Variable 
Donnée Calculer 
Cible : Équation À utiliser 
Équations
$ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $
&j_s = - K_s * @GRAD( h , x )
$ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $
h * &D^2 h + &D h * &D h = 0
$ h j_s = h_0 j_{s0} $
h * j_s = h_0 * j_{s0}
$ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$
j_s = - k_s * dp /( eta * dx )
$ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $
k_s = eta * K_s /( rho_w * g )
$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$
K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta )
$ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$
k_s = r_0 ^2 * f ^3/(8* q_0 *(1 - f )^2)
$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$
D_t h = - &D * (h &j_s)
ID:(15224, 0)
Conductivité hydraulique du sol
Équation
Le flux de liquide dans un milieu poreux comme le sol est mesuré à l'aide de la variable a densité de flux ($j_s$), qui représente la vitesse moyenne à laquelle le liquide se déplace à travers celui-ci. Lors de la modélisation du sol et de la manière dont le liquide le traverse, on constate que ce processus est influencé par des facteurs tels que a porosité ($f$) et le rayon d'un grain générique ($r_0$), qui, lorsqu'ils sont plus élevés, facilitent le flux, tandis que a viscosité ($\eta$) entrave le passage à travers les capillaires, réduisant ainsi la vitesse d'écoulement.
Le modèle intègre finalement ce que nous appellerons a conductivité hydraulique ($K_s$), une variable qui dépend des interactions entre le rayon d'un grain générique ($r_0$), a porosité ($f$), a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), a viscosité ($\eta$) et a porosité propre générique ($q_0$) :
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
Étant donné que a densité de flux ($j_s$) est lié à Le rayon d'un grain générique ($r_0$), a porosité ($f$), a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), a viscosité ($\eta$), a porosité propre générique ($q_0$), a différence de hauteur ($\Delta h$) et le longueur de l'échantillon ($\Delta L$) à travers l'équation :
| $ j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }$ |
Nous pouvons définir un facteur que nous appellerons a conductivité hydraulique ($K_s$) comme suit :
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
Ce facteur englobe tous les éléments liés aux propriétés du sol et du liquide qui s'écoule à travers lui.
a conductivité hydraulique ($K_s$) exprime la facilité avec laquelle le liquide est conduit à travers le milieu poreux. En fait, a conductivité hydraulique ($K_s$) augmente avec a porosité ($f$) et le rayon d'un grain générique ($r_0$), et diminue avec a porosité propre générique ($q_0$) et a viscosité ($\eta$).
ID:(4739, 0)
Perméabilité du sol
Équation
A conductivité hydraulique ($K_s$) représente comment le liquide se comporte dans le milieu. Une partie de a conductivité hydraulique ($K_s$) est inhérente aux propriétés du milieu lui-même, tandis qu'une autre partie contient des constantes qui décrivent le comportement du liquide. Par conséquent, il est logique d'introduire une nouvelle constante spécifique au milieu et non au liquide qui s'écoule à travers lui.
Ainsi, a perméabilité du sol ($k_s$) est en relation avec le rayon d'un grain générique ($r_0$), a porosité ($f$) et a porosité propre générique ($q_0$) grâce à la définition suivante :
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
Étant donné que a conductivité hydraulique ($K_s$) est lié à Le rayon d'un grain générique ($r_0$), a porosité ($f$), a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), a viscosité ($\eta$) et a porosité propre générique ($q_0$) à travers
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
nous pouvons définir la partie qui dépend uniquement du sol comme a perméabilité du sol ($k_s$), en l'exprimant comme suit :
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
ID:(10595, 0)
Perméabilité et conductivité hydraulique
Équation
A perméabilité du sol ($k_s$) peut être calculé à partir de a conductivité hydraulique ($K_s$), a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$) et a viscosité ($\eta$) en utilisant l'expression suivante :
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
A perméabilité du sol ($k_s$) est lié à Le rayon d'un grain générique ($r_0$), a porosité ($f$) et a porosité propre générique ($q_0$), il est égal à
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
Par conséquent, avec l'équation pour a conductivité hydraulique ($K_s$), ainsi qu'avec a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$) et a viscosité ($\eta$),
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
cela aboutit à la relation entre a perméabilité du sol ($k_s$) et a conductivité hydraulique ($K_s$) comme étant
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
Généralement, les mesures de caractérisation des sols sont effectuées avec un liquide spécifique, ce qui donne une valeur de une conductivité hydraulique ($K_s$). Avec cette valeur, vous pouvez calculer a perméabilité du sol ($k_s$) en utilisant l'équation mentionnée ci-dessus.
ID:(34, 0)
Densité de débit et gradient de pression
Équation
A densité de flux ($j_s$) peut être exprimé en fonction de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) ou, en fonction de a pression de la colonne d'eau ($p$) généré par la colonne de liquide. En utilisant la définition de a perméabilité du sol ($k_s$), nous obtenons l'expression suivante pour a viscosité ($\eta$) et a position de la colonne d'eau au sol ($x$) :
| $ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$ |
A différence de pression ($\Delta p$) par rapport à A densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$) et a différence de hauteur ($\Delta h$) est calculé selon l'équation suivante :
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
dans la limite infinitésimale où A différence de pression ($\Delta p$) équivaut à A différence de pression ($dp$), noté comme :
$\Delta p \rightarrow dp$
et où A différence de hauteur ($\Delta h$) équivaut à A différentiel de hauteur de colonne ($dh$), noté comme :
$\Delta h \rightarrow dh$
En utilisant la relation de a densité de flux ($j_s$) avec a conductivité hydraulique ($K_s$), a différentiel de hauteur de colonne ($dh$) et a différentiel de distance ($dx$), qui est exprimée comme suit :
| $$ |
et la relation pour a perméabilité du sol ($k_s$) avec a viscosité ($\eta$), qui est exprimée comme suit :
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
Nous pouvons dériver l'équation suivante :
| $ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$ |
ID:(45, 0)
Densité de flux et gradient de hauteur dans plus de dimensions
Équation
Étant donné que l'équation unidimensionnelle pour a densité de flux ($j_s$) est exprimée comme a conductivité hydraulique ($K_s$), a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) et a position de la colonne d'eau au sol ($x$) comme suit :
Il est possible de généraliser cette équation pour le cas d'un milieu homogène, ce qui donne une équation pour a densité de flux dans plus d'une dimension ($\vec{j}_s$) où A conductivité hydraulique ($K_s$) reste constant, comme suit :
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
ID:(999, 0)
Équation de flux en plus d'une dimension
Équation
Si nous généralisons l'équation en une dimension pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de le temps ($t$) et a position de la colonne d'eau au sol ($x$) avec a densité de flux ($j_s$) :
et remplaçons la dérivée partielle par une divergence, nous obtenons avec a densité de flux dans plus d'une dimension ($\vec{j}_s$) :
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
ID:(15111, 0)
Solution statique en une dimension
Équation
Nous pouvons étudier le cas stationnaire, ce qui implique que a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) divisé par a densité de flux ($j_s$) doit être constant et, en particulier, peut prendre des valeurs à un point spécifique représenté par a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) :
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Si, pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) divisé par a densité de flux ($j_s$), l'équation
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
dans le cas stationnaire se réduit à
$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$
ce qui correspond au produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) par a densité de flux ($j_s$) étant constant. Si vous avez des valeurs pour un point spécifique défini par a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$), alors vous avez :
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Note : L'équation différentielle est une équation différentielle ordinaire car elle dépend uniquement de la position $x$ et non plus du temps $t$.
ID:(15107, 0)
Solution statique en plus d'une dimension
Équation
L'équation pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) avec le temps ($t$) et a densité de flux dans plus d'une dimension ($\vec{j}_s$) est la suivante :
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
Dans le cas stationnaire et en utilisant l'équation pour a densité de flux dans plus d'une dimension ($\vec{j}_s$), lorsque nous développons les dérivées, nous obtenons :
| $ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $ |
L'équation pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) avec le temps ($t$) et a densité de flux dans plus d'une dimension ($\vec{j}_s$) est la suivante :
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
en relation avec
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
résulte après remplacement et développement de la dérivée
$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t}=-\vec{\nabla}\cdot(h\vec{j}_s)= K_s\vec{\nabla}\cdot(h\nabla h)=K_s(\vec{\nabla} h\cdot\vec{\nabla} h + h \nabla^2 h)$
ce qui, dans le cas stationnaire, se réduit à
| $ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $ |
ID:(4375, 0)