Utilizador:
Densidade de fluxo e condutividade hidráulica
Conceito 
La densidade de fluxo ($j_s$) pode ser expresso em termos de la condutividade hidráulica ($K_s$), no limite infinitesimal com la diferencial de altura da coluna ($dh$) e la diferencial de distância ($dx$), da seguinte forma:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
Isso significa que quanto mais íngreme for o gradiente ou quanto mais íngreme for o terreno, maior será o valor de la densidade de fluxo ($j_s$), como ilustrado no gráfico:
O gráfico mostra como as barras com valores iguais de diferencial de distância ($dx$) têm valores progressivamente menores de diferencial de altura da coluna ($dh$), resultando em um valor decrescente de densidade de fluxo ($j_s$). Como o volume do líquido é conservado, isso só é possível se houver outro fluxo que compense essa redução em densidade de fluxo ($j_s$). Isso poderia ser um fluxo perpendicular ao mostrado no gráfico, por exemplo, se as barras mais curtas forem mais largas em uma direção perpendicular ao gráfico.
Este problema leva às seguintes considerações:
A altura $h$ do líquido só pode ser calculada como resultado da solução de uma equação diferencial, uma vez que deve satisfazer a exigência de que o volume seja conservado em toda a área onde ocorre o fluxo.
Além disso, é importante ter em mente que:
O sinal negativo reflete o fato de que o fluxo sempre ocorre da zona de maior altitude para a zona de menor altitude. Se a inclinação for negativa, o sinal negativo resulta em um fluxo positivo (da esquerda para a direita), e, inversamente, se a inclinação for positiva, o fluxo é negativo (da direita para a esquerda).
ID:(930, 0)
Equação de fluxo em uma dimensão
Conceito
Se estudarmos o caso unidimensional, descrevendo o processo ao longo do eixo $x$, podemos observar como a altura da coluna $\Delta h$ varia durante um intervalo de tempo $\Delta t$. Neste caso, uma coluna com largura $\Delta x$ mudará seu volume por unidade de comprimento ao longo do tempo como $\Delta x \Delta h/\Delta t$. Por outro lado, a quantidade de líquido que entra ao longo da coluna em $x$ é $h(x) j_s(x)$, enquanto em $x+\Delta x$ sai como $h(x+\Delta x) j_s(x+\Delta x)$:
Portanto, a variação de la altura da coluna d'água no solo ($h$) ao longo do tempo é igual à variação do produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la densidade de fluxo ($j_s$) na posição:
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
As derivadas parciais são semelhantes às derivadas ordinárias, com a diferença de que são aplicadas a funções que dependem de mais de uma variável. Nesses casos, a derivada parcial, representada pelo símbolo $\partial$, lembra a derivada comum representada pela letra $d$, mas com a particularidade de que as variáveis não mencionadas no denominador são mantidas constantes.
ID:(2290, 0)
Fluir para um canal
Conceito
No caso do fluxo em direção a um canal, o sistema pode ser modelado de forma unidimensional, onde la altura da coluna d'água no solo ($h$) é uma função de la posição da coluna d'água no solo ($x$) que representa la densidade de fluxo ($j_s$) e satisfaz a condição
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
com o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) definindo o perfil da água no solo:
A chave dessa equação é que o produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la densidade de fluxo ($j_s$) deve ser sempre constante. Nesse sentido, se la altura da coluna d'água no solo ($h$) aumenta, la densidade de fluxo ($j_s$) diminui e vice-versa. Além disso, o sinal permanece o mesmo; portanto, o fluxo em direção ao canal, ou seja, o fluxo negativo, ocorrerá apenas quando o nível do lençol freático estiver mais alto do que o do canal. À medida que o líquido se aproxima do canal, o nível do lençol freático diminui, levando a um aumento na densidade do fluxo.
ID:(15104, 0)
Fluxo de um canal
Conceito
No caso em que o fluxo emerge do canal, ocorre uma situação em que o nível de la altura da coluna d'água no solo ($h$) deve diminuir à medida que nos afastamos do canal, garantindo a existência do gradiente de pressão que impulsiona o fluxo. O problema é que, se o fluxo se move rapidamente dentro do meio, a altura tenderá a zero e, como resultado, o fluxo se aproximará do infinito, o que não faz sentido.
Isso significa que não existe uma solução estacionária nesse cenário e a única solução é para o meio se encher até atingir a altura do canal, efetivamente tornando-se constante.
A questão é se existe uma situação estacionária não trivial que represente um cenário real e interessante. Um caso possível é quando o nível do meio diminui a ponto de ficar mais baixo do que a coluna antes que a solução diverja. Esse caso corresponde à situação em que o fluxo emerge na superfície e não há divergência na solução. Isso implicaria que um fluxo é gerado e sai para o exterior em um ponto específico, com o risco de enfraquecer a fundação e, assim, desestabilizar o meio, que age como uma represa.
ID:(4746, 0)
Flua para um poço
Conceito
No caso do fluxo de água subterrânea em direção a um poço, la altura da coluna d'água no solo ($h$) como uma função de o raio do centro do poço ($r$) com o raio do poço de água ($r_0$), o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) é representado por
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
o que define o perfil da água no solo:
ID:(4371, 0)
Modelo
Top
Parâmetros
Variáveis
Cálculos
para 
, depois, selecione a variável: 
para 
Cálculos
Cálculos
Variáve 
Dado Calcular 
Objetivo : Equação A ser usado 
Equações
$ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $
&j_s = - K_s * @GRAD( h , x )
$ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $
h * &D^2 h + &D h * &D h = 0
$ h j_s = h_0 j_{s0} $
h * j_s = h_0 * j_{s0}
$ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$
j_s = - k_s * dp /( eta * dx )
$ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $
k_s = eta * K_s /( rho_w * g )
$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$
K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta )
$ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$
k_s = r_0 ^2 * f ^3/(8* q_0 *(1 - f )^2)
$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$
D_t h = - &D * (h &j_s)
ID:(15224, 0)
Condutividade hidráulica do solo
Equação
O fluxo de líquido em um meio poroso, como o solo, é medido usando a variável la densidade de fluxo ($j_s$), que representa a velocidade média com que o líquido se move através dele. Ao modelar o solo e como o líquido passa por ele, descobrimos que esse processo é influenciado por fatores como la porosidade ($f$) e o raio de um grão genérico ($r_0$), que, quando maiores, facilitam o fluxo, enquanto la viscosidade ($\eta$) dificulta a passagem pelos capilares, reduzindo a velocidade de fluxo.
O modelo incorpora eventualmente o que chamaremos de la condutividade hidráulica ($K_s$), uma variável que depende das interações entre o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade ($f$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$), la viscosidade ($\eta$) e la porosidade própria genérica ($q_0$):
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
Uma vez que la densidade de fluxo ($j_s$) está relacionado com o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade ($f$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$), la viscosidade ($\eta$), la porosidade própria genérica ($q_0$), la diferença de altura ($\Delta h$) e o comprimento da amostra ($\Delta L$) através da equação:
| $ j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }$ |
Podemos definir um fator que chamaremos de la condutividade hidráulica ($K_s$) da seguinte forma:
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
Este fator abrange todos os elementos relacionados às propriedades do solo e do líquido que flui através dele.
la condutividade hidráulica ($K_s$) expressa a facilidade com que o líquido é conduzido através do meio poroso. Na verdade, la condutividade hidráulica ($K_s$) aumenta com la porosidade ($f$) e o raio de um grão genérico ($r_0$) e diminui com la porosidade própria genérica ($q_0$) e la viscosidade ($\eta$).
ID:(4739, 0)
Permeabilidade do solo
Equação
La condutividade hidráulica ($K_s$) representa a condução do líquido no meio. Uma parte de la condutividade hidráulica ($K_s$) é inerente ao próprio meio, enquanto outra parte contém as constantes que descrevem o comportamento do líquido. Portanto, faz sentido introduzir uma nova constante que seja específica do meio e não do líquido que flui através dele.
Assim, la permeabilidade do solo ($k_s$) está relacionado com o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade ($f$) e la porosidade própria genérica ($q_0$) por meio da seguinte definição:
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
Já que la condutividade hidráulica ($K_s$) está relacionado com o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade ($f$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$), la viscosidade ($\eta$) e la porosidade própria genérica ($q_0$) através da equação:
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
Podemos definir a parte que depende exclusivamente do solo como la permeabilidade do solo ($k_s$), expressando-a da seguinte forma:
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
ID:(10595, 0)
Permeabilidade e condutividade hidráulica
Equação
La permeabilidade do solo ($k_s$) pode ser calculado a partir de la condutividade hidráulica ($K_s$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$) e la viscosidade ($\eta$) usando a seguinte expressão:
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
La permeabilidade do solo ($k_s$) está relacionado com o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade ($f$) e la porosidade própria genérica ($q_0$), ele é igual a
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
Portanto, com a equação para la condutividade hidráulica ($K_s$), juntamente com la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$) e la viscosidade ($\eta$),
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
resulta na relação entre la permeabilidade do solo ($k_s$) e la condutividade hidráulica ($K_s$) como
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
Geralmente, as medições para caracterização do solo são realizadas utilizando um líquido específico, resultando em um valor de uma condutividade hidráulica ($K_s$). Com esse valor, é possível calcular la permeabilidade do solo ($k_s$) usando a equação mencionada acima.
ID:(34, 0)
Densidade de fluxo e gradiente de pressão
Equação
La densidade de fluxo ($j_s$) pode ser expresso em função de la altura da coluna d'água no solo ($h$) ou, com base em la pressão da coluna de água ($p$) gerado pela coluna de líquido. Usando a definição de la permeabilidade do solo ($k_s$), obtemos a seguinte expressão para la viscosidade ($\eta$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$):
| $ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$ |
La diferença de pressão ($\Delta p$) em relação a la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$) e la diferença de altura ($\Delta h$) é calculado de acordo com a seguinte equação:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
no limite infinitesimal em que la diferença de pressão ($\Delta p$) é igual a la diferencial de pressão ($dp$), denotado como:
$\Delta p \rightarrow dp$
e em que la diferença de altura ($\Delta h$) é igual a la diferencial de altura da coluna ($dh$), denotado como:
$\Delta h \rightarrow dh$
Usando a relação de la densidade de fluxo ($j_s$) com la condutividade hidráulica ($K_s$), la diferencial de altura da coluna ($dh$) e la diferencial de distância ($dx$), que é expressa como:
| $$ |
e a relação para la permeabilidade do solo ($k_s$) com la viscosidade ($\eta$), que é expressa como:
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
Podemos derivar a seguinte equação:
| $ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$ |
ID:(45, 0)
Densidade de fluxo e gradiente de altura em mais dimensões
Equação
Dado que a equação unidimensional para la densidade de fluxo ($j_s$) é expressa como la condutividade hidráulica ($K_s$), la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$) da seguinte forma:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
É possível generalizar esta equação para o caso de um meio homogêneo, resultando em uma equação para la densidade de fluxo em mais de uma dimensão ($\vec{j}_s$) onde la condutividade hidráulica ($K_s$) permanece constante, da seguinte maneira:
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
ID:(999, 0)
Equação de fluxo em mais de uma dimensão
Equação
Se generalizarmos a equação em uma dimensão para la altura da coluna d'água no solo ($h$) em função de o tempo ($t$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$) com la densidade de fluxo ($j_s$):
e substituirmos a derivada parcial por uma divergência, obtemos com la densidade de fluxo em mais de uma dimensão ($\vec{j}_s$):
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
ID:(15111, 0)
Solução estática em uma dimensão
Equação
Podemos estudar o caso estacionário, o que implica que la altura da coluna d'água no solo ($h$) dividido por la densidade de fluxo ($j_s$) deve ser constante e, em particular, pode assumir valores em um ponto específico representado por la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$):
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Se, para la altura da coluna d'água no solo ($h$) dividido por la densidade de fluxo ($j_s$), a equação
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
no caso estacionário se reduz a
$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$
o que corresponde ao produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) por la densidade de fluxo ($j_s$) sendo constante. Se você tiver valores para um ponto específico definido por la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$), então você tem:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Nota: A equação diferencial é uma equação diferencial ordinária porque depende apenas da posição $x$ e não mais do tempo $t$.
ID:(15107, 0)
Solução estática em mais de uma dimensão
Equação
A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$) com o tempo ($t$) e la densidade de fluxo em mais de uma dimensão ($\vec{j}_s$) é a seguinte:
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
No caso estacionário e usando a equação para la densidade de fluxo em mais de uma dimensão ($\vec{j}_s$), ao expandir as derivadas, obtemos:
| $ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $ |
A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$) com o tempo ($t$) e la densidade de fluxo em mais de uma dimensão ($\vec{j}_s$) é:
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
em relação a
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
resulta após substituir e desenvolver a derivada
$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t}=-\vec{\nabla}\cdot(h\vec{j}_s)= K_s\vec{\nabla}\cdot(h\nabla h)=K_s(\vec{\nabla} h\cdot\vec{\nabla} h + h \nabla^2 h)$
que, no caso estacionário, se reduz a
| $ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $ |
ID:(4375, 0)