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Durch die Porosität des Bodens kann Regen- oder Bewässerungswasser in den Boden eindringen und die Napa erreichen. Daher müssen wir untersuchen, wie es basierend auf unserem geometrischen Modell modelliert werden kann, wenn sich das Wasser bewegt.
ID:(367, 0)
Strömungsdichte und hydraulische Leitfähigkeit
Konzept
Die Flussdichte ($j_s$) kann in Bezug auf die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$) im infinitesimalen Grenzwert mit die Säulenhöhenunterschied ($dh$) und die Distanzdifferenz ($dx$) wie folgt ausgedrückt werden:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
Dies bedeutet, dass je steiler der Gradient oder je steiler das Gelände ist, desto größer wird die Flussdichte ($j_s$) sein, wie im Diagramm dargestellt:
None
Das Diagramm zeigt, wie Balken mit gleichen Werten von Distanzdifferenz ($dx$) zunehmend kleinere Werte von Säulenhöhenunterschied ($dh$) haben, was zu einem abnehmenden Wert von Flussdichte ($j_s$) führt. Da das Volumen der Flüssigkeit erhalten bleibt, ist dies nur möglich, wenn ein anderer Fluss diese Reduzierung von Flussdichte ($j_s$) kompensiert. Dies könnte ein Fluss sein, der senkrecht zu dem im Diagramm gezeigten Fluss verläuft, zum Beispiel wenn die kürzeren Balken in einer Richtung senkrecht zum Diagramm breiter sind.
Dieses Problem führt zu Folgendem:
Die Höhe $h$ der Flüssigkeit kann nur als Ergebnis der Lösung einer Differentialgleichung berechnet werden, da sie die Anforderung erfüllen muss, dass das Volumen in dem gesamten Bereich, in dem der Fluss stattfindet, erhalten bleibt.
Darüber hinaus ist es wichtig zu beachten, dass:
Das negative Vorzeichen spiegelt die Tatsache wider, dass der Fluss immer von der höheren zur niedrigeren Höhenzone erfolgt. Wenn die Neigung negativ ist, führt das negative Vorzeichen zu einem positiven Fluss (von links nach rechts), und umgekehrt, wenn die Neigung positiv ist, ist der Fluss negativ (von rechts nach links).
ID:(930, 0)
Strömungsgleichung in einer Dimension
Konzept
Wenn wir den eindimensionalen Fall betrachten und den Prozess entlang der $x$-Achse beschreiben, können wir beobachten, wie sich die Höhe der Säule $\Delta h$ über ein Zeitintervall $\Delta t$ ändert. In diesem Fall ändert eine Säule mit der Breite $\Delta x$ ihr Volumen pro Einheit Länge im Laufe der Zeit um $\Delta x \Delta h/\Delta t$. Andererseits tritt die Menge an Flüssigkeit, die in der Säule bei $x$ eintritt, als $h(x) j_s(x)$ auf, während sie bei $x+\Delta x$ als $h(x+\Delta x) j_s(x+\Delta x)$ austritt:
None
Daher entspricht die Änderung von die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) im Laufe der Zeit der Änderung des Produkts von die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) und die Flussdichte ($j_s$) an der Position:
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
Partielle Ableitungen ähneln gewöhnlichen Ableitungen, mit dem Unterschied, dass sie auf Funktionen angewendet werden, die von mehr als einer Variablen abhängen. In solchen Fällen erinnert uns die partielle Ableitung, die durch das Symbol $\partial$ dargestellt wird, an die gewöhnliche Ableitung, die mit dem Buchstaben $d$ bezeichnet wird, mit dem Unterschied, dass die in den Nenner nicht erwähnten Variablen konstant gehalten werden.
ID:(2290, 0)
In einen Kanal fließen
Konzept
Im Fall des Flusses in Richtung eines Kanals kann das System eindimensional modelliert werden, wobei die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) eine Funktion von die Position der Wassersäule am Boden ($x$) ist, die die Flussdichte ($j_s$) repräsentiert und die Bedingung erfüllt
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
mit der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) und die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$), die das Profil des Wassers im Boden definieren:
None
Der Schlüssel zu dieser Gleichung besteht darin, dass das Produkt aus die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) und die Flussdichte ($j_s$) immer konstant sein muss. In diesem Sinne, wenn die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) steigt, sinkt die Flussdichte ($j_s$) und umgekehrt. Das Vorzeichen bleibt dabei immer gleich; daher wird der Fluss in Richtung des Kanals, d.h., der negative Fluss, nur auftreten, wenn der Grundwasserspiegel höher ist als der des Kanals. Wenn die Flüssigkeit dem Kanal näher kommt, sinkt der Grundwasserspiegel, was zu einer Zunahme der Flussdichte führt.
ID:(15104, 0)
Fluss aus einem Kanal
Konzept
Im Fall, dass der Fluss aus dem Kanal aufsteigt, tritt die Situation auf, in der das Niveau von die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) abnehmen muss, wenn wir uns vom Kanal entfernen, um den Druckgradienten aufrechtzuerhalten, der den Fluss erzeugt. Das Problem ist, dass, wenn der Fluss sich schnell im Medium bewegt, die Höhe gegen null tendieren wird und folglich der Fluss gegen Unendlich streben wird, was keinen Sinn ergibt.
Das bedeutet, dass es in solch einer Situation keine stationäre Lösung gibt, und die einzige Lösung besteht darin, dass das Medium sich füllt, bis es die Höhe des Kanals erreicht und somit effektiv konstant wird.
Die Frage ist, ob es eine nicht-triviale stationäre Situation gibt, die eine reale und interessante Situation darstellt. Ein möglicher Fall ist, wenn das Niveau des Mediums so weit abnimmt, dass es niedriger wird als die Säule, bevor die Lösung divergiert. Dieser Fall entspricht der Situation, in der der Fluss an der Oberfläche auftritt und es keine Divergenz in der Lösung gibt. Dies würde bedeuten, dass ein Fluss erzeugt wird, der an einer bestimmten Stelle nach außen strömt, mit dem Risiko, das Fundament zu schwächen und damit das Medium zu destabilisieren, das als Damm fungiert.
ID:(4746, 0)
In einen Brunnen fließen
Konzept
Im Fall des Grundwasserflusses zu einem Brunnen wird die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) als Funktion von der Radius von der Mitte des Bohrlochs ($r$) mit der Brunnenradius ($r_0$), der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$) und die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) durch
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
repräsentiert, was das Wasserprofil im Boden definiert:
ID:(4371, 0)
Modell
Top
Parameter
Variablen
Berechnungen
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $
&j_s = - K_s * @GRAD( h , x )
$ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $
h * &D^2 h + &D h * &D h = 0
$ h j_s = h_0 j_{s0} $
h * j_s = h_0 * j_{s0}
$ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$
j_s = - k_s * dp /( eta * dx )
$ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $
k_s = eta * K_s /( rho_w * g )
$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$
K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta )
$ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$
k_s = r_0 ^2 * f ^3/(8* q_0 *(1 - f )^2)
$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$
D_t h = - &D * (h &j_s)
ID:(15224, 0)
Hydraulische Leitfähigkeit des Bodens
Gleichung
Der Fluss von Flüssigkeit in einem porösen Medium wie Boden wird mithilfe der Variable die Flussdichte ($j_s$) gemessen, die die Durchschnittsgeschwindigkeit repräsentiert, mit der sich die Flüssigkeit durch das Medium bewegt. Bei der Modellierung des Bodens und wie die Flüssigkeit durch ihn hindurchfließt, stellt sich heraus, dass dieser Prozess von Faktoren wie die Porosität ($f$) und der Radius einer generischen Korns ($r_0$) beeinflusst wird, die, wenn sie größer sind, den Fluss erleichtern, während die Viskosität ($\eta$) den Durchgang durch Kapillaren behindert und die Fließgeschwindigkeit reduziert.
Das Modell integriert schließlich, was wir als die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$) bezeichnen werden, eine Variable, die von den Wechselwirkungen zwischen der Radius einer generischen Korns ($r_0$), die Porosität ($f$), die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$), die Viskosität ($\eta$) und die Generische eigene Porosität ($q_0$) abhängt:
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
Da die Flussdichte ($j_s$) durch die Gleichung:
| $ j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }$ |
mit der Radius einer generischen Korns ($r_0$), die Porosität ($f$), die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$), die Viskosität ($\eta$), die Generische eigene Porosität ($q_0$), die Höhendifferenz ($\Delta h$) und der Probenlänge ($\Delta L$) in Beziehung steht, können wir einen Faktor definieren, den wir die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$) nennen, wie folgt:
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
Dieser Faktor umfasst alle Elemente, die mit den Eigenschaften des Bodens und der Flüssigkeit, die durch ihn fließt, zusammenhängen.
die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$) drückt aus, wie leicht die Flüssigkeit durch das poröse Medium geleitet wird. Tatsächlich erhöht sich die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$) mit die Porosität ($f$) und der Radius einer generischen Korns ($r_0$) und verringert sich mit die Generische eigene Porosität ($q_0$) und die Viskosität ($\eta$).
ID:(4739, 0)
Bodendurchlässigkeit
Gleichung
Die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$) repräsentiert, wie sich die Flüssigkeit im Medium verhält. Ein Teil von die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$) ist inhärent den Eigenschaften des Mediums selbst, während ein anderer Teil Konstanten enthält, die das Verhalten der Flüssigkeit beschreiben. Daher macht es Sinn, eine neue Konstante einzuführen, die spezifisch für das Medium ist und nicht für die fließende Flüssigkeit.
Daher steht die Bodendurchlässigkeit ($k_s$) in Beziehung zu der Radius einer generischen Korns ($r_0$), die Porosität ($f$) und die Generische eigene Porosität ($q_0$) durch folgende Definition:
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
Da die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$) durch die Gleichung:
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
mit der Radius einer generischen Korns ($r_0$), die Porosität ($f$), die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$), die Viskosität ($\eta$) und die Generische eigene Porosität ($q_0$) verknüpft ist, können wir den Teil, der ausschließlich vom Boden abhängt, als die Bodendurchlässigkeit ($k_s$) definieren und wie folgt ausdrücken:
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
ID:(10595, 0)
Permeabilität und hydraulische Leitfähigkeit
Gleichung
Die Bodendurchlässigkeit ($k_s$) kann aus die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$), die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Viskosität ($\eta$) mithilfe des folgenden Ausdrucks berechnet werden:
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
Die Bodendurchlässigkeit ($k_s$) in Bezug auf der Radius einer generischen Korns ($r_0$), die Porosität ($f$) und die Generische eigene Porosität ($q_0$) steht, ist es gleich
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
Daher ergibt sich mit der Gleichung für die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$), zusammen mit die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Viskosität ($\eta$),
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
die Beziehung zwischen die Bodendurchlässigkeit ($k_s$) und die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$) als
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
In der Regel werden Bodencharakterisierungsmessungen mit einer bestimmten Flüssigkeit durchgeführt, was zu einem spezifischen Wert von eine Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$) führt. Mit diesem Wert kann dann die Bodendurchlässigkeit ($k_s$) mithilfe der oben genannten Gleichung berechnet werden.
ID:(34, 0)
Strömungsdichte und Druckgradient
Gleichung
Die Flussdichte ($j_s$) kann in Abhängigkeit von die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) oder basierend auf die Druck der Wassersäule ($p$), das von der Flüssigkeitssäule erzeugt wird, ausgedrückt werden. Wenn wir die Definition von die Bodendurchlässigkeit ($k_s$), erhalten wir die folgende Ausdrucksformel für die Viskosität ($\eta$) und die Position der Wassersäule am Boden ($x$):
| $ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$ |
Die Druckunterschied ($\Delta p$) in Bezug auf die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhendifferenz ($\Delta h$) wird gemäß folgender Gleichung berechnet:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
im infinitesimalen Grenzwert, in dem die Druckunterschied ($\Delta p$) gleich die Druckdifferenzial ($dp$) ist, gekennzeichnet als:
$\Delta p \rightarrow dp$
und in dem die Höhendifferenz ($\Delta h$) gleich die Säulenhöhenunterschied ($dh$) ist, gekennzeichnet als:
$\Delta h \rightarrow dh$
Unter Verwendung der Beziehung von die Flussdichte ($j_s$) zu die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$), die Säulenhöhenunterschied ($dh$) und die Distanzdifferenz ($dx$), die wie folgt ausgedrückt wird:
| $$ |
und der Beziehung für die Bodendurchlässigkeit ($k_s$) zu die Viskosität ($\eta$), die wie folgt ausgedrückt wird:
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
können wir die folgende Gleichung ableiten:
| $ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$ |
ID:(45, 0)
Strömungsdichte und Höhengradient in mehr Dimensionen
Gleichung
Angesichts der Tatsache, dass die eindimensionale Gleichung für die Flussdichte ($j_s$) wie folgt ausgedrückt wird: die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$), die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) und die Position der Wassersäule am Boden ($x$):
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
Ist es möglich, diese Gleichung für den Fall eines homogenen Mediums zu verallgemeinern, wodurch sich eine Gleichung für die Strömungsdichte in mehr als einer Dimension ($\vec{j}_s$) ergibt, bei der die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$) konstant bleibt, wie folgt:
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
ID:(999, 0)
Strömungsgleichung in mehr als einer Dimension
Gleichung
Wenn wir die Gleichung in einer Dimension für die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) als Funktion von der Zeit ($t$) und die Position der Wassersäule am Boden ($x$) mit die Flussdichte ($j_s$) verallgemeinern:
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
und die partielle Ableitung durch eine Divergenz ersetzen, erhalten wir mit die Strömungsdichte in mehr als einer Dimension ($\vec{j}_s$):
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
ID:(15111, 0)
Statische Lösung in einer Dimension
Gleichung
können wir den stationären Fall untersuchen, was bedeutet, dass die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) durch die Flussdichte ($j_s$) konstant sein muss und insbesondere Werte an einem bestimmten Punkt annehmen kann, der durch die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) und der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) dargestellt wird:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Wenn für die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) geteilt durch die Flussdichte ($j_s$) die Gleichung
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
im stationären Fall auf
$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$
reduziert wird, was dem konstanten Produkt von die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) und die Flussdichte ($j_s$) entspricht. Wenn Sie Werte für einen bestimmten Punkt haben, der durch die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) und der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) definiert ist, dann haben Sie:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Hinweis: Die Differentialgleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, da sie ausschließlich von der Position $x$ abhängt und nicht mehr von der Zeit $t$.
ID:(15107, 0)
Statische Lösung in mehr als einer Dimension
Gleichung
Die Gleichung für die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) mit der Zeit ($t$) und die Strömungsdichte in mehr als einer Dimension ($\vec{j}_s$) lautet:
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
Im stationären Fall und unter Verwendung der Gleichung für die Strömungsdichte in mehr als einer Dimension ($\vec{j}_s$), wenn wir die Ableitungen entwickeln, erhalten wir:
| $ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $ |
Die Gleichung für die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) mit der Zeit ($t$) und die Strömungsdichte in mehr als einer Dimension ($\vec{j}_s$) lautet:
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
in Bezug auf
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
ergibt sich nach dem Ersetzen und Entwickeln der Ableitung
$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t}=-\vec{\nabla}\cdot(h\vec{j}_s)= K_s\vec{\nabla}\cdot(h\nabla h)=K_s(\vec{\nabla} h\cdot\vec{\nabla} h + h \nabla^2 h)$
was im stationären Fall auf
| $ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $ |
hinausläuft.
ID:(4375, 0)