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Fluxo Terrestre

Storyboard

No caso do solo, é possível modelá-lo assumindo que ele contém múltiplos poros que formam pequenos capilares que o atravessam. Com base nisso, podem ser aplicadas as equações para o fluxo laminar através de tubos e calcular as resistências hidráulicas das redes de capilares, que dependem da porosidade e, portanto, da proporção dos diferentes componentes.

>Modelo

ID:(370, 0)



Mecanismos

Iframe

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Código
Conceito

Mecanismos

ID:(15203, 0)



Fluir pelo chão

Conceito

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Os poros individuais se reúnem para formar cadeias que criam capilares pelos quais a água flui.

Para modelar esse fenômeno, é necessário estimar tanto o raio desses capilares quanto o seu comprimento, levando em consideração que geralmente não são retos.

ID:(937, 0)



Razão de volume de porosidade

Conceito

>Top


ID:(2284, 0)



Seção de poros de amostra

Conceito

>Top


La seção de poros (S) inclui la seção de poros (S_p) gerado por o número de capilares (N_p):

ID:(2285, 0)



Relação entre número de grãos e poros

Conceito

>Top


Se observarmos uma secção transversal do solo, notaremos que os capilares passam pelos espaços entre os grãos. Ao fazê-lo, o número deles é semelhante ao número de grãos presentes, por isso podemos assumir que o número de capilares (N_p) é semelhante ao número de grãos presentes na secção:

ID:(2283, 0)



Própria porosidade e capilares

Conceito

>Top


ID:(2291, 0)



Fluir através de poros individuais

Conceito

>Top


O fluxo total é calculado como a soma dos fluxos individuais através dos diferentes poros:



Se assumirmos que todos os poros são idênticos, podemos obter o fluxo total (J_{Vt}) multiplicando o fluxo de volume (J_V) individualmente por o número de capilares (N_p).

ID:(2286, 0)



Condutividade hidráulica do solo

Equação

>Top, >Modelo


O fluxo de líquido em um meio poroso, como o solo, é medido usando a variável la densidade de fluxo (j_s), que representa a velocidade média com que o líquido se move através dele. Ao modelar o solo e como o líquido passa por ele, descobrimos que esse processo é influenciado por fatores como la porosidade (f) e o raio de um grão genérico (r_0), que, quando maiores, facilitam o fluxo, enquanto la viscosidade (\eta) dificulta a passagem pelos capilares, reduzindo a velocidade de fluxo.

O modelo incorpora eventualmente o que chamaremos de la condutividade hidráulica (K_s), uma variável que depende das interações entre o raio de um grão genérico (r_0), la porosidade (f), la densidade líquida (\rho_w), la aceleração gravitacional (g), la viscosidade (\eta) e la porosidade própria genérica (q_0):

K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }

R = sqrt( f /(1- f ))* r_0 f = S_p / S K_s = r_a ^2* f ^3* rho_w * g * gamma /(8* q_a *(1- f )^2* eta ) l = q_0 *(1 - f )* DL / f S_p = N_p * pi * R ^2 N_p = f * S /( pi * R ^2) J_{Vt} = N_p * J_V J_Vt = - S * r_0 ^2* f ^3 * Dp /(8* eta * q_0 *(1- f )^2* DL ) j_s = - r_0 ^2* rho_w * g * f ^3 * Dh /(8* q_0 * eta * DL ) K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta ) R_h = 8* eta * q_0 * (1- f )^2* DL /( r_0 ^2* f ^3 * S )ln gamma = s_a * g_a + s_i * g_i + s_c * g_c g = r_0 ^2 * q_a /( r_a ^2* q_0 )DhLrho_wDp_2J_VtJ_VtJ_VJ_VtN_ppifRS_pS_tS_1S_2Seta_w

Uma vez que la densidade de fluxo (j_s) está relacionado com o raio de um grão genérico (r_0), la porosidade (f), la densidade líquida (\rho_w), la aceleração gravitacional (g), la viscosidade (\eta), la porosidade própria genérica (q_0), la diferença de altura (\Delta h) e o comprimento da amostra (\Delta L) através da equação:

j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }



Podemos definir um fator que chamaremos de la condutividade hidráulica (K_s) da seguinte forma:

K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }

Este fator abrange todos os elementos relacionados às propriedades do solo e do líquido que flui através dele.



la condutividade hidráulica (K_s) expressa a facilidade com que o líquido é conduzido através do meio poroso. Na verdade, la condutividade hidráulica (K_s) aumenta com la porosidade (f) e o raio de um grão genérico (r_0) e diminui com la porosidade própria genérica (q_0) e la viscosidade (\eta).

ID:(4739, 0)



Condutividade hidráulica para diferentes solos

Imagem

>Top


Se examinarmos a literatura, podemos encontrar estimativas da condutividade hidráulica para diferentes texturas de solo, que são apresentadas aqui em função de seu expoente (ou seja, -7 é indicado para uma condutividade hidráulica de 1E-7 m/s):



Os resultados são resumidos na seguinte tabela:

Textura g_a [%] g_i [%] g_c [%] f [%] K [m/s]
Argila 0-45 0-40 55-100 40-50 1E-9 - 1E-8 [1]
Arenoso 23-52 28-50 8-27 40-50 1E-7 - 1E-5 [2]
Areia 85-100 0-15 0-10 25-35 1E-4 - 1E-2 [3]
Silte 0-20 80-100 0-13 35-45 1E-7 - 1E-5 [4]
Silte Argiloso 0-20 40-60 40-60 40-50 1E-9 - 1E-8 [1]
Areia Argilosa 45-65 0-20 35-55 35-45 1E-7 - 1E-5 [5]
Areia Argilosa 20-45 15-53 28-40 40-50 1E-7 - 1E-5 [2]
Silte Argiloso 0-20 40-73 28-40 40-50 1E-8 - 1E-6 [6]
Areia Argilosa Argilosa 45-80 0-33 20-35 35-45 1E-6 - 1E-4 [1]
Silte Argiloso 0-50 50-88 0-28 35-45 1E-7 - 1E-5 [4]
Areia Silto 43-85 0-50 0-20 30-40 1E-5 - 1E-3 [2]
Areia Silto Argilosa 70-90 0-30 0-15 25-35 1E-4 - 1E-2 [4]

Esses dados foram obtidos da seguinte literatura, que é referenciada na coluna de condutividade hidráulica:

[1] "Princípios e Práticas de Engenharia Geotécnica" de Donald P. Coduto et al., Prentice Hall (1999)

[2] "Mecânica dos Solos e Fundações" de Muni Budhu, John Wiley & Sons. (2011)

[3] "Introdução à Engenharia Ambiental" de Mackenzie Davis e David Cornwell, McGraw Hill (2022)

[4] "Princípios de Engenharia Geotécnica" de Braja M. Das, CL-Engineering (2009)

[5] "Mecânica dos Solos na Prática da Engenharia" de Karl Terzaghi e Ralph B. Peck, John Wiley & Sons. (1996)

[6] "Mecânica dos Solos: Conceitos e Aplicações" de William Powrie, CRC Press (2013)

ID:(4740, 0)



Modelo

Top

>Top



Parâmetros

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS
\rho_w
rho_w
Densidade líquida
kg/m^3
\pi
pi
Pi
rad
\eta_w
eta_w
Viscosidade da água
Pa s

Variáveis

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS
\Delta h
Dh
Altura da coluna líquida
m
L
L
Comprimento capilar
m
\Delta p_2
Dp_2
Diferença de pressão 2
Pa
J_{Vt}
J_Vt
Fluir através da amostra
m^3/s
J_{Vt}
J_Vt
Fluxo de acordo com a lei de Hagen Poiseuille para solo
m^3/s
J_V
J_V
Fluxo Hagen-Poiseuille
m^3/s
J_{Vt}
J_Vt
Fluxo total
m^3/s
N_p
N_p
Número de capilares
-
f
f
Porosidade
-
R
R
Raio de porosidade
m
S_p
S_p
Seção de poros
m^2
S_t
S_t
Seção de solo
m^2
S_1
S_1
Seção no ponto 1
m^2
S_2
S_2
Seção no ponto 2
m^2
S
S
Seção ou superfície
m^2

Cálculos


Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para
f = S_p / S g = r_0 ^2 * q_a /( r_a ^2* q_0 ) j_s = - r_0 ^2* rho_w * g * f ^3 * Dh /(8* q_0 * eta * DL ) J_Vt = - S * r_0 ^2* f ^3 * Dp /(8* eta * q_0 *(1- f )^2* DL ) J_{Vt} = N_p * J_V K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta ) l = q_0 *(1 - f )* DL / f N_p = f * S /( pi * R ^2) R = sqrt( f /(1- f ))* r_0 R_h = 8* eta * q_0 * (1- f )^2* DL /( r_0 ^2* f ^3 * S ) S_p = N_p * pi * R ^2K_s = r_a ^2* f ^3* rho_w * g * gamma /(8* q_a *(1- f )^2* eta )\ln \gamma = s_a * g_a + s_i * g_i + s_c * g_c DhLrho_wDp_2J_VtJ_VtJ_VJ_VtN_ppifRS_pS_tS_1S_2Seta_w

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado
f = S_p / S g = r_0 ^2 * q_a /( r_a ^2* q_0 ) j_s = - r_0 ^2* rho_w * g * f ^3 * Dh /(8* q_0 * eta * DL ) J_Vt = - S * r_0 ^2* f ^3 * Dp /(8* eta * q_0 *(1- f )^2* DL ) J_{Vt} = N_p * J_V K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta ) l = q_0 *(1 - f )* DL / f N_p = f * S /( pi * R ^2) R = sqrt( f /(1- f ))* r_0 R_h = 8* eta * q_0 * (1- f )^2* DL /( r_0 ^2* f ^3 * S ) S_p = N_p * pi * R ^2K_s = r_a ^2* f ^3* rho_w * g * gamma /(8* q_a *(1- f )^2* eta )\ln \gamma = s_a * g_a + s_i * g_i + s_c * g_c DhLrho_wDp_2J_VtJ_VtJ_VJ_VtN_ppifRS_pS_tS_1S_2Seta_w




Equações

#
Equação

f = \displaystyle\frac{ S_p }{ S }

f = S_p / S


\gamma = \displaystyle\frac{ r_0 ^2}{ r_a ^2}\displaystyle\frac{ q_a }{ q_0 }

g = r_0 ^2 * q_a /( r_a ^2* q_0 )


j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }

j_s = - r_0 ^2* rho_w * g * f ^3 * Dh /(8* q_0 * eta * DL )


J_{Vt} =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2}{8 \eta q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3}{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ S }{ \Delta L } \Delta p

J_Vt = - S * r_0 ^2* f ^3 * Dp /(8* eta * q_0 *(1- f )^2* DL )


J_{Vt} = N_p J_V

J_{Vt} = N_p * J_V


K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }

K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta )


l = q_0 \displaystyle\frac{(1- f )}{ f } \Delta L

l = q_0 *(1 - f )* DL / f


N_p =\displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2}

N_p = f * S /( pi * R ^2)


R = \sqrt{\displaystyle\frac{ f }{1- f }} r_0

R = sqrt( f /(1- f ))* r_0


R_h = \displaystyle\frac{8 \eta q_0 }{ r_0 ^2}\displaystyle\frac{(1- f )^2 }{f ^3}\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }

R_h = 8* eta * q_0 * (1- f )^2* DL /( r_0 ^2* f ^3 * S )


S_p = N_p \pi R ^2

S_p = N_p * pi * R ^2


K_s = \displaystyle\frac{ r_a ^2}{8 q_a }\displaystyle\frac{ f ^3}{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta } \gamma

K_s = r_a ^2* f ^3* rho_w * g * gamma /(8* q_a *(1- f )^2* eta )


\ln \gamma = s_a g_a + s_i g_i + s_c g_c

\ln \gamma = s_a * g_a + s_i * g_i + s_c * g_c

ID:(15222, 0)



Porosidade baseada na seção

Equação

>Top, >Modelo


La porosidade (f) pode ser calculado a partir de la seção de poros (S_p) e la seção de poros (S) usando a seguinte fórmula:

f = \displaystyle\frac{ S_p }{ S }

R = sqrt( f /(1- f ))* r_0 f = S_p / S K_s = r_a ^2* f ^3* rho_w * g * gamma /(8* q_a *(1- f )^2* eta ) l = q_0 *(1 - f )* DL / f S_p = N_p * pi * R ^2 N_p = f * S /( pi * R ^2) J_{Vt} = N_p * J_V J_Vt = - S * r_0 ^2* f ^3 * Dp /(8* eta * q_0 *(1- f )^2* DL ) j_s = - r_0 ^2* rho_w * g * f ^3 * Dh /(8* q_0 * eta * DL ) K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta ) R_h = 8* eta * q_0 * (1- f )^2* DL /( r_0 ^2* f ^3 * S )ln gamma = s_a * g_a + s_i * g_i + s_c * g_c g = r_0 ^2 * q_a /( r_a ^2* q_0 )DhLrho_wDp_2J_VtJ_VtJ_VJ_VtN_ppifRS_pS_tS_1S_2Seta_w

Com a altura la distância infinitesimal (ds), o volume de la seção de poros (S) é

S ds



e o volume dos poros com la seção de poros (S_p) é

S_p ds



Portanto, la porosidade (f) é calculado como

f = \displaystyle\frac{S_p ds}{S ds} = \displaystyle\frac{S_p}{S}



resultando na seguinte equação:

f = \displaystyle\frac{ S_p }{ S }

ID:(938, 0)



Seção de poros

Equação

>Top, >Modelo


Uma vez que a área de seção transversal de um poro de raio do tubo (R) é \pi R^2 e o número de capilares (N_p) está relacionado a isso, podemos calcular la seção de poros (S_p) da seguinte forma:

S_p = N_p \pi R ^2

N_p
Número de capilares
-
6039
\pi
Pi
3.1415927
rad
5057
R
Raio de porosidade
m
6021
S_p
Seção de poros
m^2
6040
R = sqrt( f /(1- f ))* r_0 f = S_p / S K_s = r_a ^2* f ^3* rho_w * g * gamma /(8* q_a *(1- f )^2* eta ) l = q_0 *(1 - f )* DL / f S_p = N_p * pi * R ^2 N_p = f * S /( pi * R ^2) J_{Vt} = N_p * J_V J_Vt = - S * r_0 ^2* f ^3 * Dp /(8* eta * q_0 *(1- f )^2* DL ) j_s = - r_0 ^2* rho_w * g * f ^3 * Dh /(8* q_0 * eta * DL ) K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta ) R_h = 8* eta * q_0 * (1- f )^2* DL /( r_0 ^2* f ^3 * S )ln gamma = s_a * g_a + s_i * g_i + s_c * g_c g = r_0 ^2 * q_a /( r_a ^2* q_0 )DhLrho_wDp_2J_VtJ_VtJ_VJ_VtN_ppifRS_pS_tS_1S_2Seta_w

ID:(4362, 0)



Número de poros

Equação

>Top, >Modelo


Com la porosidade (f) e la seção de poros (S), obtemos la seção de poros (S_p), que quando dividido pela seção calculada do capilar de o raio do tubo (R), resulta em o número de capilares (N_p), conforme segue:

N_p =\displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2}

N_p
Número de capilares
-
6039
\pi
Pi
3.1415927
rad
5057
f
Porosidade
-
5805
R
Raio de porosidade
m
6021
S_t
Seção de solo
m^2
6041
R = sqrt( f /(1- f ))* r_0 f = S_p / S K_s = r_a ^2* f ^3* rho_w * g * gamma /(8* q_a *(1- f )^2* eta ) l = q_0 *(1 - f )* DL / f S_p = N_p * pi * R ^2 N_p = f * S /( pi * R ^2) J_{Vt} = N_p * J_V J_Vt = - S * r_0 ^2* f ^3 * Dp /(8* eta * q_0 *(1- f )^2* DL ) j_s = - r_0 ^2* rho_w * g * f ^3 * Dh /(8* q_0 * eta * DL ) K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta ) R_h = 8* eta * q_0 * (1- f )^2* DL /( r_0 ^2* f ^3 * S )ln gamma = s_a * g_a + s_i * g_i + s_c * g_c g = r_0 ^2 * q_a /( r_a ^2* q_0 )DhLrho_wDp_2J_VtJ_VtJ_VJ_VtN_ppifRS_pS_tS_1S_2Seta_w

Como la porosidade (f), calculado com la seção de poros (S_p) e la seção de poros (S) usando

f = \displaystyle\frac{ S_p }{ S }



juntamente com a equação para o cálculo de la seção de poros (S_p) com base em o número de capilares (N_p) e o raio do tubo (R) por meio de

S_p = N_p \pi R ^2



resulta em

f = \displaystyle\frac{N_p\pi R^2}{S}



pode ser resolvido para o número de capilares (N_p), resultando em

N_p =\displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2}

ID:(4363, 0)



Raio dos poros

Equação

>Top, >Modelo


Se assumirmos que o número de capilares é igual ao número de grãos visíveis em uma seção, podemos demonstrar que para um raio de grão de o raio de um grão genérico (r_0) e uma porosidade (f), o raio do tubo (R) será igual a:

R = \sqrt{\displaystyle\frac{ f }{1- f }} r_0

R = sqrt( f /(1- f ))* r_0 f = S_p / S K_s = r_a ^2* f ^3* rho_w * g * gamma /(8* q_a *(1- f )^2* eta ) l = q_0 *(1 - f )* DL / f S_p = N_p * pi * R ^2 N_p = f * S /( pi * R ^2) J_{Vt} = N_p * J_V J_Vt = - S * r_0 ^2* f ^3 * Dp /(8* eta * q_0 *(1- f )^2* DL ) j_s = - r_0 ^2* rho_w * g * f ^3 * Dh /(8* q_0 * eta * DL ) K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta ) R_h = 8* eta * q_0 * (1- f )^2* DL /( r_0 ^2* f ^3 * S )ln gamma = s_a * g_a + s_i * g_i + s_c * g_c g = r_0 ^2 * q_a /( r_a ^2* q_0 )DhLrho_wDp_2J_VtJ_VtJ_VJ_VtN_ppifRS_pS_tS_1S_2Seta_w

Se considerarmos a área na seção que não contém poros, subtraindo la seção de poros (S_p) de la seção de poros (S) e dividindo pelo tamanho de um grão genérico com raio de raio de um grão genérico (r_0), obtemos o número de grãos visíveis na seção:

\displaystyle\frac{S-S_p}{\pi r_0^2}=\displaystyle\frac{(1-f)S}{\pi r_0^2}



onde usamos a relação para la porosidade (f):

f = \displaystyle\frac{ S_p }{ S }



Se o número de grãos for igual a número de capilares (N_p) com a expressão:

N_p =\displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2}



onde o raio é O raio do tubo (R). Com isso, obtemos a relação:

\displaystyle\frac{(1-f)S}{\pi r_0^2}=\displaystyle\frac{fS}{\pi R^2}



resultando em:

R = \sqrt{\displaystyle\frac{ f }{1- f }} r_0

ID:(109, 0)



Comprimento capilar

Equação

>Top, >Modelo


Se igualarmos o volume de um capilar ao volume de uma cadeia de grãos multiplicado por o comprimento da amostra (\Delta L), obtemos uma relação entre la comprimento capilar (l) e la porosidade (f) dada por:

l = q_0 \displaystyle\frac{(1- f )}{ f } \Delta L

R = sqrt( f /(1- f ))* r_0 f = S_p / S K_s = r_a ^2* f ^3* rho_w * g * gamma /(8* q_a *(1- f )^2* eta ) l = q_0 *(1 - f )* DL / f S_p = N_p * pi * R ^2 N_p = f * S /( pi * R ^2) J_{Vt} = N_p * J_V J_Vt = - S * r_0 ^2* f ^3 * Dp /(8* eta * q_0 *(1- f )^2* DL ) j_s = - r_0 ^2* rho_w * g * f ^3 * Dh /(8* q_0 * eta * DL ) K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta ) R_h = 8* eta * q_0 * (1- f )^2* DL /( r_0 ^2* f ^3 * S )ln gamma = s_a * g_a + s_i * g_i + s_c * g_c g = r_0 ^2 * q_a /( r_a ^2* q_0 )DhLrho_wDp_2J_VtJ_VtJ_VJ_VtN_ppifRS_pS_tS_1S_2Seta_w

O volume do capilar pode ser calculado a partir de o raio do tubo (R) e la comprimento capilar (l), o que é igual ao volume de uma cadeia de grãos de o raio de um grão genérico (r_0) e o comprimento do tubo (\Delta L) multiplicado por la porosidade própria genérica (q_0):

\pi R^2 l = q_0 \pi r_0^2 \Delta L



Isso, juntamente com la porosidade (f) na relação

R = \sqrt{\displaystyle\frac{ f }{1- f }} r_0



resulta na seguinte relação:

l = q_0 \displaystyle\frac{(1- f )}{ f } \Delta L

ID:(2215, 0)



Fluxo total de poros

Equação

>Top, >Modelo


O fluxo total (J_{Vt}) é calculado multiplicando um número de capilares (N_p) pelo valor de o fluxo de volume (J_V) em cada capilar, da seguinte forma:

J_{Vt} = N_p J_V

J_V
Fluxo Hagen-Poiseuille
m^3/s
6023
J_{Vt}
Fluxo total
m^3/s
6042
N_p
Número de capilares
-
6039
R = sqrt( f /(1- f ))* r_0 f = S_p / S K_s = r_a ^2* f ^3* rho_w * g * gamma /(8* q_a *(1- f )^2* eta ) l = q_0 *(1 - f )* DL / f S_p = N_p * pi * R ^2 N_p = f * S /( pi * R ^2) J_{Vt} = N_p * J_V J_Vt = - S * r_0 ^2* f ^3 * Dp /(8* eta * q_0 *(1- f )^2* DL ) j_s = - r_0 ^2* rho_w * g * f ^3 * Dh /(8* q_0 * eta * DL ) K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta ) R_h = 8* eta * q_0 * (1- f )^2* DL /( r_0 ^2* f ^3 * S )ln gamma = s_a * g_a + s_i * g_i + s_c * g_c g = r_0 ^2 * q_a /( r_a ^2* q_0 )DhLrho_wDp_2J_VtJ_VtJ_VJ_VtN_ppifRS_pS_tS_1S_2Seta_w

ID:(4364, 0)



Fluxo através de solo poroso (Kozeny-Carman)

Equação

>Top, >Modelo


Se aplicarmos a equação de Hagen-Poiseuille a o fluxo de volume (J_V) para o caso de capilares com o raio do tubo (R) expressos em termos de la porosidade (f) e la comprimento capilar (l) como função de o comprimento da amostra (\Delta L), podemos calcular o fluxo total (J_{Vt}) usando

J_{Vt} = N_p J_V



O resultado pode ser expresso em termos de la seção de poros (S), la viscosidade (\eta), la porosidade própria genérica (q_0), o raio de um grão genérico (r_0) e la diferença de pressão (\Delta p):

J_{Vt} =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2}{8 \eta q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3}{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ S }{ \Delta L } \Delta p

L
Comprimento capilar
m
6022
\Delta p_2
Diferença de pressão 2
Pa
5820
J_{Vt}
Fluxo de acordo com a lei de Hagen Poiseuille para solo
m^3/s
6043
f
Porosidade
-
5805
R
Raio de porosidade
m
6021
S_t
Seção de solo
m^2
6041
\eta_w
Viscosidade da água
Pa s
6020
R = sqrt( f /(1- f ))* r_0 f = S_p / S K_s = r_a ^2* f ^3* rho_w * g * gamma /(8* q_a *(1- f )^2* eta ) l = q_0 *(1 - f )* DL / f S_p = N_p * pi * R ^2 N_p = f * S /( pi * R ^2) J_{Vt} = N_p * J_V J_Vt = - S * r_0 ^2* f ^3 * Dp /(8* eta * q_0 *(1- f )^2* DL ) j_s = - r_0 ^2* rho_w * g * f ^3 * Dh /(8* q_0 * eta * DL ) K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta ) R_h = 8* eta * q_0 * (1- f )^2* DL /( r_0 ^2* f ^3 * S )ln gamma = s_a * g_a + s_i * g_i + s_c * g_c g = r_0 ^2 * q_a /( r_a ^2* q_0 )DhLrho_wDp_2J_VtJ_VtJ_VJ_VtN_ppifRS_pS_tS_1S_2Seta_w

Para calcular o fluxo total (J_{Vt}) usando o número de capilares (N_p) e o fluxo de volume (J_V) para cada capilar através de

J_{Vt} = N_p J_V



obtemos o número de capilares (N_p) com la porosidade (f), la seção de poros (S) e o raio do tubo (R) através de

N_p =\displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2}



e a lei de Hagen-Poiseuille usando la viscosidade (\eta), la diferença de pressão (\Delta p) e la comprimento capilar (l) é calculada com

J_v = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{8\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{l}



Usando a relação para o raio do tubo (R) em termos de o raio de um grão genérico (r_0)

R = \sqrt{\displaystyle\frac{ f }{1- f }} r_0



e para la comprimento capilar (l), la porosidade própria genérica (q_0) e o comprimento da amostra (\Delta L)

l = q_0 \displaystyle\frac{(1- f )}{ f } \Delta L



obtemos

J_{Vt} =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2}{8 \eta q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3}{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ S }{ \Delta L } \Delta p

Esta equação corresponde à equação de Kozeny-Carman, que foi desenvolvida por Kozeny e Carman para modelar o fluxo de um líquido através de um meio poroso e foi publicada em:

• Sobre a condução capilar da água no solo, ("Ueber kapillare Leitung des Wassers im Boden"), J. Kozeny, Sitzungsber Akad. Wiss., Wien, 136(2a): 271-306 (1927)

• Fluxo de fluidos através de leitos granulares, ("Fluid flow through granular beds"), P.C. Carman, Transactions, Institution of Chemical Engineers, London, 15: 150-166 (1937)

• Fluxo de gases através de meios porosos, ("Flow of gases through porous media"), P.C. Carman, Butterworths, London (1956)

ID:(4365, 0)



Densidade de fluxo entre colunas

Equação

>Top, >Modelo


No caso de um tubo pelo qual um líquido com la densidade da água (\rho_w) flui devido a la diferença de pressão (\Delta p) gerado por um uma diferença de altura (\Delta h) sob a influência da gravidade representada por la aceleração gravitacional (g) e calculado com a equação:

\Delta p = \rho_w g \Delta h



isso pode ser utilizado na equação de Hagen-Poiseuille, juntamente com a definição de la densidade de fluxo (j_s) em termos de o fluxo total (J_{Vt}), que por sua vez depende de o raio de um grão genérico (r_0), la porosidade própria genérica (q_0), la porosidade (f), la viscosidade (\eta) e o comprimento da amostra (\Delta L):

j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }

\Delta h
Altura da coluna líquida
m
5819
L
Comprimento capilar
m
6022
\rho_w
Densidade líquida
kg/m^3
5407
J_{Vt}
Fluir através da amostra
m^3/s
6044
f
Porosidade
-
5805
R
Raio de porosidade
m
6021
S_t
Seção de solo
m^2
6041
\eta_w
Viscosidade da água
Pa s
6020
R = sqrt( f /(1- f ))* r_0 f = S_p / S K_s = r_a ^2* f ^3* rho_w * g * gamma /(8* q_a *(1- f )^2* eta ) l = q_0 *(1 - f )* DL / f S_p = N_p * pi * R ^2 N_p = f * S /( pi * R ^2) J_{Vt} = N_p * J_V J_Vt = - S * r_0 ^2* f ^3 * Dp /(8* eta * q_0 *(1- f )^2* DL ) j_s = - r_0 ^2* rho_w * g * f ^3 * Dh /(8* q_0 * eta * DL ) K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta ) R_h = 8* eta * q_0 * (1- f )^2* DL /( r_0 ^2* f ^3 * S )ln gamma = s_a * g_a + s_i * g_i + s_c * g_c g = r_0 ^2 * q_a /( r_a ^2* q_0 )DhLrho_wDp_2J_VtJ_VtJ_VJ_VtN_ppifRS_pS_tS_1S_2Seta_w

No caso de capilares pelos quais um líquido com la densidade líquida (\rho_w) flui devido a la diferença de pressão (\Delta p) gerado por uma diferença de altura (\Delta h) sob a influência da gravidade representada por la aceleração gravitacional (g) e calculado com a equação:

\Delta p = \rho_w g \Delta h



isso pode ser aplicado na equação de Hagen-Poiseuille, em termos de o fluxo total (J_{Vt}), que por sua vez depende de o raio de um grão genérico (r_0), la porosidade própria genérica (q_0), la porosidade (f), la viscosidade (\eta), la seção ou superfície (S) e o comprimento da amostra (\Delta L) como descrito na equação:

J_{Vt} =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2}{8 \eta q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3}{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ S }{ \Delta L } \Delta p



Junto com a definição de la densidade de fluxo (j_s):

j_s = \displaystyle\frac{J_{Vt}}{S}



Nós temos:

j_s=\displaystyle\frac{J_{Vt}}{S}=\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_g }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ L }



resultando em:

j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }

ID:(4366, 0)



Fator de escala capilar

Equação

>Top, >Modelo


Para relacionar a condutividade hidráulica com os fatores de massa, introduzimos o fator de escala capilar (\gamma) com o raio de um grão genérico (r_0), o raio do grão de areia (r_a), la porosidade própria genérica (q_0) e la própria porosidade da areia (q_a) como

\gamma = \displaystyle\frac{ r_0 ^2}{ r_a ^2}\displaystyle\frac{ q_a }{ q_0 }

R = sqrt( f /(1- f ))* r_0 f = S_p / S K_s = r_a ^2* f ^3* rho_w * g * gamma /(8* q_a *(1- f )^2* eta ) l = q_0 *(1 - f )* DL / f S_p = N_p * pi * R ^2 N_p = f * S /( pi * R ^2) J_{Vt} = N_p * J_V J_Vt = - S * r_0 ^2* f ^3 * Dp /(8* eta * q_0 *(1- f )^2* DL ) j_s = - r_0 ^2* rho_w * g * f ^3 * Dh /(8* q_0 * eta * DL ) K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta ) R_h = 8* eta * q_0 * (1- f )^2* DL /( r_0 ^2* f ^3 * S )ln gamma = s_a * g_a + s_i * g_i + s_c * g_c g = r_0 ^2 * q_a /( r_a ^2* q_0 )DhLrho_wDp_2J_VtJ_VtJ_VJ_VtN_ppifRS_pS_tS_1S_2Seta_w

.

ID:(15101, 0)



Condutividade hidráulica e fator de escala

Equação

>Top, >Modelo


A partir da definição de la condutividade hidráulica (K_s) e o fator de escala capilar (\gamma), podemos expressar la condutividade hidráulica (K_s) em termos de o raio do grão de areia (r_a), la própria porosidade da areia (q_a), la porosidade (f), la densidade líquida (\rho_w), la aceleração gravitacional (g) e la viscosidade (\eta) da seguinte forma:

K_s = \displaystyle\frac{ r_a ^2}{8 q_a }\displaystyle\frac{ f ^3}{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta } \gamma

R = sqrt( f /(1- f ))* r_0 f = S_p / S K_s = r_a ^2* f ^3* rho_w * g * gamma /(8* q_a *(1- f )^2* eta ) l = q_0 *(1 - f )* DL / f S_p = N_p * pi * R ^2 N_p = f * S /( pi * R ^2) J_{Vt} = N_p * J_V J_Vt = - S * r_0 ^2* f ^3 * Dp /(8* eta * q_0 *(1- f )^2* DL ) j_s = - r_0 ^2* rho_w * g * f ^3 * Dh /(8* q_0 * eta * DL ) K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta ) R_h = 8* eta * q_0 * (1- f )^2* DL /( r_0 ^2* f ^3 * S )ln gamma = s_a * g_a + s_i * g_i + s_c * g_c g = r_0 ^2 * q_a /( r_a ^2* q_0 )DhLrho_wDp_2J_VtJ_VtJ_VJ_VtN_ppifRS_pS_tS_1S_2Seta_w

.

ID:(977, 0)



Regressão para a condutividade hidráulica

Equação

>Top, >Modelo


O cálculo de o fator de escala capilar (\gamma) é derivado de la porosidade (f), la densidade líquida (\rho_w), la aceleração gravitacional (g) e la viscosidade (\eta), excluindo o raio do grão de areia (r_a) e la própria porosidade da areia (q_a), por meio da seguinte equação:

\gamma=\displaystyle\frac{8K_sq_a}{r_a^2}\displaystyle\frac{(1-f)^2}{f^3}\displaystyle\frac{\eta}{\rho_wg}



Se quisermos relacionar o fator de escala capilar (\gamma) com la fração mássica de areia na amostra (g_a), la fração de massa de lodo na amostra (g_i) e la fração mássica de argila na amostra (g_c), observamos que, enquanto o primeiro varia em 6 ordens de magnitude, os últimos variam apenas em 2 ordens de magnitude. Portanto, faz sentido estabelecer uma relação com o logaritmo natural de \gamma. Assim, realizamos uma regressão usando a seguinte equação:

\ln \gamma = s_a g_a + s_i g_i + s_c g_c

R = sqrt( f /(1- f ))* r_0 f = S_p / S K_s = r_a ^2* f ^3* rho_w * g * gamma /(8* q_a *(1- f )^2* eta ) l = q_0 *(1 - f )* DL / f S_p = N_p * pi * R ^2 N_p = f * S /( pi * R ^2) J_{Vt} = N_p * J_V J_Vt = - S * r_0 ^2* f ^3 * Dp /(8* eta * q_0 *(1- f )^2* DL ) j_s = - r_0 ^2* rho_w * g * f ^3 * Dh /(8* q_0 * eta * DL ) K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta ) R_h = 8* eta * q_0 * (1- f )^2* DL /( r_0 ^2* f ^3 * S )ln gamma = s_a * g_a + s_i * g_i + s_c * g_c g = r_0 ^2 * q_a /( r_a ^2* q_0 )DhLrho_wDp_2J_VtJ_VtJ_VJ_VtN_ppifRS_pS_tS_1S_2Seta_w



com o fator de seção capilar em areia (s_a), o fator de seção capilar em lodo (s_i) e o fator de seção capilar de argila (s_c).

Os dados médios para cada intervalo são os seguintes:

Tipo g_a [-] g_i [-] g_c [-] f [-] K_s [m/s] \gamma [-] \ln \gamma [-]
Argila 0.20 0.20 0.60 0.45 1.00E-09 6.45E-10 -21.16
Franco 0.40 0.40 0.20 0.45 1.00E-07 6.45E-08 -16.56
Areia 0.93 0.03 0.04 0.30 1.00E-04 3.52E-04 -7.95
Silte 0.10 0.85 0.05 0.40 1.00E-07 1.09E-07 -16.03
Silte Argiloso 0.10 0.50 0.40 0.45 1.00E-09 6.45E-10 -21.16
Areia Argilosa 0.50 0.05 0.45 0.40 1.00E-07 1.09E-07 -16.03
Franco Argiloso 0.30 0.35 0.35 0.45 1.00E-07 6.45E-08 -16.56
Franco Silto Argiloso 0.10 0.55 0.35 0.45 1.00E-08 6.45E-09 -18.86
Franco Argiloso Arenoso 0.60 0.13 0.27 0.40 1.00E-06 1.09E-06 -13.73
Franco Silto 0.20 0.65 0.15 0.40 1.00E-07 1.09E-07 -16.03
Franco Arenoso 0.65 0.25 0.10 0.35 1.00E-05 1.92E-05 -10.86
Areia Argilosa 0.82 0.10 0.08 0.30 1.00E-04 3.52E-04 -7.95



A regressão resulta em uma relação linear com um valor de R-quadrado de 0,9975 e os seguintes coeficientes, juntamente com os valores para avaliar a qualidade dos coeficientes:

Tipo s [-] p-test
Areia (a) -6.208 4.31E-6
Silte (i) -16.845 5.82E-9
Argila (c) -27.652 2.41E-9

Dado os valores do p-test, podemos assumir que todos os coeficientes são altamente relevantes.

ID:(15100, 0)