
Fluxo Terrestre
Storyboard 
No caso do solo, é possível modelá-lo assumindo que ele contém múltiplos poros que formam pequenos capilares que o atravessam. Com base nisso, podem ser aplicadas as equações para o fluxo laminar através de tubos e calcular as resistências hidráulicas das redes de capilares, que dependem da porosidade e, portanto, da proporção dos diferentes componentes.
ID:(370, 0)

Fluir pelo chão
Conceito 
Os poros individuais se reúnem para formar cadeias que criam capilares pelos quais a água flui.
Para modelar esse fenômeno, é necessário estimar tanto o raio desses capilares quanto o seu comprimento, levando em consideração que geralmente não são retos.
ID:(937, 0)

Seção de poros de amostra
Conceito 
La seção de poros (S) inclui la seção de poros (S_p) gerado por o número de capilares (N_p):
ID:(2285, 0)

Relação entre número de grãos e poros
Conceito 
Se observarmos uma secção transversal do solo, notaremos que os capilares passam pelos espaços entre os grãos. Ao fazê-lo, o número deles é semelhante ao número de grãos presentes, por isso podemos assumir que o número de capilares (N_p) é semelhante ao número de grãos presentes na secção:
ID:(2283, 0)

Fluir através de poros individuais
Conceito 
O fluxo total é calculado como a soma dos fluxos individuais através dos diferentes poros:
Se assumirmos que todos os poros são idênticos, podemos obter o fluxo total (J_{Vt}) multiplicando o fluxo de volume (J_V) individualmente por o número de capilares (N_p).
ID:(2286, 0)

Condutividade hidráulica do solo
Equação 
O fluxo de líquido em um meio poroso, como o solo, é medido usando a variável la densidade de fluxo (j_s), que representa a velocidade média com que o líquido se move através dele. Ao modelar o solo e como o líquido passa por ele, descobrimos que esse processo é influenciado por fatores como la porosidade (f) e o raio de um grão genérico (r_0), que, quando maiores, facilitam o fluxo, enquanto la viscosidade (\eta) dificulta a passagem pelos capilares, reduzindo a velocidade de fluxo.
O modelo incorpora eventualmente o que chamaremos de la condutividade hidráulica (K_s), uma variável que depende das interações entre o raio de um grão genérico (r_0), la porosidade (f), la densidade líquida (\rho_w), la aceleração gravitacional (g), la viscosidade (\eta) e la porosidade própria genérica (q_0):
![]() |
Uma vez que la densidade de fluxo (j_s) está relacionado com o raio de um grão genérico (r_0), la porosidade (f), la densidade líquida (\rho_w), la aceleração gravitacional (g), la viscosidade (\eta), la porosidade própria genérica (q_0), la diferença de altura (\Delta h) e o comprimento da amostra (\Delta L) através da equação:
j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L } |
Podemos definir um fator que chamaremos de la condutividade hidráulica (K_s) da seguinte forma:
K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta } |
Este fator abrange todos os elementos relacionados às propriedades do solo e do líquido que flui através dele.
la condutividade hidráulica (K_s) expressa a facilidade com que o líquido é conduzido através do meio poroso. Na verdade, la condutividade hidráulica (K_s) aumenta com la porosidade (f) e o raio de um grão genérico (r_0) e diminui com la porosidade própria genérica (q_0) e la viscosidade (\eta).
ID:(4739, 0)

Condutividade hidráulica para diferentes solos
Imagem 
Se examinarmos a literatura, podemos encontrar estimativas da condutividade hidráulica para diferentes texturas de solo, que são apresentadas aqui em função de seu expoente (ou seja, -7 é indicado para uma condutividade hidráulica de 1E-7 m/s):
Os resultados são resumidos na seguinte tabela:
Textura | g_a [%] | g_i [%] | g_c [%] | f [%] | K [m/s] |
Argila | 0-45 | 0-40 | 55-100 | 40-50 | 1E-9 - 1E-8 [1] |
Arenoso | 23-52 | 28-50 | 8-27 | 40-50 | 1E-7 - 1E-5 [2] |
Areia | 85-100 | 0-15 | 0-10 | 25-35 | 1E-4 - 1E-2 [3] |
Silte | 0-20 | 80-100 | 0-13 | 35-45 | 1E-7 - 1E-5 [4] |
Silte Argiloso | 0-20 | 40-60 | 40-60 | 40-50 | 1E-9 - 1E-8 [1] |
Areia Argilosa | 45-65 | 0-20 | 35-55 | 35-45 | 1E-7 - 1E-5 [5] |
Areia Argilosa | 20-45 | 15-53 | 28-40 | 40-50 | 1E-7 - 1E-5 [2] |
Silte Argiloso | 0-20 | 40-73 | 28-40 | 40-50 | 1E-8 - 1E-6 [6] |
Areia Argilosa Argilosa | 45-80 | 0-33 | 20-35 | 35-45 | 1E-6 - 1E-4 [1] |
Silte Argiloso | 0-50 | 50-88 | 0-28 | 35-45 | 1E-7 - 1E-5 [4] |
Areia Silto | 43-85 | 0-50 | 0-20 | 30-40 | 1E-5 - 1E-3 [2] |
Areia Silto Argilosa | 70-90 | 0-30 | 0-15 | 25-35 | 1E-4 - 1E-2 [4] |
Esses dados foram obtidos da seguinte literatura, que é referenciada na coluna de condutividade hidráulica:
[1] "Princípios e Práticas de Engenharia Geotécnica" de Donald P. Coduto et al., Prentice Hall (1999)
[2] "Mecânica dos Solos e Fundações" de Muni Budhu, John Wiley & Sons. (2011)
[3] "Introdução à Engenharia Ambiental" de Mackenzie Davis e David Cornwell, McGraw Hill (2022)
[4] "Princípios de Engenharia Geotécnica" de Braja M. Das, CL-Engineering (2009)
[5] "Mecânica dos Solos na Prática da Engenharia" de Karl Terzaghi e Ralph B. Peck, John Wiley & Sons. (1996)
[6] "Mecânica dos Solos: Conceitos e Aplicações" de William Powrie, CRC Press (2013)
ID:(4740, 0)

Modelo
Top 

Parâmetros

Variáveis

Cálculos




Cálculos
Cálculos







Equações
f = \displaystyle\frac{ S_p }{ S }
f = S_p / S
\gamma = \displaystyle\frac{ r_0 ^2}{ r_a ^2}\displaystyle\frac{ q_a }{ q_0 }
g = r_0 ^2 * q_a /( r_a ^2* q_0 )
j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }
j_s = - r_0 ^2* rho_w * g * f ^3 * Dh /(8* q_0 * eta * DL )
J_{Vt} =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2}{8 \eta q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3}{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ S }{ \Delta L } \Delta p
J_Vt = - S * r_0 ^2* f ^3 * Dp /(8* eta * q_0 *(1- f )^2* DL )
J_{Vt} = N_p J_V
J_{Vt} = N_p * J_V
K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }
K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta )
l = q_0 \displaystyle\frac{(1- f )}{ f } \Delta L
l = q_0 *(1 - f )* DL / f
N_p =\displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2}
N_p = f * S /( pi * R ^2)
R = \sqrt{\displaystyle\frac{ f }{1- f }} r_0
R = sqrt( f /(1- f ))* r_0
R_h = \displaystyle\frac{8 \eta q_0 }{ r_0 ^2}\displaystyle\frac{(1- f )^2 }{f ^3}\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }
R_h = 8* eta * q_0 * (1- f )^2* DL /( r_0 ^2* f ^3 * S )
S_p = N_p \pi R ^2
S_p = N_p * pi * R ^2
K_s = \displaystyle\frac{ r_a ^2}{8 q_a }\displaystyle\frac{ f ^3}{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta } \gamma
K_s = r_a ^2* f ^3* rho_w * g * gamma /(8* q_a *(1- f )^2* eta )
\ln \gamma = s_a g_a + s_i g_i + s_c g_c
\ln \gamma = s_a * g_a + s_i * g_i + s_c * g_c
ID:(15222, 0)

Porosidade baseada na seção
Equação 
La porosidade (f) pode ser calculado a partir de la seção de poros (S_p) e la seção de poros (S) usando a seguinte fórmula:
![]() |
Com a altura la distância infinitesimal (ds), o volume de la seção de poros (S) é
S ds
e o volume dos poros com la seção de poros (S_p) é
S_p ds
Portanto, la porosidade (f) é calculado como
f = \displaystyle\frac{S_p ds}{S ds} = \displaystyle\frac{S_p}{S}
resultando na seguinte equação:
f = \displaystyle\frac{ S_p }{ S } |
ID:(938, 0)

Seção de poros
Equação 
Uma vez que a área de seção transversal de um poro de raio do tubo (R) é \pi R^2 e o número de capilares (N_p) está relacionado a isso, podemos calcular la seção de poros (S_p) da seguinte forma:
![]() |
ID:(4362, 0)

Número de poros
Equação 
Com la porosidade (f) e la seção de poros (S), obtemos la seção de poros (S_p), que quando dividido pela seção calculada do capilar de o raio do tubo (R), resulta em o número de capilares (N_p), conforme segue:
![]() |
Como la porosidade (f), calculado com la seção de poros (S_p) e la seção de poros (S) usando
f = \displaystyle\frac{ S_p }{ S } |
juntamente com a equação para o cálculo de la seção de poros (S_p) com base em o número de capilares (N_p) e o raio do tubo (R) por meio de
S_p = N_p \pi R ^2 |
resulta em
f = \displaystyle\frac{N_p\pi R^2}{S}
pode ser resolvido para o número de capilares (N_p), resultando em
N_p =\displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2} |
ID:(4363, 0)

Raio dos poros
Equação 
Se assumirmos que o número de capilares é igual ao número de grãos visíveis em uma seção, podemos demonstrar que para um raio de grão de o raio de um grão genérico (r_0) e uma porosidade (f), o raio do tubo (R) será igual a:
![]() |
Se considerarmos a área na seção que não contém poros, subtraindo la seção de poros (S_p) de la seção de poros (S) e dividindo pelo tamanho de um grão genérico com raio de raio de um grão genérico (r_0), obtemos o número de grãos visíveis na seção:
\displaystyle\frac{S-S_p}{\pi r_0^2}=\displaystyle\frac{(1-f)S}{\pi r_0^2}
onde usamos a relação para la porosidade (f):
f = \displaystyle\frac{ S_p }{ S } |
Se o número de grãos for igual a número de capilares (N_p) com a expressão:
N_p =\displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2} |
onde o raio é O raio do tubo (R). Com isso, obtemos a relação:
\displaystyle\frac{(1-f)S}{\pi r_0^2}=\displaystyle\frac{fS}{\pi R^2}
resultando em:
R = \sqrt{\displaystyle\frac{ f }{1- f }} r_0 |
ID:(109, 0)

Comprimento capilar
Equação 
Se igualarmos o volume de um capilar ao volume de uma cadeia de grãos multiplicado por o comprimento da amostra (\Delta L), obtemos uma relação entre la comprimento capilar (l) e la porosidade (f) dada por:
![]() |
O volume do capilar pode ser calculado a partir de o raio do tubo (R) e la comprimento capilar (l), o que é igual ao volume de uma cadeia de grãos de o raio de um grão genérico (r_0) e o comprimento do tubo (\Delta L) multiplicado por la porosidade própria genérica (q_0):
\pi R^2 l = q_0 \pi r_0^2 \Delta L
Isso, juntamente com la porosidade (f) na relação
R = \sqrt{\displaystyle\frac{ f }{1- f }} r_0 |
resulta na seguinte relação:
l = q_0 \displaystyle\frac{(1- f )}{ f } \Delta L |
ID:(2215, 0)

Fluxo total de poros
Equação 
O fluxo total (J_{Vt}) é calculado multiplicando um número de capilares (N_p) pelo valor de o fluxo de volume (J_V) em cada capilar, da seguinte forma:
![]() |
ID:(4364, 0)

Fluxo através de solo poroso (Kozeny-Carman)
Equação 
Se aplicarmos a equação de Hagen-Poiseuille a o fluxo de volume (J_V) para o caso de capilares com o raio do tubo (R) expressos em termos de la porosidade (f) e la comprimento capilar (l) como função de o comprimento da amostra (\Delta L), podemos calcular o fluxo total (J_{Vt}) usando
J_{Vt} = N_p J_V |
O resultado pode ser expresso em termos de la seção de poros (S), la viscosidade (\eta), la porosidade própria genérica (q_0), o raio de um grão genérico (r_0) e la diferença de pressão (\Delta p):
![]() |
Para calcular o fluxo total (J_{Vt}) usando o número de capilares (N_p) e o fluxo de volume (J_V) para cada capilar através de
J_{Vt} = N_p J_V |
obtemos o número de capilares (N_p) com la porosidade (f), la seção de poros (S) e o raio do tubo (R) através de
N_p =\displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2} |
e a lei de Hagen-Poiseuille usando la viscosidade (\eta), la diferença de pressão (\Delta p) e la comprimento capilar (l) é calculada com
J_v = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{8\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{l}
Usando a relação para o raio do tubo (R) em termos de o raio de um grão genérico (r_0)
R = \sqrt{\displaystyle\frac{ f }{1- f }} r_0 |
e para la comprimento capilar (l), la porosidade própria genérica (q_0) e o comprimento da amostra (\Delta L)
l = q_0 \displaystyle\frac{(1- f )}{ f } \Delta L |
obtemos
J_{Vt} =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2}{8 \eta q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3}{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ S }{ \Delta L } \Delta p |
Esta equação corresponde à equação de Kozeny-Carman, que foi desenvolvida por Kozeny e Carman para modelar o fluxo de um líquido através de um meio poroso e foi publicada em:
• Sobre a condução capilar da água no solo, ("Ueber kapillare Leitung des Wassers im Boden"), J. Kozeny, Sitzungsber Akad. Wiss., Wien, 136(2a): 271-306 (1927)
• Fluxo de fluidos através de leitos granulares, ("Fluid flow through granular beds"), P.C. Carman, Transactions, Institution of Chemical Engineers, London, 15: 150-166 (1937)
• Fluxo de gases através de meios porosos, ("Flow of gases through porous media"), P.C. Carman, Butterworths, London (1956)
ID:(4365, 0)

Densidade de fluxo entre colunas
Equação 
No caso de um tubo pelo qual um líquido com la densidade da água (\rho_w) flui devido a la diferença de pressão (\Delta p) gerado por um uma diferença de altura (\Delta h) sob a influência da gravidade representada por la aceleração gravitacional (g) e calculado com a equação:
\Delta p = \rho_w g \Delta h |
isso pode ser utilizado na equação de Hagen-Poiseuille, juntamente com a definição de la densidade de fluxo (j_s) em termos de o fluxo total (J_{Vt}), que por sua vez depende de o raio de um grão genérico (r_0), la porosidade própria genérica (q_0), la porosidade (f), la viscosidade (\eta) e o comprimento da amostra (\Delta L):
![]() |
No caso de capilares pelos quais um líquido com la densidade líquida (\rho_w) flui devido a la diferença de pressão (\Delta p) gerado por uma diferença de altura (\Delta h) sob a influência da gravidade representada por la aceleração gravitacional (g) e calculado com a equação:
\Delta p = \rho_w g \Delta h |
isso pode ser aplicado na equação de Hagen-Poiseuille, em termos de o fluxo total (J_{Vt}), que por sua vez depende de o raio de um grão genérico (r_0), la porosidade própria genérica (q_0), la porosidade (f), la viscosidade (\eta), la seção ou superfície (S) e o comprimento da amostra (\Delta L) como descrito na equação:
J_{Vt} =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2}{8 \eta q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3}{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ S }{ \Delta L } \Delta p |
Junto com a definição de la densidade de fluxo (j_s):
j_s = \displaystyle\frac{J_{Vt}}{S}
Nós temos:
j_s=\displaystyle\frac{J_{Vt}}{S}=\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_g }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ L }
resultando em:
j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L } |
ID:(4366, 0)

Fator de escala capilar
Equação 
Para relacionar a condutividade hidráulica com os fatores de massa, introduzimos o fator de escala capilar (\gamma) com o raio de um grão genérico (r_0), o raio do grão de areia (r_a), la porosidade própria genérica (q_0) e la própria porosidade da areia (q_a) como
![]() |
.
ID:(15101, 0)

Condutividade hidráulica e fator de escala
Equação 
A partir da definição de la condutividade hidráulica (K_s) e o fator de escala capilar (\gamma), podemos expressar la condutividade hidráulica (K_s) em termos de o raio do grão de areia (r_a), la própria porosidade da areia (q_a), la porosidade (f), la densidade líquida (\rho_w), la aceleração gravitacional (g) e la viscosidade (\eta) da seguinte forma:
![]() |
.
ID:(977, 0)

Regressão para a condutividade hidráulica
Equação 
O cálculo de o fator de escala capilar (\gamma) é derivado de la porosidade (f), la densidade líquida (\rho_w), la aceleração gravitacional (g) e la viscosidade (\eta), excluindo o raio do grão de areia (r_a) e la própria porosidade da areia (q_a), por meio da seguinte equação:
\gamma=\displaystyle\frac{8K_sq_a}{r_a^2}\displaystyle\frac{(1-f)^2}{f^3}\displaystyle\frac{\eta}{\rho_wg}
Se quisermos relacionar o fator de escala capilar (\gamma) com la fração mássica de areia na amostra (g_a), la fração de massa de lodo na amostra (g_i) e la fração mássica de argila na amostra (g_c), observamos que, enquanto o primeiro varia em 6 ordens de magnitude, os últimos variam apenas em 2 ordens de magnitude. Portanto, faz sentido estabelecer uma relação com o logaritmo natural de \gamma. Assim, realizamos uma regressão usando a seguinte equação:
![]() |
com o fator de seção capilar em areia (s_a), o fator de seção capilar em lodo (s_i) e o fator de seção capilar de argila (s_c).
Os dados médios para cada intervalo são os seguintes:
Tipo | g_a [-] | g_i [-] | g_c [-] | f [-] | K_s [m/s] | \gamma [-] | \ln \gamma [-] |
Argila | 0.20 | 0.20 | 0.60 | 0.45 | 1.00E-09 | 6.45E-10 | -21.16 |
Franco | 0.40 | 0.40 | 0.20 | 0.45 | 1.00E-07 | 6.45E-08 | -16.56 |
Areia | 0.93 | 0.03 | 0.04 | 0.30 | 1.00E-04 | 3.52E-04 | -7.95 |
Silte | 0.10 | 0.85 | 0.05 | 0.40 | 1.00E-07 | 1.09E-07 | -16.03 |
Silte Argiloso | 0.10 | 0.50 | 0.40 | 0.45 | 1.00E-09 | 6.45E-10 | -21.16 |
Areia Argilosa | 0.50 | 0.05 | 0.45 | 0.40 | 1.00E-07 | 1.09E-07 | -16.03 |
Franco Argiloso | 0.30 | 0.35 | 0.35 | 0.45 | 1.00E-07 | 6.45E-08 | -16.56 |
Franco Silto Argiloso | 0.10 | 0.55 | 0.35 | 0.45 | 1.00E-08 | 6.45E-09 | -18.86 |
Franco Argiloso Arenoso | 0.60 | 0.13 | 0.27 | 0.40 | 1.00E-06 | 1.09E-06 | -13.73 |
Franco Silto | 0.20 | 0.65 | 0.15 | 0.40 | 1.00E-07 | 1.09E-07 | -16.03 |
Franco Arenoso | 0.65 | 0.25 | 0.10 | 0.35 | 1.00E-05 | 1.92E-05 | -10.86 |
Areia Argilosa | 0.82 | 0.10 | 0.08 | 0.30 | 1.00E-04 | 3.52E-04 | -7.95 |
A regressão resulta em uma relação linear com um valor de R-quadrado de 0,9975 e os seguintes coeficientes, juntamente com os valores para avaliar a qualidade dos coeficientes:
Tipo | s [-] | p-test |
Areia (a) | -6.208 | 4.31E-6 |
Silte (i) | -16.845 | 5.82E-9 |
Argila (c) | -27.652 | 2.41E-9 |
Dado os valores do p-test, podemos assumir que todos os coeficientes são altamente relevantes.
ID:(15100, 0)