Usuario:
Aplicaciones
Storyboard 
La porosidad del suelo permite que el agua de lluvia o de regadío penetre el suelo y llegue hasta la napa. Por ello debemos estudiar como se puede modelar en base a nuestro modelo geométrico como se desplaza el agua.
ID:(367, 0)
Densidad de flujo y conductividad hidráulica
Concepto
La densidad de flujo ($j_s$) se puede expresar en términos de la conductividad hidráulica ($K_s$), en el límite infinitesimal con la diferencial de la altura de la columna ($dh$) y la diferencial de distancia ($dx$), de la siguiente manera:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
Esto significa que cuanto mayor sea el gradiente o más empinado sea el terreno, mayor será La densidad de flujo ($j_s$), como se ilustra en el gráfico:
El gráfico muestra cómo las barras con igual diferencial de distancia ($dx$) tienen valores cada vez menores de diferencial de la altura de la columna ($dh$), lo que resulta en un valor cada vez menor de densidad de flujo ($j_s$). Dado que el volumen de líquido se conserva, esto solo puede ser posible si existe otro flujo que compense esta reducción en densidad de flujo ($j_s$). Esto podría ser un flujo perpendicular al que se muestra, por ejemplo, si las barras más bajas son más anchas en una dirección perpendicular al gráfico.
Este problema conduce a lo siguiente:
La altura $h$ del líquido solo se puede calcular como resultado de la solución de una ecuación diferencial, ya que debe cumplir con la exigencia de que el volumen se conserve en todo el ámbito donde existe flujo.
Además, es importante tener en cuenta que:
El signo negativo refleja el hecho de que el flujo siempre va de la zona de mayor altura a la de menor altura. Si la pendiente es negativa, gracias al signo, el flujo es positivo (de izquierda a derecha), y si, por el contrario, la pendiente es positiva, el flujo es negativo (de derecha a izquierda).
ID:(930, 0)
Ecuación de flujo en una dimensión
Concepto
Si estudiamos el caso unidimensional, describiendo el proceso a lo largo del eje $x$, podemos observar cómo varía la altura de la columna $\Delta h$ en un intervalo de tiempo $\Delta t$. En este caso, una columna con ancho $\Delta x$ cambiará su volumen por unidad de longitud en el tiempo dado por $\Delta x \Delta h/\Delta t$. Por otro lado, la cantidad de líquido que entra a lo largo de la columna en $x$ es $h(x) j_s(x)$, mientras que en $x+\Delta x$ sale como $h(x+\Delta x) j_s(x+\Delta x)$:
Por lo tanto la variación de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en el tiempo es igual a la variación del producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la densidad de flujo ($j_s$) en la posición:
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
La derivada parcial es similar a la derivada ordinaria, con la diferencia de que se aplica a funciones que dependen de más de una variable. En estos casos, la derivada parcial, denotada por el símbolo $\partial$, nos recuerda a la típica derivada denotada por la letra $d$, pero con la particularidad de que las variables no mencionadas en el denominador se mantienen constantes.
ID:(2290, 0)
Flujo hacia un canal
Concepto
En el caso del flujo hacia un canal, se puede modelar el sistema de manera unidimensional, donde la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) es una función de la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) que representa la densidad de flujo ($j_s$) y satisface la condición
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
con el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) que definen el perfil del agua en el suelo:
La clave de la ecuación es que el producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la densidad de flujo ($j_s$) debe ser siempre constante. En ese sentido, si la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) crece, la densidad de flujo ($j_s$) decrece y viceversa. Por otro lado, el signo es siempre igual, en este sentido, un flujo hacia el canal, es decir, negativo, ocurrirá solo si la altura de la napa es superior a la del canal, y a medida que el líquido se acerca al canal, la altura disminuirá y la densidad de flujo aumentará.
ID:(15104, 0)
Flujo desde un canal
Concepto
En el caso en que el flujo surge desde el canal, se presenta la situación en la que el nivel de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) debe disminuir a medida que nos alejamos del canal, de manera que exista el gradiente de presión que genera el flujo. El problema es que si el flujo se desplaza rápidamente dentro del medio, la altura tenderá a cero y, con ello, el flujo aumentará infinitamente, lo que carece de sentido.
Esto significa que no existe una solución estacionaria y, ante esta situación, la única solución es que el medio se llene hasta que alcance la altura del canal, es decir, se vuelva constante.
La pregunta es si existe una situación estacionaria que no sea trivial y que represente una situación real de interés. Un caso posible es si el nivel del medio disminuye al punto en que se vuelve menor que la columna antes de que la solución diverja. Este caso corresponde a la situación en la que el flujo aflora a la superficie y no existe la situación en la que la solución diverja. Esto significaría que se genera un flujo que sale al exterior en un punto, con el riesgo de debilitar el fundamento y, por lo tanto, desestabilizar el medio, que actúa como una represa.
ID:(4746, 0)
Flujo hacia un pozo
Concepto
En el caso del flujo hacia un pozo, la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el radio desde el centro del pozo ($r$) con el radio del pozo de agua ($r_0$), el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) se describe mediante
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
que define el perfil del agua en el suelo:
ID:(4371, 0)
Modelo
Top
Parámetros
Variables
Cálculos
a 
, luego, seleccione la variable: 
a 
Cálculos
Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $
&j_s = - K_s * @GRAD( h , x )
$ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $
h * &D^2 h + &D h * &D h = 0
$ h j_s = h_0 j_{s0} $
h * j_s = h_0 * j_{s0}
$ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$
j_s = - k_s * dp /( eta * dx )
$ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $
k_s = eta * K_s /( rho_w * g )
$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$
K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta )
$ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$
k_s = r_0 ^2 * f ^3/(8* q_0 *(1 - f )^2)
$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$
D_t h = - &D * (h &j_s)
ID:(15224, 0)
Conductividad hidráulica del suelo
Ecuación
El flujo de líquido en un medio poroso como el suelo se mide mediante la variable la densidad de flujo ($j_s$), que representa la velocidad media a la que el líquido se desplaza a través de este medio. Al modelar el suelo y el paso del líquido a través de él, se descubre que este proceso está influenciado por factores como la porosidad ($f$) y el radio de un grano genérico ($r_0$), que, al ser mayores, facilitan el flujo, mientras que la viscosidad ($\eta$) dificulta el paso a través de los capilares, lo que reduce la velocidad de flujo.
El modelo finalmente incorpora lo que llamaremos la conductividad hidráulica ($K_s$), una variable que depende de las interacciones entre el radio de un grano genérico ($r_0$), la porosidad ($f$), la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$), la viscosidad ($\eta$) y la porosidad propia genérica ($q_0$):
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
Dado que la densidad de flujo ($j_s$) está relacionado con el radio de un grano genérico ($r_0$), la porosidad ($f$), la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$), la viscosidad ($\eta$), la porosidad propia genérica ($q_0$), la diferencia de altura ($\Delta h$) y el largo de la muestra ($\Delta L$) a través de la ecuación
| $ j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }$ |
Podemos definir un factor al que llamaremos la conductividad hidráulica ($K_s$) de la siguiente manera:
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
Este factor incorpora todos los elementos relacionados con las propiedades del suelo y del líquido que fluye a través de él.
la conductividad hidráulica ($K_s$) expresa la facilidad con la que el líquido se conduce a través del medio poroso. De hecho, la conductividad hidráulica ($K_s$) aumenta con la porosidad ($f$) y el radio de un grano genérico ($r_0$), y disminuye con la porosidad propia genérica ($q_0$) y la viscosidad ($\eta$).
ID:(4739, 0)
Permeabilidad del suelo
Ecuación
La conductividad hidráulica ($K_s$) representa cómo se conduce el líquido en el medio. Una parte de la conductividad hidráulica ($K_s$) corresponde a las propiedades inherentes del propio medio, mientras que otra parte contiene las constantes que describen el comportamiento del líquido. Por lo tanto, tiene sentido introducir una nueva constante que sea específica del medio y no del líquido que fluye a través de él.
De este modo, la permeabilidad del suelo ($k_s$) se relaciona con el radio de un grano genérico ($r_0$), la porosidad ($f$) y la porosidad propia genérica ($q_0$) a través de la siguiente definición:
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
Dado que la conductividad hidráulica ($K_s$) está vinculado a el radio de un grano genérico ($r_0$), la porosidad ($f$), la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$), la viscosidad ($\eta$) y la porosidad propia genérica ($q_0$) a través de la ecuación:
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
Podemos definir la parte que depende exclusivamente del suelo como la permeabilidad del suelo ($k_s$), expresándola de la siguiente manera:
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
ID:(10595, 0)
Permeabilidad y conductividad hidráulica
Ecuación
La permeabilidad del suelo ($k_s$) se puede calcular a partir de la conductividad hidráulica ($K_s$), la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$) y la viscosidad ($\eta$) mediante la siguiente expresión:
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
La permeabilidad del suelo ($k_s$) está relacionado con el radio de un grano genérico ($r_0$), la porosidad ($f$) y la porosidad propia genérica ($q_0$), es igual a
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
Por lo tanto, con la ecuación para la conductividad hidráulica ($K_s$), junto con la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$) y la viscosidad ($\eta$),
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
resulta que la relación entre la permeabilidad del suelo ($k_s$) y la conductividad hidráulica ($K_s$) es
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
Por lo general, las mediciones para caracterizar un suelo se realizan utilizando un líquido en particular, lo que proporciona un valor específico de una conductividad hidráulica ($K_s$). A partir de este valor, es posible calcular la permeabilidad del suelo ($k_s$) utilizando la ecuación mencionada anteriormente.
ID:(34, 0)
Densidad de flujo y gradiente de presión
Ecuación
La densidad de flujo ($j_s$) se puede expresar en función de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) o, en función de la presión de la columna de agua ($p$) generado por la columna de líquido. Empleando la definición de la permeabilidad del suelo ($k_s$), se obtiene para la viscosidad ($\eta$) y la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) lo siguiente:
| $ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$ |
La diferencia de presión ($\Delta p$) en relación con la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$) y la diferencia de altura ($\Delta h$) se calcula de acuerdo con la siguiente ecuación:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
en el límite infinitesimal en el que la diferencia de presión ($\Delta p$) es igual a la diferencial de la presión ($dp$), denotado como:
$\Delta p \rightarrow dp$
y en el que la diferencia de altura ($\Delta h$) es igual a la diferencial de la altura de la columna ($dh$), denotado como:
$\Delta h \rightarrow dh$
Usando la relación de la densidad de flujo ($j_s$) con la conductividad hidráulica ($K_s$), la diferencial de la altura de la columna ($dh$), y la diferencial de distancia ($dx$), que se expresa como:
| $$ |
y la relación para la permeabilidad del suelo ($k_s$) con la viscosidad ($\eta$), que se expresa como:
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
Podemos obtener la siguiente ecuación:
| $ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$ |
ID:(45, 0)
Densidad de flujo y gradiente de altura en más dimensiones
Ecuación
Dado que la ecuación en una dimensión para la densidad de flujo ($j_s$) se expresa como la conductividad hidráulica ($K_s$), la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) de la siguiente manera:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
Es posible generalizar esta ecuación para el caso de un medio homogéneo, lo que resulta en una ecuación para la densidad de flujo en más de una dimensión ($\vec{j}_s$) donde la conductividad hidráulica ($K_s$) se mantiene constante, de la siguiente forma:
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
ID:(999, 0)
Ecuación de flujo en más de una dimensión
Ecuación
Si generalizamos la ecuación en una dimensión para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el tiempo ($t$) y la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) con la densidad de flujo ($j_s$):
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
y reemplazamos la derivada parcial por una divergencia, obtenemos con la densidad de flujo en más de una dimensión ($\vec{j}_s$):
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
ID:(15111, 0)
Solución estatica en una dimensión
Ecuación
Podemos estudiar el caso estacionario, lo que implica que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) dividido por la densidad de flujo ($j_s$) debe ser constante y, en particular, puede tomar valores en un punto específico representados por la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$):
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Si para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) dividido por la densidad de flujo ($j_s$) la ecuación
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
en el caso estacionario se reduce a
$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$
lo que corresponde a que el producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) por la densidad de flujo ($j_s$) es constante. Si se tienen los valores para un punto en particular, definido por la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$), entonces se tiene que:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Nota: La ecuación diferencial es una ecuación diferencial ordinaria, ya que depende únicamente de la posición $x$ y no del tiempo $t$ en absoluto.
ID:(15107, 0)
Solución estatica en más de una dimensión
Ecuación
La ecuación para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) con el tiempo ($t$) y la densidad de flujo en más de una dimensión ($\vec{j}_s$) se expresa de la siguiente manera:
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
En el caso estacionario y utilizando la ecuación para la densidad de flujo en más de una dimensión ($\vec{j}_s$), al desarrollar las derivadas, obtenemos:
| $ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $ |
La ecuación para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) con el tiempo ($t$) y la densidad de flujo en más de una dimensión ($\vec{j}_s$) es:
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
en relación con
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
se obtiene después de reemplazar y desarrollar la derivada
$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t}=-\vec{\nabla}\cdot(h\vec{j}_s)= K_s\vec{\nabla}\cdot(h\nabla h)=K_s(\vec{\nabla} h\cdot\vec{\nabla} h + h \nabla^2 h)$
que en el caso estacionario se reduce a
| $ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $ |
ID:(4375, 0)