Storyboard

No caso do lençol freático na borda de um corpo de água cujo nível não é afetado pelo seu fluxo (como em uma área costeira ou lacustre), a altura do lençol freático acima desse corpo de água na borda deve ser zero. Assumindo que o solo é homogêneo, o perfil da altura do lençol freático acima do nível da água pode ser calculado, atendendo a essa condição de contorno.

>Modelo

ID:(2083, 0)

Iframe

>Top

ID:(15818, 0)

Conceito

>Top

No caso do fluxo em direção a um corpo d'água, o sistema pode ser modelado de forma unidimensional, onde la altura da coluna d'água no solo ($h$) é uma função de la posição da coluna d'água no solo ($x$). Na borda do corpo d'água, o fluxo longitudinal deve ser igual a o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) multiplicado por la altura de referência da coluna de água ($h_0$), que deve corresponder ao fluxo gerado pela chuva, ou seja, o taxa de precipitação ($r$) multiplicado por o distância horizontal até o topo ($d$), expresso como:

e representado no gráfico:

Para o modelamento, assume-se que o solo é homogêneo com uma constante de la condutividade hidráulica ($K_s$) e que o fluxo se desloca da área com a altura máxima do terreno, que está a o distância horizontal até o topo ($d$), em direção ao corpo d'água.

ID:(15831, 0)

Conceito

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A solução da equação unidimensional de fluxo em direção a um corpo d'água, que calcula o valor de la altura da coluna d'água no solo ($h$) em função de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$) na borda do corpo d'água, juntamente com o distância horizontal até o topo ($d$) e o fator de precipitação ($\mu_r$), é dada por:

Essa solução é representada graficamente em função dos fatores adicionais $h/h_0$ e $x/d$ da seguinte maneira:

A função depende do fator o fator de precipitação ($\mu_r$), que é especialmente influenciado por o taxa de precipitação ($r$) e o distância horizontal até o topo ($d$), de modo que:

Isso indica que, se o efeito da chuva com $r d^2$ predomina sobre a capacidade de fluxo de água do solo, representada por $K_s h_0^2$, ocorrerá acumulação de água no solo. Por outro lado, se a expressão $K_s h_0^2$ predomina, o solo tenderá a "esvaziar-se" em direção ao corpo d'água sem retenção significativa.

ID:(15827, 0)

Conceito

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A solução obtida para a altura e os parâmetros o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) revela que la densidade de fluxo ($j_s$) é dado por:

Podemos representar graficamente la densidade de fluxo ($j_s$) em função dos fatores adicionais $j_s/j_{s0}$ e $x/s_0$ da seguinte maneira:

É perceptível que la densidade de fluxo ($j_s$) continua a aumentar à medida que nos aproximamos do canal, à medida que la altura da coluna d'água no solo ($h$) diminui. Esse aumento é necessário para manter a velocidade do fluxo em la densidade de fluxo ($j_s$) ou, alternativamente, para aumentá-la.

ID:(15828, 0)

Top

>Top

Parâmetros

$h_0$

h_0

Altura de referência da coluna de água

m

$K_s$

K_s

Condutividade hidráulica

m/s

$d$

d

Distância horizontal até o topo

m

$\mu_r$

mu_r

Fator de precipitação

-

$j_{s0}$

j_s0

Fluxo em um ponto de referência

m/s

$r$

r

Taxa de precipitação

m/s

Variáveis

$h$

h

Altura da coluna d'água no solo

m

$x$

x

Posição da coluna d'água no solo

m

$j_s$

j_s

Velocidade do fluido

m/s

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estratégia
• 2D
• 3D

Equação

Equação

Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

---

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado

Equações

ID:(15822, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso estacionário, a variação de la posição da coluna d'água no solo ($x$) do produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la velocidade do fluido ($j_s$) deve ser igual a menos o taxa de precipitação ($r$):

$\displaystyle\frac{d}{dx}( h j_s )= r$

Condições

Variáveis

$h$

Altura da coluna d'água no solo

$m$

10145

$x$

Posição da coluna d'água no solo

$m$

10146

$r$

Taxa de precipitação

$m/s$

10399

$j_s$

Velocidade do fluido

$m/s$

6015

Relação

Desenvolvimento

Se para la altura da coluna d'água no solo ($h$) multiplicado por la densidade de fluxo ($j_s$), a equação para la posição da coluna d'água no solo ($x$) e o tempo ($t$)

$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$

no caso estacionário se reduz a

$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$

isso implica que o produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) por la densidade de fluxo ($j_s$) é constante. Em caso de chuva, a água adere a toda a superfície a uma taxa de um taxa de precipitação ($r$):

$\displaystyle\frac{d}{dx}( h j_s )= r$

Nota: A equação diferencial é uma equação diferencial ordinária, pois depende unicamente de la posição da coluna d'água no solo ($x$) e não de o tempo ($t$).

ID:(15823, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La densidade de fluxo ($j_s$) pode ser expresso em termos de la condutividade hidráulica ($K_s$), la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$) da seguinte maneira:

$j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$

Condições

Variáveis

$h$

Altura da coluna d'água no solo

$m$

10145

$K_s$

Condutividade hidráulica

$m/s$

6048

$x$

Posição da coluna d'água no solo

$m$

10146

$j_s$

Velocidade do fluido

$m/s$

6015

Relação

Desenvolvimento

Dado que la densidade de fluxo ($j_s$) em relação a o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade própria genérica ($q_0$), la porosidade ($f$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$), la viscosidade ($\eta$), la diferença de altura ($\Delta h$) e o comprimento da amostra ($\Delta L$) é representado por

$j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }$

e la condutividade hidráulica ($K_s$) é representado por

$K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$

no limite infinitesimal em que la diferença de altura ($\Delta h$) é igual a la diferencial de altura da coluna ($dh$)

$\Delta h \rightarrow dh$

e em que o comprimento da amostra ($\Delta L$) é igual a la diferencial de distância ($dx$)

$\Delta L \rightarrow dx$

isso nos leva a

$j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$

ID:(15226, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A equação diferencial para calcular la altura da coluna d'água no solo ($h$) em função de la posição da coluna d'água no solo ($x$), o taxa de precipitação ($r$) e la condutividade hidráulica ($K_s$) é:

$\displaystyle\frac{ d }{ dx }\left( h \displaystyle\frac{ dh }{ dx }\right) = -\displaystyle\frac{ r }{ K_s }$

Condições

Variáveis

$h$

Altura da coluna d'água no solo

$m$

10145

$K_s$

Condutividade hidráulica

$m/s$

6048

$x$

Posição da coluna d'água no solo

$m$

10146

$r$

Taxa de precipitação

$m/s$

10399

Relação

Desenvolvimento

A equação para o produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la densidade de fluxo ($j_s$) em função de la posição da coluna d'água no solo ($x$) e o taxa de precipitação ($r$) é a seguinte:

$\displaystyle\frac{d}{dx}( h j_s )= r$

Com a equação que descreve la densidade de fluxo ($j_s$) em termos de la condutividade hidráulica ($K_s$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$):

$j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$

podemos derivar a equação resultante da seguinte maneira:

$\displaystyle\frac{ d }{ dx }\left( h \displaystyle\frac{ dh }{ dx }\right) = -\displaystyle\frac{ r }{ K_s }$

ID:(15824, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O fator de precipitação ($\mu_r$) é definido utilizando o taxa de precipitação ($r$), o distância horizontal até o topo ($d$), la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e la condutividade hidráulica ($K_s$) da seguinte maneira:

$\mu_r \equiv \displaystyle\frac{ r }{ K_s }\displaystyle\frac{ d ^2}{ h_0 ^2}$

Condições

Variáveis

$h_0$

Altura de referência da coluna de água

$m$

10143

$K_s$

Condutividade hidráulica

$m/s$

6048

$d$

Distância horizontal até o topo

$m$

10400

$\mu_r$

Fator de precipitação

$-$

10398

$r$

Taxa de precipitação

$m/s$

10399

Relação

ID:(15829, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$) em função de la altura de referência da coluna de água ($h_0$), la posição da coluna d'água no solo ($x$), o distância horizontal até o topo ($d$) e o fator de precipitação ($\mu_r$) é a seguinte:

$\displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \mu_r \displaystyle\frac{ x }{ d }\left(2- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)}$

Condições

Variáveis

$h$

Altura da coluna d'água no solo

$m$

10145

$h_0$

Altura de referência da coluna de água

$m$

10143

$d$

Distância horizontal até o topo

$m$

10400

$\mu_r$

Fator de precipitação

$-$

10398

$x$

Posição da coluna d'água no solo

$m$

10146

Relação

Desenvolvimento

A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$) em função de la posição da coluna d'água no solo ($x$) e que depende de o taxa de precipitação ($r$) e la condutividade hidráulica ($K_s$) é a seguinte:

$\displaystyle\frac{ d }{ dx }\left( h \displaystyle\frac{ dh }{ dx }\right) = -\displaystyle\frac{ r }{ K_s }$

Podemos rearranjá-la para facilitar a integração da seguinte forma:

$\displaystyle\frac{d}{dx}\left(h\displaystyle\frac{dh}{dx}\right)=\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{d h^2}{dx} = \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{d^2 h^2}{dx^2}=- \displaystyle\frac{r}{K_s}$

Integrando com as condições de que a profundidade na borda do corpo de água é La altura de referência da coluna de água ($h_0$):

$h(0) = h_0$

e que o fluxo em o distância horizontal até o topo ($d$) é nulo:

$j_s(d) = -K_s\displaystyle\frac{d h}{dx}|_{x=d} = 0$

obtemos com o fator de precipitação ($\mu_r$):

$\mu_r \equiv \displaystyle\frac{ r }{ K_s }\displaystyle\frac{ d ^2}{ h_0 ^2}$

que:

$\displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \mu_r \displaystyle\frac{ x }{ d }\left(2- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)}$

ID:(15825, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Podemos estudar o caso estacionário, o que implica que o produto de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) por o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) deve ser constante e, em particular, deve coincidir com o fluxo de chuva dado por o taxa de precipitação ($r$) e o distância horizontal até o topo ($d$):

$h_0 j_{s0} = r d$

Condições

Variáveis

$h_0$

Altura de referência da coluna de água

$m$

10143

$d$

Distância horizontal até o topo

$m$

10400

$j_{s0}$

Fluxo em um ponto de referência

$m/s$

10144

$r$

Taxa de precipitação

$m/s$

10399

Relação

Desenvolvimento

Se para la altura da coluna d'água no solo ($h$) dividido por la densidade de fluxo ($j_s$), a equação com la posição da coluna d'água no solo ($x$) e o tempo ($t$)

$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$

no caso estacionário se reduz a

$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$

isso implica que o produto de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) deve ser constante e, em particular, deve coincidir com o fluxo da chuva representado por o taxa de precipitação ($r$) e o distância horizontal até o topo ($d$). Portanto, temos que:

$h_0 j_{s0} = r d$

Nota: A equação diferencial é uma equação diferencial ordinária, pois depende unicamente de la posição da coluna d'água no solo ($x$) e não de o tempo ($t$).

ID:(15830, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A solução para la densidade de fluxo ($j_s$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$), dados la posição da coluna d'água no solo ($x$), o distância horizontal até o topo ($d$) e o fator de precipitação ($\mu_r$), é a seguinte:

$\displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{\left(1- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)}{\sqrt{1 + \mu_r \displaystyle\frac{ x }{ d }\left(2- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)}}$

Condições

Variáveis

$j_s$

Velocidade do fluido

$m/s$

6015

Relação

Desenvolvimento

Com a solução para la altura da coluna d'água no solo ($h$) baseada em la altura de referência da coluna de água ($h_0$), la posição da coluna d'água no solo ($x$), o distância horizontal até o topo ($d$) e o fator de precipitação ($\mu_r$):

$\displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \mu_r \displaystyle\frac{ x }{ d }\left(2- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)}$

podemos calcular la densidade de fluxo ($j_s$) utilizando la condutividade hidráulica ($K_s$) com:

$j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$

e aplicando o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e o taxa de precipitação ($r$) em:

$h_0 j_{s0} = r d$

dessa forma, obtemos:

$\displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{\left(1- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)}{\sqrt{1 + \mu_r \displaystyle\frac{ x }{ d }\left(2- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)}}$

ID:(15826, 0)