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Fluir para um canal

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Se houver um lençol freático a uma determinada profundidade e uma cavidade na forma de um canal, a água começará a fluir para preenchê-la. À medida que a água flui a uma velocidade igual ao fluxo dentro do lençol freático que a repõe, o canal atingirá uma profundidade que depende desse fluxo.

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ID:(2080, 0)



Mecanismos

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Código
Conceito

Mecanismos

ID:(15815, 0)



Fluir para um canal

Conceito

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No caso do fluxo em direção a um canal, o sistema pode ser modelado de forma unidimensional, onde la altura da coluna d'água no solo ($h$) é uma função de la posição da coluna d'água no solo ($x$) que representa la densidade de fluxo ($j_s$) e satisfaz a condição

$ h j_s = h_0 j_{s0} $



com o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) definindo o perfil da água no solo:



A chave dessa equação é que o produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la densidade de fluxo ($j_s$) deve ser sempre constante. Nesse sentido, se la altura da coluna d'água no solo ($h$) aumenta, la densidade de fluxo ($j_s$) diminui e vice-versa. Além disso, o sinal permanece o mesmo; portanto, o fluxo em direção ao canal, ou seja, o fluxo negativo, ocorrerá apenas quando o nível do lençol freático estiver mais alto do que o do canal. À medida que o líquido se aproxima do canal, o nível do lençol freático diminui, levando a um aumento na densidade do fluxo.

ID:(15104, 0)



Solução de altura de fluxo em direção a um canal

Conceito

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A solução para a equação de fluxo unidimensional em direção a um canal, onde la altura da coluna d'água no solo ($h$) é calculado como função de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$) na borda do canal, juntamente com o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), assume a seguinte forma:

$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $



Esta solução é representada graficamente em termos dos fatores adicionais $h/h_0$ e $x/s_0$ da seguinte forma:



O perfil revela que, longe do canal, a altura da coluna de água é significativamente alta. No entanto, devido à extração de água pelo canal, essa altura começa a diminuir até alcançar a borda do canal. Dinamicamente, la densidade de fluxo ($j_s$) determina a quantidade de água que flui para o canal, enquanto la altura de referência da coluna de água ($h_0$) se ajusta gradualmente até atingir um estado de equilíbrio. Em outras palavras, se o valor de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) for muito baixo em relação à quantidade total de água que chega ao canal, ele aumenta; e se for muito alto, diminui. Dessa forma, la altura de referência da coluna de água ($h_0$) adquire o valor que equilibra a quantidade de água que entra com a quantidade de água que flui pelo canal.

ID:(15109, 0)



Solução de densidade de fluxo em direção a um canal

Conceito

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A solução obtida para a altura e os parâmetros o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) revela que la densidade de fluxo ($j_s$) é dado por:

$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $



Podemos representar graficamente la densidade de fluxo ($j_s$) em função dos fatores adicionais $j_s/j_{s0}$ e $x/s_0$ da seguinte maneira:



É perceptível que la densidade de fluxo ($j_s$) continua a aumentar à medida que nos aproximamos do canal, à medida que la altura da coluna d'água no solo ($h$) diminui. Esse aumento é necessário para manter a velocidade do fluxo em la densidade de fluxo ($j_s$) ou, alternativamente, para aumentá-la.

ID:(15110, 0)



Modelo

Top

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Parâmetros

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS
$h_0$
h_0
Altura de referência da coluna de água
m
$s_0$
s_0
Comprimento característico do fluxo no solo
m
$K_s$
K_s
Condutividade hidráulica
m/s
$j_{s0}$
j_s0
Fluxo em um ponto de referência
m/s

Variáveis

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS
$h$
h
Altura da coluna d'água no solo
m
$x$
x
Posição da coluna d'água no solo
m
$j_s$
j_s
Velocidade do fluido
m/s

Cálculos


Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado




Equações

#
Equação

$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $

h * @DIFF( h , x, 1) = h_0 ^2/ s_0


$ h j_s = h_0 j_{s0} $

h * j_s = h_0 * j_{s0}


$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $

h / h_0 = sqrt(1 + 2* x / s_0 )


$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $

j / j_s0 = 1/sqrt(1 + 2* x / s_0 )


$ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$

s_0 = abs( j_s0 )/( K_s * h_0 )

ID:(15819, 0)



Solução estática em uma dimensão

Equação

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Podemos estudar o caso estacionário, o que implica que la altura da coluna d'água no solo ($h$) dividido por la densidade de fluxo ($j_s$) deve ser constante e, em particular, pode assumir valores em um ponto específico representado por la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$):

$ h j_s = h_0 j_{s0} $

$h$
Altura da coluna d'água no solo
$m$
10145
$h_0$
Altura de referência da coluna de água
$m$
10143
$j_{s0}$
Fluxo em um ponto de referência
$m/s$
10144
$j_s$
Velocidade do fluido
$m/s$
6015

Se, para la altura da coluna d'água no solo ($h$) dividido por la densidade de fluxo ($j_s$), a equação

$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$



no caso estacionário se reduz a

$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$



o que corresponde ao produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) por la densidade de fluxo ($j_s$) sendo constante. Se você tiver valores para um ponto específico definido por la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$), então você tem:

$ h j_s = h_0 j_{s0} $

Nota: A equação diferencial é uma equação diferencial ordinária porque depende apenas da posição $x$ e não mais do tempo $t$.

ID:(15107, 0)



Comprimento característico do fluxo no solo

Equação

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Com la condutividade hidráulica ($K_s$), o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$), pode-se definir um comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) da seguinte forma:

$ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$

$h_0$
Altura de referência da coluna de água
$m$
10143
$s_0$
Comprimento característico do fluxo no solo
$m$
10147
$K_s$
Condutividade hidráulica
$m/s$
6048
$j_{s0}$
Fluxo em um ponto de referência
$m/s$
10144



Para não complicar a análise, definimos a expressão considerando o valor absoluto de o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$), evitando assim situações em que ele seja negativo. Isso significa que, dependendo do sinal de o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$), devemos estabelecer a relação assumindo um valor positivo ou negativo para a derivada, o que define a direção do fluxo.

ID:(4747, 0)



Equação de fluxo em um canal

Equação

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A equação diferencial para calcular la altura da coluna d'água no solo ($h$) como função de la posição da coluna d'água no solo ($x$), la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) é a seguinte:

$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $

$h$
Altura da coluna d'água no solo
$m$
10145
$h_0$
Altura de referência da coluna de água
$m$
10143
$s_0$
Comprimento característico do fluxo no solo
$m$
10147
$x$
Posição da coluna d'água no solo
$m$
10146

A equação para o produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la densidade de fluxo ($j_s$) como função de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) é a seguinte:

$ h j_s = h_0 j_{s0} $



E com a equação que descreve la densidade de fluxo ($j_s$) em termos de la condutividade hidráulica ($K_s$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$):

$ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$



E com a expressão para o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$):

$ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$



Podemos derivar a equação resultante da seguinte maneira:

$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $

ID:(15108, 0)



Altura do fluxo em um canal

Equação

>Top, >Modelo


A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$) como função de o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) e dependente de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) é a seguinte:

$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $

$h$
Altura da coluna d'água no solo
$m$
10145
$h_0$
Altura de referência da coluna de água
$m$
10143
$s_0$
Comprimento característico do fluxo no solo
$m$
10147
$x$
Posição da coluna d'água no solo
$m$
10146

A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$) como função de o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) e dependente de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) é a seguinte:

$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $



Podemos rearranjá-la para facilitar a integração da seguinte maneira:

$h dh = \displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}dx$



Em seguida, integrando em relação a $h_0$, a altura na origem, obtemos:

$\displaystyle\frac{1}{2}(h^2 - h_0^2) =\displaystyle\frac{h_0^2}{s_0}x$



Isso nos leva à seguinte expressão:

$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $

ID:(15105, 0)



Densidade de fluxo em um canal

Equação

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La solução para la densidade de fluxo ($j_s$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) dados la posição da coluna d'água no solo ($x$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), obtemos:

$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $

$s_0$
Comprimento característico do fluxo no solo
$m$
10147
$j_{s0}$
Fluxo em um ponto de referência
$m/s$
10144
$x$
Posição da coluna d'água no solo
$m$
10146
$j_s$
Velocidade do fluido
$m/s$
6015

Com a solução para la densidade de fluxo ($j_s$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) dados la posição da coluna d'água no solo ($x$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), temos:

$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $



Podemos calcular la densidade de fluxo ($j_s$) com la condutividade hidráulica ($K_s$) usando:

$ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$



e empregando

$ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$



desta forma, obtemos:

$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $

ID:(15106, 0)