Storyboard

Se houver um lençol freático a uma determinada profundidade e uma cavidade na forma de um canal, a água começará a fluir para preenchê-la. À medida que a água flui a uma velocidade igual ao fluxo dentro do lençol freático que a repõe, o canal atingirá uma profundidade que depende desse fluxo.

>Modelo

ID:(2080, 0)

Iframe

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ID:(15815, 0)

Conceito

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No caso do fluxo em direção a um canal, o sistema pode ser modelado de forma unidimensional, onde la altura da coluna d'água no solo ($h$) é uma função de la posição da coluna d'água no solo ($x$) que representa la densidade de fluxo ($j_s$) e satisfaz a condição

com o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) definindo o perfil da água no solo:

A chave dessa equação é que o produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la densidade de fluxo ($j_s$) deve ser sempre constante. Nesse sentido, se la altura da coluna d'água no solo ($h$) aumenta, la densidade de fluxo ($j_s$) diminui e vice-versa. Além disso, o sinal permanece o mesmo; portanto, o fluxo em direção ao canal, ou seja, o fluxo negativo, ocorrerá apenas quando o nível do lençol freático estiver mais alto do que o do canal. À medida que o líquido se aproxima do canal, o nível do lençol freático diminui, levando a um aumento na densidade do fluxo.

ID:(15104, 0)

Conceito

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A solução para a equação de fluxo unidimensional em direção a um canal, onde la altura da coluna d'água no solo ($h$) é calculado como função de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$) na borda do canal, juntamente com o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), assume a seguinte forma:

Esta solução é representada graficamente em termos dos fatores adicionais $h/h_0$ e $x/s_0$ da seguinte forma:

O perfil revela que, longe do canal, a altura da coluna de água é significativamente alta. No entanto, devido à extração de água pelo canal, essa altura começa a diminuir até alcançar a borda do canal. Dinamicamente, la densidade de fluxo ($j_s$) determina a quantidade de água que flui para o canal, enquanto la altura de referência da coluna de água ($h_0$) se ajusta gradualmente até atingir um estado de equilíbrio. Em outras palavras, se o valor de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) for muito baixo em relação à quantidade total de água que chega ao canal, ele aumenta; e se for muito alto, diminui. Dessa forma, la altura de referência da coluna de água ($h_0$) adquire o valor que equilibra a quantidade de água que entra com a quantidade de água que flui pelo canal.

ID:(15109, 0)

Conceito

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A solução obtida para a altura e os parâmetros o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) revela que la densidade de fluxo ($j_s$) é dado por:

Podemos representar graficamente la densidade de fluxo ($j_s$) em função dos fatores adicionais $j_s/j_{s0}$ e $x/s_0$ da seguinte maneira:

É perceptível que la densidade de fluxo ($j_s$) continua a aumentar à medida que nos aproximamos do canal, à medida que la altura da coluna d'água no solo ($h$) diminui. Esse aumento é necessário para manter a velocidade do fluxo em la densidade de fluxo ($j_s$) ou, alternativamente, para aumentá-la.

ID:(15110, 0)

Top

>Top

Parâmetros

$h_0$

h_0

Altura de referência da coluna de água

m

$s_0$

s_0

Comprimento característico do fluxo no solo

m

$K_s$

K_s

Condutividade hidráulica

m/s

$j_{s0}$

j_s0

Fluxo em um ponto de referência

m/s

Variáveis

$h$

h

Altura da coluna d'água no solo

m

$x$

x

Posição da coluna d'água no solo

m

$j_s$

j_s

Velocidade do fluido

m/s

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estratégia
• 2D
• 3D

Equação

Equação

Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

---

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado

Equações

ID:(15819, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Podemos estudar o caso estacionário, o que implica que la altura da coluna d'água no solo ($h$) dividido por la densidade de fluxo ($j_s$) deve ser constante e, em particular, pode assumir valores em um ponto específico representado por la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$):

$h j_s = h_0 j_{s0}$

Condições

Variáveis

$h$

Altura da coluna d'água no solo

$m$

10145

$h_0$

Altura de referência da coluna de água

$m$

10143

$j_{s0}$

Fluxo em um ponto de referência

$m/s$

10144

$j_s$

Velocidade do fluido

$m/s$

6015

Relação

Desenvolvimento

Se, para la altura da coluna d'água no solo ($h$) dividido por la densidade de fluxo ($j_s$), a equação

$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$

no caso estacionário se reduz a

$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$

o que corresponde ao produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) por la densidade de fluxo ($j_s$) sendo constante. Se você tiver valores para um ponto específico definido por la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$), então você tem:

$h j_s = h_0 j_{s0}$

Nota: A equação diferencial é uma equação diferencial ordinária porque depende apenas da posição $x$ e não mais do tempo $t$.

ID:(15107, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Com la condutividade hidráulica ($K_s$), o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$), pode-se definir um comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) da seguinte forma:

$s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$

Condições

Variáveis

$h_0$

Altura de referência da coluna de água

$m$

10143

$s_0$

Comprimento característico do fluxo no solo

$m$

10147

$K_s$

Condutividade hidráulica

$m/s$

6048

$j_{s0}$

Fluxo em um ponto de referência

$m/s$

10144

Relação

Para não complicar a análise, definimos a expressão considerando o valor absoluto de o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$), evitando assim situações em que ele seja negativo. Isso significa que, dependendo do sinal de o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$), devemos estabelecer a relação assumindo um valor positivo ou negativo para a derivada, o que define a direção do fluxo.

ID:(4747, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A equação diferencial para calcular la altura da coluna d'água no solo ($h$) como função de la posição da coluna d'água no solo ($x$), la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) é a seguinte:

$h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 }$

Condições

Variáveis

$h$

Altura da coluna d'água no solo

$m$

10145

$h_0$

Altura de referência da coluna de água

$m$

10143

$s_0$

Comprimento característico do fluxo no solo

$m$

10147

$x$

Posição da coluna d'água no solo

$m$

10146

Relação

Desenvolvimento

A equação para o produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la densidade de fluxo ($j_s$) como função de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) é a seguinte:

$h j_s = h_0 j_{s0}$

E com a equação que descreve la densidade de fluxo ($j_s$) em termos de la condutividade hidráulica ($K_s$) e la posição da coluna d'água no solo ($x$):

$j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$

E com a expressão para o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$):

$s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$

Podemos derivar a equação resultante da seguinte maneira:

$h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 }$

ID:(15108, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$) como função de o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) e dependente de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) é a seguinte:

$\displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}$

Condições

Variáveis

$h$

Altura da coluna d'água no solo

$m$

10145

$h_0$

Altura de referência da coluna de água

$m$

10143

$s_0$

Comprimento característico do fluxo no solo

$m$

10147

$x$

Posição da coluna d'água no solo

$m$

10146

Relação

Desenvolvimento

A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$) como função de o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) e dependente de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) é a seguinte:

$h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 }$

Podemos rearranjá-la para facilitar a integração da seguinte maneira:

$h dh = \displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}dx$

Em seguida, integrando em relação a $h_0$, a altura na origem, obtemos:

$\displaystyle\frac{1}{2}(h^2 - h_0^2) =\displaystyle\frac{h_0^2}{s_0}x$

Isso nos leva à seguinte expressão:

$\displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}$

ID:(15105, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La solução para la densidade de fluxo ($j_s$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) dados la posição da coluna d'água no solo ($x$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), obtemos:

$\displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}}$

Condições

Variáveis

$s_0$

Comprimento característico do fluxo no solo

$m$

10147

$j_{s0}$

Fluxo em um ponto de referência

$m/s$

10144

$x$

Posição da coluna d'água no solo

$m$

10146

$j_s$

Velocidade do fluido

$m/s$

6015

Relação

Desenvolvimento

Com a solução para la densidade de fluxo ($j_s$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) dados la posição da coluna d'água no solo ($x$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), temos:

$\displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}$

Podemos calcular la densidade de fluxo ($j_s$) com la condutividade hidráulica ($K_s$) usando:

$j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$

e empregando

$s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$

desta forma, obtemos:

$\displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}}$

ID:(15106, 0)