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Fluir para um canal
Storyboard 
Se houver um lençol freático a uma determinada profundidade e uma cavidade na forma de um canal, a água começará a fluir para preenchê-la. À medida que a água flui a uma velocidade igual ao fluxo dentro do lençol freático que a repõe, o canal atingirá uma profundidade que depende desse fluxo.
ID:(2080, 0)
Fluir para um canal
Conceito
No caso do fluxo em direção a um canal, o sistema pode ser modelado de forma unidimensional, onde la altura da coluna d'água no solo ($h$)10145 é uma função de la posição da coluna d'água no solo ($x$)10146 que representa la densidade de fluxo ($j_s$)7220 e satisfaz a condição
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
com o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$)10144 e la altura de referência da coluna de água ($h_0$)10143 definindo o perfil da água no solo:
A chave dessa equação é que o produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$)10145 e la densidade de fluxo ($j_s$)7220 deve ser sempre constante. Nesse sentido, se la altura da coluna d'água no solo ($h$)10145 aumenta, la densidade de fluxo ($j_s$)7220 diminui e vice-versa. Além disso, o sinal permanece o mesmo; portanto, o fluxo em direção ao canal, ou seja, o fluxo negativo, ocorrerá apenas quando o nível do lençol freático estiver mais alto do que o do canal. À medida que o líquido se aproxima do canal, o nível do lençol freático diminui, levando a um aumento na densidade do fluxo.
ID:(15104, 0)
Solução de altura de fluxo em direção a um canal
Conceito
A solução para a equação de fluxo unidimensional em direção a um canal, onde la altura da coluna d'água no solo ($h$)10145 é calculado como função de la altura de referência da coluna de água ($h_0$)10143 e la posição da coluna d'água no solo ($x$)10146 na borda do canal, juntamente com o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$)10147, assume a seguinte forma:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Esta solução é representada graficamente em termos dos fatores adicionais $h/h_0$ e $x/s_0$ da seguinte forma:
O perfil revela que, longe do canal, a altura da coluna de água é significativamente alta. No entanto, devido à extração de água pelo canal, essa altura começa a diminuir até alcançar a borda do canal. Dinamicamente, la densidade de fluxo ($j_s$)7220 determina a quantidade de água que flui para o canal, enquanto la altura de referência da coluna de água ($h_0$)10143 se ajusta gradualmente até atingir um estado de equilíbrio. Em outras palavras, se o valor de la altura de referência da coluna de água ($h_0$)10143 for muito baixo em relação à quantidade total de água que chega ao canal, ele aumenta; e se for muito alto, diminui. Dessa forma, la altura de referência da coluna de água ($h_0$)10143 adquire o valor que equilibra a quantidade de água que entra com a quantidade de água que flui pelo canal.
ID:(15109, 0)
Solução de densidade de fluxo em direção a um canal
Conceito
A solução obtida para a altura e os parâmetros o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$)10144 e la altura de referência da coluna de água ($h_0$)10143 revela que la densidade de fluxo ($j_s$)7220 é dado por:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Podemos representar graficamente la densidade de fluxo ($j_s$)7220 em função dos fatores adicionais $j_s/j_{s0}$ e $x/s_0$ da seguinte maneira:
É perceptível que la densidade de fluxo ($j_s$)7220 continua a aumentar à medida que nos aproximamos do canal, à medida que la altura da coluna d'água no solo ($h$)10145 diminui. Esse aumento é necessário para manter a velocidade do fluxo em la densidade de fluxo ($j_s$)7220 ou, alternativamente, para aumentá-la.
ID:(15110, 0)
Modelo
Top
Parâmetros
Variáveis
Cálculos
para 
, depois, selecione a variável: 
para 
Cálculos
Cálculos
Variáve 
Dado Calcular 
Objetivo : Equação A ser usado 
Equações
$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $
h * @DIFF( h , x, 1) = h_0 ^2/ s_0
$ h j_s = h_0 j_{s0} $
h * j_s = h_0 * j_{s0}
$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $
h / h_0 = sqrt(1 + 2* x / s_0 )
$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $
j / j_s0 = 1/sqrt(1 + 2* x / s_0 )
$ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$
s_0 = abs( j_s0 )/( K_s * h_0 )
ID:(15819, 0)
Solução estática em uma dimensão
Equação
Podemos estudar o caso estacionário, o que implica que la altura da coluna d'água no solo ($h$)10145 dividido por la densidade de fluxo ($j_s$)7220 deve ser constante e, em particular, pode assumir valores em um ponto específico representado por la altura de referência da coluna de água ($h_0$)10143 e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$)10144:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Se, para la altura da coluna d'água no solo ($h$)10145 dividido por la densidade de fluxo ($j_s$)7220, a equação
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
no caso estacionário se reduz a
$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$
o que corresponde ao produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$)10145 por la densidade de fluxo ($j_s$)7220 sendo constante. Se você tiver valores para um ponto específico definido por la altura de referência da coluna de água ($h_0$)10143 e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$)10144, então você tem:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Nota: A equação diferencial é uma equação diferencial ordinária porque depende apenas da posição $x$ e não mais do tempo $t$.
ID:(15107, 0)
Comprimento característico do fluxo no solo
Equação
Com la condutividade hidráulica ($K_s$)6048, o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$)10144 e la altura de referência da coluna de água ($h_0$)10143, pode-se definir um comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$)10147,1 da seguinte forma:
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
Para não complicar a análise, definimos a expressão considerando o valor absoluto de o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$)10144, evitando assim situações em que ele seja negativo. Isso significa que, dependendo do sinal de o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$)10144, devemos estabelecer a relação assumindo um valor positivo ou negativo para a derivada, o que define a direção do fluxo.
ID:(4747, 0)
Equação de fluxo em um canal
Equação
A equação diferencial para calcular la altura da coluna d'água no solo ($h$)10145 como função de la posição da coluna d'água no solo ($x$)10146, la altura de referência da coluna de água ($h_0$)10143 e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$)10147 é a seguinte:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
A equação para o produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$)10145 e la densidade de fluxo ($j_s$)7220 como função de la altura de referência da coluna de água ($h_0$)10143 e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$)10144 é a seguinte:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
E com a equação que descreve la densidade de fluxo ($j_s$)7220 em termos de la condutividade hidráulica ($K_s$)6048 e la posição da coluna d'água no solo ($x$)10146:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
E com a expressão para o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$)10147:
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
Podemos derivar a equação resultante da seguinte maneira:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
ID:(15108, 0)
Altura do fluxo em um canal
Equação
A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$)10145 como função de o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$)10147 e dependente de la altura de referência da coluna de água ($h_0$)10143 e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$)10147 é a seguinte:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$)10145 como função de o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$)10147 e dependente de la altura de referência da coluna de água ($h_0$)10143 e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$)10147 é a seguinte:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
Podemos rearranjá-la para facilitar a integração da seguinte maneira:
$h dh = \displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}dx$
Em seguida, integrando em relação a $h_0$, a altura na origem, obtemos:
$\displaystyle\frac{1}{2}(h^2 - h_0^2) =\displaystyle\frac{h_0^2}{s_0}x$
Isso nos leva à seguinte expressão:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
ID:(15105, 0)
Densidade de fluxo em um canal
Equação
La solução para la densidade de fluxo ($j_s$)7220 e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$)10144 dados la posição da coluna d'água no solo ($x$)10146 e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$)10147, obtemos:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Com a solução para la densidade de fluxo ($j_s$)7220 e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$)10144 dados la posição da coluna d'água no solo ($x$)10146 e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$)10147, temos:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Podemos calcular la densidade de fluxo ($j_s$)7220 com la condutividade hidráulica ($K_s$)6048 usando:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
e empregando
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
desta forma, obtemos:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
ID:(15106, 0)