Benützer:
Grundwasserspiegel in der Nähe eines Gewässers
Storyboard 
Im Falle eines Grundwasserspiegels am Rand eines Gewässers, dessen Pegel nicht durch seinen Fluss beeinflusst wird (wie in einem Küsten- oder Seengebiet), muss die Höhe des Grundwasserspiegels über dem Gewässerrand null sein. Unter der Annahme, dass der Boden homogen ist, kann das Profil der Höhe des Grundwasserspiegels über dem Wasserspiegel berechnet werden, wobei diese Randbedingung erfüllt wird.
ID:(2083, 0)
Regen fließt in ein Gewässer
Konzept
Im Fall des Flusses zu einem Gewässer kann das System eindimensional modelliert werden, wobei die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$)10145 eine Funktion von die Position der Wassersäule am Boden ($x$)10146 ist. Am Rand des Gewässers muss der longitudinale Fluss gleich der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$)10144 mal die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$)10143 sein, was dem durch den Regen erzeugten Fluss entsprechen sollte, d.h. Der Niederschlagsmenge ($r$)10399 mal der Horizontaler Abstand bis zur Spitze ($d$)10400, dargestellt als:
| $ h_0 j_{s0} = r d $ |
und in der Grafik dargestellt:
None
Für das Modell wird angenommen, dass der Boden homogen mit einer konstanten die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$)6048 ist und dass der Fluss von der Zone mit der maximalen Geländehöhe, die sich bei der Horizontaler Abstand bis zur Spitze ($d$)10400 befindet, zum Gewässer fließt.
ID:(15831, 0)
Fließhöhe der Lösung in ein Gewässer
Konzept
Die Lösung der eindimensionalen Flussgleichung zu einem Gewässer, die den Wert von die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$)10145 als Funktion von die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$)10143 und die Position der Wassersäule am Boden ($x$)10146 am Rand des Gewässers zusammen mit der Horizontaler Abstand bis zur Spitze ($d$)10400 und der Niederschlagsfaktor ($\mu_r$)10398 berechnet, lautet:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \mu_r \displaystyle\frac{ x }{ d }\left(2- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)} $ |
Diese Lösung wird grafisch in Abhängigkeit von den zusätzlichen Faktoren $h/h_0$ und $x/d$ wie folgt dargestellt:
None
Die Funktion hängt vom Faktor der Niederschlagsfaktor ($\mu_r$)10398 ab, der insbesondere von der Niederschlagsmenge ($r$)10399 und der Horizontaler Abstand bis zur Spitze ($d$)10400 beeinflusst wird, sodass:
| $ \mu_r \equiv \displaystyle\frac{ r }{ K_s }\displaystyle\frac{ d ^2}{ h_0 ^2}$ |
Das bedeutet, dass, wenn der Einfluss des Niederschlags mit $r d^2$ die Wasserflusskapazität des Bodens, dargestellt durch $K_s h_0^2$, überwiegt, Wasser im Boden angereichert wird. Im Gegensatz dazu wird, wenn die Expression $K_s h_0^2$ dominiert, der Boden dazu neigen, zum Gewässer entleert zu werden, ohne wesentliche Rückhaltung.
ID:(15827, 0)
Flussdichtelösung in Richtung eines Gewässers
Konzept
Die erhaltene Lösung für die Höhe und die Parameter der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$)10144 und die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$)10143 zeigt, dass die Flussdichte ($j_s$)7220 wie folgt berechnet wird:
| $\displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{\left(1- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)}{\sqrt{1 + \mu_r \displaystyle\frac{ x }{ d }\left(2- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)}}$ |
Wir können die Flussdichte ($j_s$)7220 graphisch in Abhängigkeit von den zusätzlichen Faktoren $j_s/j_{s0}$ und $x/s_0$ wie folgt darstellen:
None
Es fällt auf, dass die Flussdichte ($j_s$)7220 weiter zunimmt, je näher wir dem Kanal kommen, da die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$)10145 abnimmt. Dieser Anstieg ist erforderlich, um die Fließgeschwindigkeit in die Flussdichte ($j_s$)7220 aufrechtzuerhalten oder alternativ, um sie zu erhöhen.
ID:(15828, 0)
Modell
Top
Parameter
Variablen
Berechnungen
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \mu_r \displaystyle\frac{ x }{ d }\left(2- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)} $
h / h_0 = sqrt(1 + mu_r * x *(2 - x / d )/ d )
$ h_0 j_{s0} = r d $
h_0 * j_s0 = r * d
$\displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{\left(1- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)}{\sqrt{1 + \mu_r \displaystyle\frac{ x }{ d }\left(2- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)}}$
j_s / j_s0 = (1- x / d )/sqrt(1 + mu_r * x *(2- x / d )/ d )
$ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$
j_s = - K_s * dh / dx
$ \mu_r \equiv \displaystyle\frac{ r }{ K_s }\displaystyle\frac{ d ^2}{ h_0 ^2}$
mu_r = r * d ^2/( K_s * h_0 ^2)
$\displaystyle\frac{ d }{ dx }\left( h \displaystyle\frac{ dh }{ dx }\right) = -\displaystyle\frac{ r }{ K_s } $
@DIFF( h * @DIFF( h , x, 1), x ,1) = - r / K_s
$\displaystyle\frac{d}{dx}( h j_s )= r $
@DIFF( h * j_s , x ,1) = r
ID:(15822, 0)
Strömungsausgleich mit Regen
Gleichung
Im stationären Fall muss die Variation von die Position der Wassersäule am Boden ($x$)10146 des Produkts von die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$)10145 und die Flüssigkeitsgeschwindigkeit ($j_s$)6015 gleich minus der Niederschlagsmenge ($r$)10399 sein:
| $\displaystyle\frac{d}{dx}( h j_s )= r $ |
Wenn für die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$)10145 multipliziert mit die Flussdichte ($j_s$)7220 die Gleichung für die Position der Wassersäule am Boden ($x$)10146 und der Zeit ($t$)10190
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
im stationären Fall zu
$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$
wird, impliziert dies, dass das Produkt von die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$)10145 und die Flussdichte ($j_s$)7220 konstant ist. Im Falle von Regen haftet das Wasser mit einer Rate von ein Niederschlagsmenge ($r$)10399,1 auf der gesamten Oberfläche:
| $\displaystyle\frac{d}{dx}( h j_s )= r $ |
Hinweis: Die Differentialgleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, da sie ausschließlich von die Position der Wassersäule am Boden ($x$)10146 und nicht von der Zeit ($t$)10190 abhängt.
ID:(15823, 0)
Strömungsdichte und hydraulische Leitfähigkeit
Gleichung
Die Flussdichte ($j_s$)7220 kann in Bezug auf die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$)6048, die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$)10145 und die Position der Wassersäule am Boden ($x$)10146 wie folgt ausgedrückt werden:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
Angesichts der Tatsache, dass die Flussdichte ($j_s$)7220 in Bezug auf der Radius einer generischen Korns ($r_0$)10129, die Generische eigene Porosität ($q_0$)10130, die Porosität ($f$)5805, die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$)5407, die Gravitationsbeschleunigung ($g$)5310, die Viskosität ($\eta$)5422, die Höhendifferenz ($\Delta h$)5446 und der Probenlänge ($\Delta L$)10131 dargestellt wird durch
| $ j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }$ |
und die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$)6048 wird dargestellt durch
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
im infinitesimalen Grenzwert, in dem die Höhendifferenz ($\Delta h$)5446 gleich die Säulenhöhenunterschied ($dh$)10141 ist
$\Delta h \rightarrow dh$
und in dem der Probenlänge ($\Delta L$)10131 gleich die Distanzdifferenz ($dx$)10142 ist
$\Delta L \rightarrow dx$
führt uns dies zu
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
ID:(15226, 0)
Gleichung für den Zufluss in ein Gewässer
Gleichung
Die Differentialgleichung zur Berechnung von die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$)10145 in Abhängigkeit von die Position der Wassersäule am Boden ($x$)10146, der Niederschlagsmenge ($r$)10399 und die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$)6048 lautet:
| $\displaystyle\frac{ d }{ dx }\left( h \displaystyle\frac{ dh }{ dx }\right) = -\displaystyle\frac{ r }{ K_s } $ |
Die Gleichung für das Produkt von die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$)10145 und die Flussdichte ($j_s$)7220 in Abhängigkeit von die Position der Wassersäule am Boden ($x$)10146 und der Niederschlagsmenge ($r$)10399 lautet wie folgt:
| $\displaystyle\frac{d}{dx}( h j_s )= r $ |
Mit der Gleichung, die die Flussdichte ($j_s$)7220 in Bezug auf die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$)6048 und die Position der Wassersäule am Boden ($x$)10146 beschreibt:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
können wir die resultierende Gleichung wie folgt ableiten:
| $\displaystyle\frac{ d }{ dx }\left( h \displaystyle\frac{ dh }{ dx }\right) = -\displaystyle\frac{ r }{ K_s } $ |
ID:(15824, 0)
Niederschlagsfaktor
Gleichung
Der Niederschlagsfaktor ($\mu_r$)10398 wird unter Verwendung von der Niederschlagsmenge ($r$)10399, der Horizontaler Abstand bis zur Spitze ($d$)10400, die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$)10143 und die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$)6048 wie folgt definiert:
| $ \mu_r \equiv \displaystyle\frac{ r }{ K_s }\displaystyle\frac{ d ^2}{ h_0 ^2}$ |
ID:(15829, 0)
Fließhöhe in ein Gewässer
Gleichung
Die Gleichung für die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$)10145 in Abhängigkeit von die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$)10143, die Position der Wassersäule am Boden ($x$)10146, der Horizontaler Abstand bis zur Spitze ($d$)10400 und der Niederschlagsfaktor ($\mu_r$)10398 lautet wie folgt:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \mu_r \displaystyle\frac{ x }{ d }\left(2- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)} $ |
Die Gleichung für die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$)10145 in Abhängigkeit von die Position der Wassersäule am Boden ($x$)10146 und die von der Niederschlagsmenge ($r$)10399 und die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$)6048 abhängt, lautet wie folgt:
| $\displaystyle\frac{ d }{ dx }\left( h \displaystyle\frac{ dh }{ dx }\right) = -\displaystyle\frac{ r }{ K_s } $ |
Wir können sie wie folgt umstellen, um die Integration zu erleichtern:
$\displaystyle\frac{d}{dx}\left(h\displaystyle\frac{dh}{dx}\right)=\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{d h^2}{dx} = \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{d^2 h^2}{dx^2}=- \displaystyle\frac{r}{K_s}$
Integration mit den Bedingungen, dass die Tiefe am Rand des Gewässers die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$)10143 beträgt:
$h(0) = h_0$
und dass der Fluss bei der Horizontaler Abstand bis zur Spitze ($d$)10400 null ist:
$j_s(d) = -K_s\displaystyle\frac{d h}{dx}|_{x=d} = 0$
wir erhalten mit der Niederschlagsfaktor ($\mu_r$)10398:
| $ \mu_r \equiv \displaystyle\frac{ r }{ K_s }\displaystyle\frac{ d ^2}{ h_0 ^2}$ |
dass:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \mu_r \displaystyle\frac{ x }{ d }\left(2- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)} $ |
ID:(15825, 0)
Statische Lösung in einer Dimension
Gleichung
Wir können den stationären Fall untersuchen, was impliziert, dass das Produkt von die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$)10143 und der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$)10144 konstant sein muss und insbesondere mit dem durch der Niederschlagsmenge ($r$)10399 und der Horizontaler Abstand bis zur Spitze ($d$)10400 gegebenen Regenfluss übereinstimmen muss:
| $ h_0 j_{s0} = r d $ |
Wenn für die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$)10145 geteilt durch die Flussdichte ($j_s$)7220 die Gleichung mit die Position der Wassersäule am Boden ($x$)10146 und der Zeit ($t$)10190
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
im stationären Fall zu
$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$
wird, bedeutet dies, dass das Produkt von die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$)10143 und der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$)10144 konstant sein muss und insbesondere mit dem durch der Niederschlagsmenge ($r$)10399 und der Horizontaler Abstand bis zur Spitze ($d$)10400 gegebenen Regenfluss übereinstimmen muss. Daher gilt:
| $ h_0 j_{s0} = r d $ |
Hinweis: Die Differentialgleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, da sie ausschließlich von die Position der Wassersäule am Boden ($x$)10146 und nicht von der Zeit ($t$)10190 abhängt.
ID:(15830, 0)
Fließdichte in ein Gewässer
Gleichung
Die Lösung für die Flussdichte ($j_s$)7220 und der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$)10144 unter den gegebenen die Position der Wassersäule am Boden ($x$)10146, der Horizontaler Abstand bis zur Spitze ($d$)10400 und der Niederschlagsfaktor ($\mu_r$)10398 lautet wie folgt:
| $\displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{\left(1- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)}{\sqrt{1 + \mu_r \displaystyle\frac{ x }{ d }\left(2- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)}}$ |
Mit der Lösung für die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$)10145 basierend auf die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$)10143, die Position der Wassersäule am Boden ($x$)10146, der Horizontaler Abstand bis zur Spitze ($d$)10400 und der Niederschlagsfaktor ($\mu_r$)10398:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \mu_r \displaystyle\frac{ x }{ d }\left(2- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)} $ |
können wir die Flussdichte ($j_s$)7220 unter Verwendung von die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$)6048 berechnen mit:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
und durch Anwendung von der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$)10144 und der Niederschlagsmenge ($r$)10399 in:
| $ h_0 j_{s0} = r d $ |
auf diese Weise erhalten wir:
| $\displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{\left(1- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)}{\sqrt{1 + \mu_r \displaystyle\frac{ x }{ d }\left(2- \displaystyle\frac{ x }{ d }\right)}}$ |
ID:(15826, 0)