Storyboard

Se houver um lençol freático a uma determinada profundidade e uma cavidade mais profunda que esse lençol, a água começará a fluir para dentro da cavidade. À medida que a água é extraída a uma velocidade igual ao fluxo do lençol que a repõe, formará um espelho d'água a uma profundidade que depende desse fluxo.

>Modelo

ID:(2082, 0)

Iframe

>Top

ID:(15817, 0)

Conceito

>Top

No caso do fluxo de água subterrânea em direção a um poço, la altura da coluna d'água no solo ($h$) como uma função de o raio do centro do poço ($r$) com o raio do poço de água ($r_0$), o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) é representado por

o que define o perfil da água no solo:

ID:(4371, 0)

Conceito

>Top

A solução para a equação de fluxo unidimensional em direção a um poço, na qual o valor de la altura da coluna d'água no solo ($h$) é calculado como uma função de o raio do centro do poço ($r$), la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o raio do poço de água ($r_0$) na borda do poço, juntamente com o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), tem a seguinte forma:

Esta solução é representada graficamente em termos dos fatores adicionais $h/h_0$ e $r/r_0$ para vários valores de $r_0/s_0$, da seguinte forma:

O perfil revela que, longe do poço, a altura da coluna de água é significativamente alta. No entanto, devido à extração de água pelo poço, essa altura começa a diminuir até alcançar a borda do poço. De forma dinâmica, la densidade de fluxo ($j_s$) determina a quantidade de água que flui em direção ao poço, enquanto la altura de referência da coluna de água ($h_0$) se ajusta gradualmente para atingir um estado de equilíbrio. Em outras palavras, se o valor de la altura de referência da coluna de água ($h_0$) for muito baixo em relação à quantidade total de água que chega ao poço, ele aumenta, e se for muito alto, diminui. Dessa forma, la altura de referência da coluna de água ($h_0$) adquire o valor que equilibra a quantidade de água que chega com a quantidade de água que é extraída através do poço.

ID:(10591, 0)

Conceito

>Top

A solução obtida para a altura e os parâmetros o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e o raio do centro do poço ($r$), o raio do poço de água ($r_0$), o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) nos mostra que la densidade de fluxo ($j_s$) é igual a:

Esta solução é representada graficamente em termos dos fatores adicionais $j_s/j_{s0}$ e $r/r_0$ para vários valores de $r_0/s_0$ da seguinte forma:

la densidade de fluxo ($j_s$) continua a aumentar à medida que nos aproximamos do canal, enquanto la altura da coluna d'água no solo ($h$) diminui. Esse aumento é necessário para manter a velocidade do fluxo em la densidade de fluxo ($j_s$) ou, alternativamente, para aumentá-la.

ID:(2209, 0)

Top

>Top

Parâmetros

$h_0$

h_0

Altura de referência da coluna de água

m

$s_0$

s_0

Comprimento característico do fluxo no solo

m

$j_{s0}$

j_s0

Fluxo em um ponto de referência

m/s

Variáveis

$h$

h

Altura da coluna d'água no solo

m

$r$

r

Raio do centro do poço

m

$r_0$

r_0

Raio do poço de água

m

$j_s$

j_s

Velocidade do fluido

m/s

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estratégia
• 2D
• 3D

Equação

Equação

Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

---

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado

Equações

ID:(15821, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Podemos estudar o caso estacionário, o que implica que la altura da coluna d'água no solo ($h$) dividido por la densidade de fluxo ($j_s$) deve ser constante e, em particular, pode assumir valores em um ponto específico representado por la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$):

$h j_s = h_0 j_{s0}$

Condições

Variáveis

$h$

Altura da coluna d'água no solo

$m$

10145

$h_0$

Altura de referência da coluna de água

$m$

10143

$j_{s0}$

Fluxo em um ponto de referência

$m/s$

10144

$j_s$

Velocidade do fluido

$m/s$

6015

Relação

Desenvolvimento

Se, para la altura da coluna d'água no solo ($h$) dividido por la densidade de fluxo ($j_s$), a equação

$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$

no caso estacionário se reduz a

$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$

o que corresponde ao produto de la altura da coluna d'água no solo ($h$) por la densidade de fluxo ($j_s$) sendo constante. Se você tiver valores para um ponto específico definido por la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$), então você tem:

$h j_s = h_0 j_{s0}$

Nota: A equação diferencial é uma equação diferencial ordinária porque depende apenas da posição $x$ e não mais do tempo $t$.

ID:(15107, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso do poço, podemos trabalhar com um sistema de coordenadas polares e assumir simetria angular, o que significa que la altura da coluna d'água no solo ($h$) depende apenas de o raio do centro do poço ($r$) e satisfaz a equação

$r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 }$

Condições

Variáveis

$h$

Altura da coluna d'água no solo

$m$

10145

$h_0$

Altura de referência da coluna de água

$m$

10143

$s_0$

Comprimento característico do fluxo no solo

$m$

10147

$r$

Raio do centro do poço

$m$

10150

$r_0$

Raio do poço de água

$m$

10149

Relação

Desenvolvimento

Como la altura da coluna d'água no solo ($h$) satisfaz

$h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0$

e em coordenadas polares com o raio do centro do poço ($r$) para o caso de simetria angular, temos

$\vec{\nabla}h = \displaystyle\frac{du}{dr}\hat{r}$

e

$\nabla ^2h = \displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d}{dr}\left(r\displaystyle\frac{dh}{dr}\right)$

obtemos

$\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d}{dr}\left(r\displaystyle\frac{dh^2}{dr}\right)=0$

ou

$r\displaystyle\frac{dh^2}{dr}=C$

com $C$ como uma constante. Por outro lado, a equação com la condutividade hidráulica ($K_s$) e la densidade de fluxo em mais de uma dimensão ($\vec{j}_s$)

$\vec{j}_s = - K_s \nabla h$

em coordenadas polares com simetria rotacional se reduz a

$j_s = - K_s \displaystyle\frac{dh}{dr}$

o que na superfície do poço com o raio do poço de água ($r_0$), o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) leva à conclusão de que com

$s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$

nós temos

$C=r_0\displaystyle\frac{dh^2}{dr}=r_02h_0\displaystyle\frac{dh}{dr}=2r_0h_0\displaystyle\frac{|j_{s0}|}{K_sh_0}=2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}$

resultando em

$r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 }$

ID:(4430, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso do fluxo em direção a um poço, la altura da coluna d'água no solo ($h$) como uma função de o raio do centro do poço ($r$) com o raio do poço de água ($r_0$), o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) é representado por:

$\displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)}$

Condições

Variáveis

$h$

Altura da coluna d'água no solo

$m$

10145

$h_0$

Altura de referência da coluna de água

$m$

10143

$s_0$

Comprimento característico do fluxo no solo

$m$

10147

$r$

Raio do centro do poço

$m$

10150

$r_0$

Raio do poço de água

$m$

10149

Relação

Desenvolvimento

A equação para la altura da coluna d'água no solo ($h$) em função de o raio do centro do poço ($r$) com o raio do poço de água ($r_0$), o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) é a seguinte:

$r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 }$

Esta equação pode ser rearranjada para facilitar a integração da seguinte forma:

$dh^2 = 2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}\displaystyle\frac{dr}{r}$

Em seguida, integrando ambos os lados, obtemos a altura na parede do poço com la altura de referência da coluna de água ($h_0$) e o raio do poço de água ($r_0$):

$h^2 - h_0^2 = 2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)$

Finalmente, rearranjando la altura da coluna d'água no solo ($h$), obtemos:

$\displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)}$

ID:(10593, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La solução para la densidade de fluxo ($j_s$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) dados o raio do centro do poço ($r$), o raio do poço de água ($r_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), obtemos:

$\displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$

Condições

Variáveis

$s_0$

Comprimento característico do fluxo no solo

$m$

10147

$j_{s0}$

Fluxo em um ponto de referência

$m/s$

10144

$r$

Raio do centro do poço

$m$

10150

$r_0$

Raio do poço de água

$m$

10149

$j_s$

Velocidade do fluido

$m/s$

6015

Relação

Desenvolvimento

Com a solução para la altura da coluna d'água no solo ($h$) e la altura de referência da coluna de água ($h_0$) dados o raio do centro do poço ($r$), o raio do poço de água ($r_0$) e o comprimento característico do fluxo no solo ($s_0$), obtemos:

$\displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)}$

Podemos calcular la densidade de fluxo em mais de uma dimensão ($\vec{j}_s$) a partir de la condutividade hidráulica ($K_s$) da seguinte forma:

$\vec{j}_s = - K_s \nabla h$

E com la densidade de fluxo ($j_s$) e o fluxo em um ponto de referência ($j_{s0}$) utilizando

$s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$

desta forma, obtemos:

$\displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$

ID:(4368, 0)