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In einen Kanal fließen
Storyboard 
Wenn es einen Grundwasserspiegel in einer bestimmten Tiefe und eine Vertiefung in Form eines Kanals gibt, wird das Wasser anfangen, in diesen zu fließen. Während das Wasser mit einer Geschwindigkeit fließt, die dem Zufluss innerhalb des Grundwasserspiegels entspricht, wird der Kanal eine Tiefe erreichen, die von diesem Zufluss abhängt.
ID:(2080, 0)
In einen Kanal fließen
Konzept
Im Fall des Flusses in Richtung eines Kanals kann das System eindimensional modelliert werden, wobei die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) eine Funktion von die Position der Wassersäule am Boden ($x$) ist, die die Flussdichte ($j_s$) repräsentiert und die Bedingung erfüllt
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
mit der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) und die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$), die das Profil des Wassers im Boden definieren:
None
Der Schlüssel zu dieser Gleichung besteht darin, dass das Produkt aus die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) und die Flussdichte ($j_s$) immer konstant sein muss. In diesem Sinne, wenn die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) steigt, sinkt die Flussdichte ($j_s$) und umgekehrt. Das Vorzeichen bleibt dabei immer gleich; daher wird der Fluss in Richtung des Kanals, d.h., der negative Fluss, nur auftreten, wenn der Grundwasserspiegel höher ist als der des Kanals. Wenn die Flüssigkeit dem Kanal näher kommt, sinkt der Grundwasserspiegel, was zu einer Zunahme der Flussdichte führt.
ID:(15104, 0)
Fließhöhenlösung in Richtung eines Kanals
Konzept
Die Lösung der eindimensionalen Strömungsgleichung in Richtung eines Kanals, bei der die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) als Funktion von die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) und die Position der Wassersäule am Boden ($x$) am Rand des Kanals zusammen mit der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$) berechnet wird, hat folgende Form:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Diese Lösung wird graphisch in Abhängigkeit von den zusätzlichen Faktoren $h/h_0$ und $x/s_0$ wie folgt dargestellt:
None
Das Profil zeigt, dass die Höhe der Wassersäule fernab des Kanals deutlich hoch ist. Aufgrund der Wasserentnahme durch den Kanal beginnt diese Höhe jedoch abzunehmen, bis sie den Rand des Kanals erreicht. Dynamisch bestimmt die Flussdichte ($j_s$) die Menge des in den Kanal fließenden Wassers, während sich die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) allmählich anpasst, bis es einen Gleichgewichtszustand erreicht. Mit anderen Worten, wenn der Wert von die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) im Verhältnis zur Gesamtmenge des ankommenden Wassers zu niedrig ist, erhöht er sich, und wenn er zu hoch ist, nimmt er ab. Auf diese Weise nimmt die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) den Wert an, der die Menge des eintreffenden Wassers mit der Menge des durch den Kanal fließenden Wassers ausgleicht.
ID:(15109, 0)
Flussdichtelösung in Richtung eines Kanals
Konzept
Die erhaltene Lösung für die Höhe und die Parameter der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) und die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) zeigt, dass die Flussdichte ($j_s$) wie folgt berechnet wird:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Wir können die Flussdichte ($j_s$) graphisch in Abhängigkeit von den zusätzlichen Faktoren $j_s/j_{s0}$ und $x/s_0$ wie folgt darstellen:
None
Es fällt auf, dass die Flussdichte ($j_s$) weiter zunimmt, je näher wir dem Kanal kommen, da die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) abnimmt. Dieser Anstieg ist erforderlich, um die Fließgeschwindigkeit in die Flussdichte ($j_s$) aufrechtzuerhalten oder alternativ, um sie zu erhöhen.
ID:(15110, 0)
Modell
Top
Parameter
Variablen
Berechnungen
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $
h * @DIFF( h , x, 1) = h_0 ^2/ s_0
$ h j_s = h_0 j_{s0} $
h * j_s = h_0 * j_{s0}
$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $
h / h_0 = sqrt(1 + 2* x / s_0 )
$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $
j / j_s0 = 1/sqrt(1 + 2* x / s_0 )
$ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$
s_0 = abs( j_s0 )/( K_s * h_0 )
ID:(15819, 0)
Statische Lösung in einer Dimension
Gleichung
können wir den stationären Fall untersuchen, was bedeutet, dass die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) durch die Flussdichte ($j_s$) konstant sein muss und insbesondere Werte an einem bestimmten Punkt annehmen kann, der durch die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) und der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) dargestellt wird:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Wenn für die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) geteilt durch die Flussdichte ($j_s$) die Gleichung
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
im stationären Fall auf
$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$
reduziert wird, was dem konstanten Produkt von die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) und die Flussdichte ($j_s$) entspricht. Wenn Sie Werte für einen bestimmten Punkt haben, der durch die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) und der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) definiert ist, dann haben Sie:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Hinweis: Die Differentialgleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, da sie ausschließlich von der Position $x$ abhängt und nicht mehr von der Zeit $t$.
ID:(15107, 0)
Charakteristische Länge der Strömung im Boden
Gleichung
Mit die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$), der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) und die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) kann ein Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$) wie folgt definiert werden:
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
Um die Analyse nicht zu komplizieren, haben wir die Ausdrucksweise unter Berücksichtigung des Betrags von der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) definiert, um Situationen zu vermeiden, in denen dieser negativ ist. Dies bedeutet, dass je nach Vorzeichen von der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) die Beziehung unter Annahme einer positiven oder negativen Ableitung ausgedrückt werden muss, was die Flussrichtung definiert.
ID:(4747, 0)
Fließgleichung in einen Kanal
Gleichung
Die Differentialgleichung zur Berechnung von die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) als Funktion von die Position der Wassersäule am Boden ($x$), die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) und der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$) lautet:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
Die Gleichung für das Produkt von die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) und die Flussdichte ($j_s$) als Funktion von die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) und der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) lautet:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Und mit der Gleichung, die die Flussdichte ($j_s$) in Bezug auf die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$) und die Position der Wassersäule am Boden ($x$) beschreibt:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
Und mit dem Ausdruck für der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$):
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
Können wir die resultierende Gleichung wie folgt ableiten:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
ID:(15108, 0)
Fließhöhe in einen Kanal
Gleichung
Die Gleichung für die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) als Funktion von der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$) und abhängig von die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) und der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$) lautet wie folgt:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Die Gleichung für die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) als Funktion von der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$) und abhängig von die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) und der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$) lautet wie folgt:
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
Wir können sie umstellen, um die Integration zu erleichtern, wie folgt:
$h dh = \displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}dx$
Dann, indem wir bezüglich von $h_0$, der Höhe am Ursprung, integrieren, erhalten wir:
$\displaystyle\frac{1}{2}(h^2 - h_0^2) =\displaystyle\frac{h_0^2}{s_0}x$
Dies führt uns zu folgendem Ausdruck:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
ID:(15105, 0)
Strömungsdichte im Fluß zum Kanal
Gleichung
Die Lösung für die Flussdichte ($j_s$) und der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) bei gegebenem die Position der Wassersäule am Boden ($x$) und der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$):
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Mit der Lösung für die Flussdichte ($j_s$) und der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) bei gegebenem die Position der Wassersäule am Boden ($x$) und der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$) erhalten wir:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Wir können die Flussdichte ($j_s$) mit die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$) berechnen, indem wir verwenden:
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
und unter Verwendung von
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
erhalten wir auf diese Weise:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
ID:(15106, 0)