Benützer:
In einen Brunnen fließen
Storyboard 
Wenn es einen Grundwasserspiegel in einer bestimmten Tiefe gibt und eine Vertiefung, die tiefer als der Grundwasserspiegel ist, wird Wasser in die Vertiefung fließen. Während Wasser mit einer Geschwindigkeit entnommen wird, die dem Zufluss aus dem Grundwasserspiegel entspricht, bildet sich ein Wasserspiegel in einer Tiefe, die von diesem Zufluss abhängt.
ID:(2082, 0)
In einen Brunnen fließen
Konzept
Im Fall des Grundwasserflusses zu einem Brunnen wird die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) als Funktion von der Radius von der Mitte des Bohrlochs ($r$) mit der Brunnenradius ($r_0$), der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$) und die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) durch
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
repräsentiert, was das Wasserprofil im Boden definiert:
ID:(4371, 0)
Fließhöhenlösung in Richtung eines Brunnens
Konzept
Die Lösung der eindimensionalen Fließgleichung zu einem Brunnen, bei der der Wert von die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) als Funktion von der Radius von der Mitte des Bohrlochs ($r$), die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) und der Brunnenradius ($r_0$) am Rand des Brunnens zusammen mit der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$) berechnet wird, hat folgende Form:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
Diese Lösung wird graphisch in Bezug auf die zusätzlichen Faktoren $h/h_0$ und $r/r_0$ für verschiedene $r_0/s_0$ wie folgt dargestellt:
Das Profil zeigt, dass die Höhe der Wassersäule weit entfernt vom Brunnen deutlich hoch ist. Aufgrund der Wasserentnahme durch den Brunnen beginnt diese Höhe jedoch abzunehmen, bis sie den Rand des Brunnens erreicht. Dynamisch bestimmt die Flussdichte ($j_s$) die Menge des zum Brunnen fließenden Wassers, während die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) sich allmählich anpasst, um einen Gleichgewichtszustand zu erreichen. Mit anderen Worten, wenn der Wert von die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) im Verhältnis zur Gesamtmenge des zum Brunnen gelangenden Wassers zu niedrig ist, erhöht er sich, und wenn er zu hoch ist, verringert er sich. Auf diese Weise nimmt die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) den Wert an, der die Menge des ankommenden Wassers mit der Menge des durch den Brunnen abgepumpten Wassers ausgleicht.
ID:(10591, 0)
Flussdichtelösung in Richtung eines Brunnens
Konzept
Die erhaltene Lösung für die Höhe und die Parameter der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) und der Radius von der Mitte des Bohrlochs ($r$), der Brunnenradius ($r_0$), der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$) zeigt uns, dass die Flussdichte ($j_s$) gleich ist:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$ |
Diese Lösung wird graphisch in Bezug auf die zusätzlichen Faktoren $j_s/j_{s0}$ und $r/r_0$ für verschiedene Werte von $r_0/s_0$ wie folgt dargestellt:
None
die Flussdichte ($j_s$) steigt weiter an, wenn wir uns dem Kanal nähern, während die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) abnimmt. Dieser Anstieg ist notwendig, um die Fließgeschwindigkeit in die Flussdichte ($j_s$) aufrechtzuerhalten oder alternativ, um sie zu erhöhen.
ID:(2209, 0)
Modell
Top
Parameter
Variablen
Berechnungen
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ h j_s = h_0 j_{s0} $
h * j_s = h_0 * j_{s0}
$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $
h / h_0 = sqrt(1 + 2* r_0 *log( r / r_0 )/ s_0 )
$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$
j = j_s0 /(( r / r_0 )*sqrt(1 + 2* r_0 *log( r / r_0 )/ s_0 ))
$ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $
r * @DIFF( h ^2, r, 1) = h_0 ^2* r_0 / s_0
ID:(15821, 0)
Statische Lösung in einer Dimension
Gleichung
können wir den stationären Fall untersuchen, was bedeutet, dass die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) durch die Flussdichte ($j_s$) konstant sein muss und insbesondere Werte an einem bestimmten Punkt annehmen kann, der durch die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) und der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) dargestellt wird:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Wenn für die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) geteilt durch die Flussdichte ($j_s$) die Gleichung
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
im stationären Fall auf
$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$
reduziert wird, was dem konstanten Produkt von die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) und die Flussdichte ($j_s$) entspricht. Wenn Sie Werte für einen bestimmten Punkt haben, der durch die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) und der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) definiert ist, dann haben Sie:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Hinweis: Die Differentialgleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, da sie ausschließlich von der Position $x$ abhängt und nicht mehr von der Zeit $t$.
ID:(15107, 0)
Gleichung für den Zufluss in einen Brunnen
Gleichung
Im Fall des Brunnens können wir mit einem Polarkoordinatensystem arbeiten und eine winkelsymmetrische Annahme treffen, was bedeutet, dass die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) nur von der Radius von der Mitte des Bohrlochs ($r$) abhängt und die Gleichung erfüllt
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
Da die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) die Gleichung
| $ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $ |
erfüllt und in Polarkoordinaten mit der Radius von der Mitte des Bohrlochs ($r$) für den Fall der Winkelsymmetrie haben wir
$\vec{\nabla}h = \displaystyle\frac{du}{dr}\hat{r}$
und
$\nabla ^2h = \displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d}{dr}\left(r\displaystyle\frac{dh}{dr}\right)$
erhalten wir
$\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d}{dr}\left(r\displaystyle\frac{dh^2}{dr}\right)=0$
oder
$r\displaystyle\frac{dh^2}{dr}=C$
mit $C$ als Konstante. Andererseits reduziert sich die Gleichung mit die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$) und die Strömungsdichte in mehr als einer Dimension ($\vec{j}_s$)
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
in Polarkoordinaten mit Rotationssymmetrie auf
$j_s = - K_s \displaystyle\frac{dh}{dr}$
was an der Oberfläche des Brunnens mit der Brunnenradius ($r_0$), der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$), der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) und die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) dazu führt, dass mit
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
wir haben
$C=r_0\displaystyle\frac{dh^2}{dr}=r_02h_0\displaystyle\frac{dh}{dr}=2r_0h_0\displaystyle\frac{|j_{s0}|}{K_sh_0}=2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}$
was zu
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
führt.
ID:(4430, 0)
Höhe des Zuflusses in einen Brunnen
Gleichung
Im Fall des Flusses in Richtung eines Brunnens wird die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) als Funktion von der Radius von der Mitte des Bohrlochs ($r$) mit der Brunnenradius ($r_0$), der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$) und die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) repräsentiert durch:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
Die Gleichung für die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) als Funktion von der Radius von der Mitte des Bohrlochs ($r$) mit der Brunnenradius ($r_0$), der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$) und die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) lautet wie folgt:
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
Diese Gleichung kann umgeformt werden, um die Integration zu erleichtern, wie folgt:
$dh^2 = 2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}\displaystyle\frac{dr}{r}$
Anschließend, durch Integration beider Seiten, erhalten wir die Höhe an der Wand des Brunnens mit die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) und der Brunnenradius ($r_0$):
$h^2 - h_0^2 = 2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)$
Schließlich, durch Umstellen von die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$), erhalten wir:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
ID:(10593, 0)
Fließdichte in einen Brunnen
Gleichung
Die Lösung für die Flussdichte ($j_s$) und der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) bei gegebenem der Radius von der Mitte des Bohrlochs ($r$), der Brunnenradius ($r_0$) und der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$):
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$ |
Mit der Lösung für die Höhe der Wassersäule am Boden ($h$) und die Referenzhöhe der Wassersäule ($h_0$) unter Berücksichtigung von der Radius von der Mitte des Bohrlochs ($r$), der Brunnenradius ($r_0$) und der Charakteristische Länge der Strömung im Boden ($s_0$) erhalten wir:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
Wir können die Strömungsdichte in mehr als einer Dimension ($\vec{j}_s$) aus die Hydraulische Leitfähigkeit ($K_s$) wie folgt berechnen:
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
Und mit die Flussdichte ($j_s$) und der Strömung an einem Referenzpunkt ($j_{s0}$) unter Verwendung von
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
auf diese Weise erhalten wir:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$ |
ID:(4368, 0)