Storyboard

Uma vez calculada a resistência hidráulica e a condutividade, torna-se possível modelar um sistema de solo com múltiplas camadas. Para isso, é essencial calcular a resistência e a condutividade totais e, após estabelecer o fluxo global, determinar os fluxos parciais (no caso de camadas paralelas) ou a queda de pressão em cada camada (no caso de camadas em série).

>Modelo

ID:(371, 0)

Conceito

>Top

ID:(15204, 0)

Conceito

>Top

No caso de uma soma em que os elementos estão conectados em série, a resistência hidráulica total do sistema é calculada somando as resistências individuais de cada elemento.

Uma vez que os elementos estão conectados em série, a queda de pressão ocorre em cada um dos elementos, enquanto o fluxo permanece constante. Portanto, la diferença total de pressão ($\Delta p_t$) será igual à soma de la diferença de pressão em uma rede ($\Delta p_k$). Cada um desses elementos, de acordo com a lei de Darcy, é igual a la résistance hydraulique dans un réseau ($R_{hk}$) multiplicado por o fluxo de volume em uma rede ($J_{Vk}$):

$\Delta p_k = R_{hk} J_{Vk}$

Assim, a soma de la résistance hydraulique dans un réseau ($R_{hk}$) será igual a la resistência hidráulica total em série ($R_{st}$).

ID:(3630, 0)

Conceito

>Top

No caso de uma soma em que os elementos estão conectados em série, a condutância hidráulica total do sistema é calculada somando as condutâncias hidráulicas individuais de cada elemento.



Uma vez que os elementos estão conectados em série, a queda de pressão ocorre em cada um dos elementos, enquanto o fluxo permanece constante. Portanto, la diferença total de pressão ($\Delta p_t$) será igual à soma de la diferença de pressão em uma rede ($\Delta p_k$). Cada um desses elementos, de acordo com a lei de Darcy, é igual a o fluxo de volume em uma rede ($J_{Vk}$) dividido por la condutância hidráulica em uma rede ($G_{hk}$):

$\Delta p_k = \displaystyle\frac{J_{Vk}}{K_{hk}}$

Assim, a soma do inverso de la condutância hidráulica em uma rede ($G_{hk}$) será igual ao inverso de la condutância Hidráulica Série Total ($K_{st}$).

ID:(11067, 0)

Conceito

>Top

Uma situação no solo em que os elementos estão conectados em série ocorre quando a água infiltra verticalmente através de várias camadas, acabando eventualmente na camada freática. Nesse caso, la altura da coluna líquida ($S$) permanece constante, enquanto cada camada possui uma largura diferente que age como la largura da k-ésima camada ($L_k$).

Nessa situação, as resistências hidráulicas são somadas diretamente, e seus valores dependem do tipo de solo, e, portanto, de la condutividade hidráulica na k-ésima camada ($K_{sk}$) e de la largura da k-ésima camada ($L_k$).

ID:(936, 0)

Conceito

>Top

No caso de uma soma em que os elementos estão conectados em paralelo, a resistência hidráulica total do sistema é calculada somando as resistências individuais de cada elemento.



Uma vez que os elementos estão conectados em paralelo, a queda de pressão é a mesma para todos os elementos, enquanto o fluxo varia de um para outro. O valor de o fluxo total ($J_{Vt}$) será igual à soma de o fluxo de volume em uma rede ($J_{Vk}$). Cada um desses elementos, de acordo com a lei de Darcy, é igual a la diferença de pressão ($\Delta p$) dividido por la résistance hydraulique dans un réseau ($R_{hk}$):

$J_{Vk} = \displaystyle\frac{\Delta p}{R_{hk}}$

Portanto, a soma dos inversos de la résistance hydraulique dans un réseau ($R_{hk}$) será igual ao inverso de la resistência hidráulica total em paralelo ($R_{pt}$).

ID:(11068, 0)

Conceito

>Top

No caso de uma soma em que os elementos estão conectados em paralelo, a condutância hidráulica total do sistema é calculada somando as condutâncias individuais de cada elemento.



Dado que os elementos estão conectados em paralelo, a queda de pressão é a mesma para todos os elementos, enquanto o fluxo varia de um para outro. O valor de o fluxo total ($J_{Vt}$) será igual à soma de o fluxo de volume em uma rede ($J_{Vk}$). Cada um desses elementos, de acordo com a lei de Darcy, é igual a la diferença de pressão ($\Delta p$) multiplicado por la condutância hidráulica em uma rede ($G_{hk}$):

$J_{Vk} = G_{hk} \Delta p$

Portanto, a soma de la condutância hidráulica em uma rede ($G_{hk}$) será igual ao inverso de la condutância hidráulica total paralela ($G_{pt}$).

ID:(12800, 0)

Conceito

>Top

Uma situação no solo em que os elementos estão conectados em paralelo ocorre quando a água flui através de diferentes camadas em paralelo. Se as camadas têm uma inclinação, gera-se uma diferença de pressão. Se as camadas têm uma espessura similar, a diferença de pressão será igual em todas as camadas. Neste caso, o comprimento da amostra ($\Delta L$) é constante, enquanto cada camada tem um la seção da k-ésima camada ($S_k$) diferente.

Nesta situação, as condutividades hidráulicas são somadas diretamente, e seus valores dependem do tipo de solo, e, portanto, de la condutividade hidráulica na k-ésima camada ($K_{sk}$) e la seção da k-ésima camada ($S_k$).

ID:(4373, 0)

Conceito

>Top

Parâmetro selecionado

Cálculos

ID:(15223, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O fluxo de líquido em um meio poroso, como o solo, é medido usando a variável la densidade de fluxo ($j_s$), que representa a velocidade média com que o líquido se move através dele. Ao modelar o solo e como o líquido passa por ele, descobrimos que esse processo é influenciado por fatores como la porosidade ($f$) e o raio de um grão genérico ($r_0$), que, quando maiores, facilitam o fluxo, enquanto la viscosidade ($\eta$) dificulta a passagem pelos capilares, reduzindo a velocidade de fluxo.

O modelo incorpora eventualmente o que chamaremos de la condutividade hidráulica ($K_s$), uma variável que depende das interações entre o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade ($f$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$), la viscosidade ($\eta$) e la porosidade própria genérica ($q_0$):

$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$

Condições

Variáveis

$J_1$

Cálculo da equação de porosidade

$-$

$J_2$

Fator de volume próprio do Slime

$-$

Relação

Desenvolvimento

Uma vez que la densidade de fluxo ($j_s$) está relacionado com o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade ($f$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$), la viscosidade ($\eta$), la porosidade própria genérica ($q_0$), la diferença de altura ($\Delta h$) e o comprimento da amostra ($\Delta L$) através da equação:

$ j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }$

Podemos definir um fator que chamaremos de la condutividade hidráulica ($K_s$) da seguinte forma:

$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$

Este fator abrange todos os elementos relacionados às propriedades do solo e do líquido que flui através dele.

la condutividade hidráulica ($K_s$) expressa a facilidade com que o líquido é conduzido através do meio poroso. Na verdade, la condutividade hidráulica ($K_s$) aumenta com la porosidade ($f$) e o raio de um grão genérico ($r_0$) e diminui com la porosidade própria genérica ($q_0$) e la viscosidade ($\eta$).

ID:(4739, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Como o fluxo total ($J_{Vt}$) está relacionado com o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade ($f$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$), la viscosidade ($\eta$), la porosidade própria genérica ($q_0$), la altura da coluna líquida ($S$) e o comprimento da amostra ($\Delta L$), ele é igual a:

Portanto, la condutância hidráulica ($G_h$) é igual a:

$ G_h = \displaystyle\frac{ r_0 ^2}{8 \eta q_0 }\displaystyle\frac{f ^3}{(1- f )^2 }\displaystyle\frac{ S }{ \Delta L }$

Condições

Variáveis

Relação

ID:(15103, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No contexto da resistência elétrica, existe o seu inverso, conhecido como a condutância elétrica. Da mesma forma, o que seria la condutância hidráulica ($G_h$) pode ser definido em termos de la resistência hidráulica ($R_h$) através da expressão:

$ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$

Condições

Variáveis

$G_h$

Condutância hidráulica

$m^4/kg s$

$R_h$

Resistência hidráulica

$kg/m^4s$

Relação

ID:(15092, 0)

Equação

>Top, >Modelo

ID:(10594, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Calculando la resistência hidráulica ($R_h$) com la viscosidade ($\eta$), la porosidade própria genérica ($q_0$), o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade ($f$), o comprimento da amostra ($\Delta L$) e la altura da coluna líquida ($S$) usando

que pode ser reescrita usando a expressão para la condutividade hidráulica ($K_s$) com la densidade líquida ($\rho_w$) e la aceleração gravitacional ($g$), resultando em

$ R_h = \displaystyle\frac{ \rho_w g }{ K_s }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$

Condições

Variáveis

$\rho_b$

Densidade aparente seca

$kg/m^3$

$\rho_s$

Densidade da água

$kg/m^3$

$f_k$

Fração mássica de areia na amostra

$-$

$f$

Porosidade

$-$

Relação

Desenvolvimento

Calculando la resistência hidráulica ($R_h$) usando la viscosidade ($\eta$), la porosidade própria genérica ($q_0$), o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade ($f$), o comprimento da amostra ($\Delta L$) e la altura da coluna líquida ($S$) através de

$ R_h = \displaystyle\frac{8 \eta q_0 }{ r_0 ^2}\displaystyle\frac{(1- f )^2 }{f ^3}\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$

e utilizando a expressão para la condutividade hidráulica ($K_s$)

$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$

é obtido após a substituição dos fatores comuns

$ R_h = \displaystyle\frac{ \rho_w g }{ K_s }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$

ID:(10635, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Como la resistência hidráulica ($R_h$) está relacionado com la condutividade hidráulica ($K_s$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$), la altura da coluna líquida ($S$) e o comprimento da amostra ($\Delta L$), é expresso como

Dado que la condutância hidráulica ($G_h$) é o inverso de la resistência hidráulica ($R_h$), podemos concluir que

$ G_h = \displaystyle\frac{ K_s }{ \rho_w g }\displaystyle\frac{ S }{ \Delta L }$

Condições

Variáveis

$V_p$

Volume de poro

$m^3$

$V_c$

Volume sólido de argila

$m^3$

Relação

Desenvolvimento

Como la resistência hidráulica ($R_h$) está associado com la condutividade hidráulica ($K_s$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$), la altura da coluna líquida ($S$) e o comprimento da amostra ($\Delta L$), ele é expresso como

$ R_h = \displaystyle\frac{ \rho_w g }{ K_s }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$

E a relação para la condutância hidráulica ($G_h$)

$ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$

leva a

$ G_h = \displaystyle\frac{ K_s }{ \rho_w g }\displaystyle\frac{ S }{ \Delta L }$

ID:(10592, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La diferença total de pressão ($\Delta p_t$) em relação às várias diferença de pressão em uma rede ($\Delta p_k$), levando-nos à seguinte conclusão:

$ \Delta p_t =\displaystyle\sum_k \Delta p_k $

Condições

Variáveis

Relação

ID:(4377, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Uma vez que o fluxo de volume ($J_V$) pode ser calculado a partir de la condutância hidráulica ($G_h$) e la diferença de pressão ($\Delta p$) usando a seguinte equação:

ele pode ser expresso em termos de la diferença de pressão ($\Delta p$). Considerando que o inverso de la resistência hidráulica ($R_h$) é La condutância hidráulica ($G_h$), chegamos à seguinte expressão:

$ \Delta p = R_h J_V $

Condições

Variáveis

$J_V$

Fluxo de volume

$m^3/s$

$R_h$

Resistência hidráulica

$kg/m^4s$

Relação

Desenvolvimento

No caso de um único cilindro la resistência hidráulica ($R_h$), que depende de la viscosidade ($\eta$), o comprimento do tubo ($\Delta L$) e o raio do cilindro ($R$), é calculado usando a seguinte equação:

$ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$

Por outro lado, a lei de Hagen-Poiseuille permite calcular o fluxo de volume ($J_V$) gerado por la diferença de pressão ($\Delta p$) de acordo com a seguinte equação:

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Combinando ambas as equações, obtemos a lei de Darcy:

$ \Delta p = R_h J_V $

que Henry Darcy formulou para modelar o comportamento geral de meios porosos mais complexos através dos quais um líquido flui.

A genialidade dessa maneira de reescrever a lei de Hagen-Poiseuille está em mostrar a analogia entre o fluxo de corrente elétrica e o fluxo de líquido. Nesse sentido, a lei de Hagen-Poiseuille corresponde à lei de Ohm. Isso abre a possibilidade de aplicar os conceitos de redes elétricas a sistemas de tubulações através das quais um líquido flui.

Essa lei, também conhecida como Lei de Darcy-Weisbach, foi publicada pela primeira vez na obra de Darcy:

• "Les fontaines publiques de la ville de Dijon" ("As Fontes Públicas da Cidade de Dijon"), Henry Darcy, Victor Dalmont Editeur, Paris (1856).

ID:(3179, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso de ($$), o seu valor é calculado utilizando la viscosidade ($\eta$), o raio do cilindro ($R$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$) através da seguinte equação:

Quando há várias resistências hidráulicas conectadas em série, podemos calcular la resistência hidráulica total em série ($R_{st}$) somando la résistance hydraulique dans un réseau ($R_{hk}$), conforme expresso na seguinte fórmula:

$ R_{st} =\displaystyle\sum_k R_{hk} $

Condições

Variáveis

$R_{ss}$

Résistance hydraulique dans un réseau

$kg/m^4s$

$R_h$

Resistência hidráulica

$kg/m^4s$

Relação

Desenvolvimento

Uma forma de modelar um tubo com variação na seção transversal é dividi-lo em seções com raios constantes e, em seguida, somar as resistências hidráulicas em série. Vamos supor que temos uma série de seções com raios R_{hk} e comprimentos L_k. As correspondentes resistências hidráulicas serão

$ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$

Em cada elemento, haverá uma queda de pressão igual, onde o fluxo é o mesmo, e a lei de Darcy se aplica:

$ \Delta p = R_h J_V $

A diferença de pressão total será igual à soma das quedas de pressão individuais

$ \Delta p_t =\displaystyle\sum_k \Delta p_k $

portanto,

$\Delta p=\displaystyle\sum_k \Delta p_k=\displaystyle\sum_k (R_{hk}J_V)=\left(\displaystyle\sum_k R_{hk}\right)J_V\equiv R_{st}J_V$

Portanto, o sistema pode ser modelado como um único conduto com a resistência hidráulica calculada como a soma dos componentes individuais:

$ R_{st} =\displaystyle\sum_k R_{hk} $

ID:(3180, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso da soma de elementos em série, la resistência hidráulica total em série ($R_{st}$) é igual à soma de la résistance hydraulique dans un réseau ($R_{hk}$):

Como la résistance hydraulique dans un réseau ($R_{hk}$) é o inverso de la condutância hidráulica em uma rede ($G_{hk}$), temos:

$\displaystyle\frac{1}{ G_{st} }=\displaystyle\sum_k\displaystyle\frac{1}{ G_{hk} }$

Condições

Variáveis

$R_{h1}$

Resistência hidráulica 1

$kg/m^4s$

$R_{h2}$

Resistência hidráulica 2

$kg/m^4s$

$R_{pt}$

Resistência hidráulica total em paralelo

$kg/m^4s$

Relação

Desenvolvimento

La resistência hidráulica total em série ($R_{st}$), juntamente com la résistance hydraulique dans un réseau ($R_{hk}$), em

$ R_{st} =\displaystyle\sum_k R_{hk} $

e juntamente com la condutância hidráulica em uma rede ($G_{hk}$) e a equação

$ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$

leva a

$\displaystyle\frac{1}{ G_{st} }=\displaystyle\sum_k\displaystyle\frac{1}{ G_{hk} }$

ID:(3633, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Uma vez que cada la resistência hidráulica da k-ésima camada ($R_{sk}$), que é uma função de la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$), ($$), la largura da k-ésima camada ($L_k$) e la condutividade hidráulica na k-ésima camada ($K_{sk}$), é igual a

segue que la resistência hidráulica total em série ($R_{st}$) é

$ R_{st} = \displaystyle\sum_k\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ K_{sk} }\displaystyle\frac{ L_k }{ S }$

Condições

Variáveis

Relação

ID:(4741, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A soma das camadas de solo em paralelo, representada por o fluxo total ($J_{Vt}$), é igual à soma de o fluxo de volume em uma rede ($J_{Vk}$):

$ J_{Vt} =\displaystyle\sum_k J_{Vk} $

Condições

Variáveis

$J_{Vk}$

Cálculo da equação de porosidade

$-$

Relação

.

ID:(4376, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso de elementos em paralelo, a queda de pressão é igual em todos eles. O fluxo total ($J_{Vt}$) é a soma de o fluxo de volume em uma rede ($J_{Vk}$):

E como o fluxo de volume em uma rede ($J_{Vk}$) é proporcional a la condutância hidráulica em uma rede ($G_{hk}$), podemos concluir que

$ G_{pt} =\displaystyle\sum_k G_{hk} $

Condições

Variáveis

$R_{h1}$

Resistência hidráulica 1

$kg/m^4s$

$R_{h2}$

Resistência hidráulica 2

$kg/m^4s$

$R_{h3}$

Resistência hidráulica 3

$kg/m^4s$

$R_{pt}$

Resistência hidráulica total em paralelo

$kg/m^4s$

Relação

Desenvolvimento

Com o fluxo total ($J_{Vt}$) sendo igual a o fluxo de volume em uma rede ($J_{Vk}$):



e com la diferença de pressão ($\Delta p$) e la condutância hidráulica em uma rede ($G_{hk}$), juntamente com a equação



para cada elemento, chegamos à conclusão de que, com la condutância hidráulica total paralela ($G_{pt}$),

$J_{Vt}=\displaystyle\sum_k J_{Vk} = \displaystyle\sum_k K_{hk}\Delta p = K_{pt}\Delta p$

temos

.

.

ID:(3634, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Com a introdução de la condutância hidráulica ($G_h$), podemos reescrever a equação de Hagen-Poiseuille com la diferença de pressão ($\Delta p$) e o fluxo de volume ($J_V$) usando a seguinte equação:

$ J_V = G_h \Delta p $

Condições

Variáveis

$G_h$

Condutância hidráulica

$m^4/kg s$

$\Delta p$

Diferença de pressão

$Pa$

$J_V$

Fluxo de volume

$m^3/s$

Relação

Desenvolvimento

Se observarmos a lei de Hagen-Poiseuille, que nos permite calcular o fluxo de volume ($J_V$) a partir de o raio do cilindro ($R$), la viscosidade ($\eta$), o comprimento do tubo ($\Delta L$) e la diferença de pressão ($\Delta p$):

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

podemos introduzir la condutância hidráulica ($G_h$), definido em termos de o comprimento do tubo ($\Delta L$), o raio do cilindro ($R$) e la viscosidade ($\eta$), da seguinte forma:

$ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$

para obter:

$ J_V = G_h \Delta p $

ID:(14471, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso de uma resistência hidráulica, o seu valor é calculado utilizando a equação:

Quando há várias resistências hidráulicas conectadas em paralelo, a resistência hidráulica do sistema completo pode ser calculada utilizando a seguinte fórmula, especificamente para conexões em paralelo:

$\displaystyle\frac{1}{ R_{pt} }=\sum_k\displaystyle\frac{1}{ R_{hk} }$

Condições

Variáveis

$R_h$

Resistência hidráulica

$kg/m^4s$

$R_{sp}$

Resistência Hidráulica Adicionada em Paralelo (múltipla)

$kg/m^4s$

Relação

Desenvolvimento

La condutância hidráulica total paralela ($G_{pt}$) juntamente com la condutância hidráulica em uma rede ($G_{hk}$) em

$ G_{pt} =\displaystyle\sum_k G_{hk} $

e, com la résistance hydraulique dans un réseau ($R_{hk}$) e a equação

$ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$

leva a

$\displaystyle\frac{1}{ R_{pt} }=\sum_k\displaystyle\frac{1}{ R_{hk} }$

ID:(3181, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Dado que cada la condutância hidráulica em uma rede ($G_{hk}$), que depende de la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$), la comprimento da camada de solo ($L$), la seção da k-ésima camada ($S_k$) e la condutividade hidráulica na k-ésima camada ($K_{sk}$), é igual a:

Portanto, la condutância hidráulica total paralela ($G_{pt}$) é calculado como:

$ G_{pt} = \displaystyle\sum_k\displaystyle\frac{ K_{sk} }{ \rho_w g }\displaystyle\frac{ S_k }{ L }$

Condições

Variáveis

Relação

ID:(4410, 0)