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Flujo por múltiples Capas
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Una vez calculada la resistencia hidráulica y la conductividad, es posible modelar un sistema de suelo con múltiples capas. Para lograrlo, es necesario calcular la resistencia y la conductividad totales, y después de establecer el flujo global, determinar los flujos parciales (en el caso de capas paralelas) o la caída de presión en cada capa (en el caso de capas en serie).
ID:(371, 0)
Flujo por múltiples Capas
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Una vez calculada la resistencia hidráulica y la conductividad, es posible modelar un sistema de suelo con múltiples capas. Para lograrlo, es necesario calcular la resistencia y la conductividad totales, y después de establecer el flujo global, determinar los flujos parciales (en el caso de capas paralelas) o la caída de presión en cada capa (en el caso de capas en serie).
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Ecuaciones
El flujo de volumen ($J_V$) se puede determinar a partir de la conductancia hidráulica ($G_h$) y la diferencia de presión ($\Delta p$) utilizando la ecuaci n siguiente:
Adem s, utilizando la relaci n para la resistencia hidráulica ($R_h$):
se obtiene el resultado final:
Una forma de modelar un tubo en el que var a la secci n es dividirlo en secciones de radio constante y luego sumar las resistencias hidr ulicas en serie. Supongamos que tenemos una serie de la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$), que depende de la viscosidad ($\eta$), el radio del cilindro k ($R_k$) y el largo de tubo k ($\Delta L_k$) a trav s de la siguiente ecuaci n:
En cada elemento habr una diferencia de presión en una red ($\Delta p_k$) con la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$) y el flujo de volumen ($J_V$) para los que se aplica la ley de Darcy
la diferencia de presión total ($\Delta p_t$) ser igual a la suma de las ERROR:10132,0 individuales
por lo que
$\Delta p_t=\displaystyle\sum_k \Delta p_k=\displaystyle\sum_k (R_{hk}J_V)=\left(\displaystyle\sum_k R_{hk}\right)J_V\equiv R_{st}J_V$
Por lo tanto, el sistema se puede modelar como un conducto nico con la resistencia hidr ulica calculada como la suma de las componentes individuales:
La conductancia hidráulica total en paralelo ($G_{pt}$) junto con la conductancia hidráulica en una red ($G_{hk}$) en
y junto con la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$) y la ecuaci n
conduce a la resistencia hidráulica total en paralelo ($R_{pt}$) mediante
La resistencia hidráulica total en serie ($R_{st}$), junto con la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$) en
y junto con la conductancia hidráulica en una red ($G_{hk}$) y la ecuaci n
conduce a que la conductancia hidráulica total en serie ($G_{st}$) se puede calcular con:
Con el flujo total ($J_{Vt}$) siendo igual a el flujo de volumen en una red ($J_{Vk}$):
y con la diferencia de presión ($\Delta p$) y la conductancia hidráulica en una red ($G_{hk}$), junto con la ecuaci n
para cada elemento, podemos deducir que, con la conductancia hidráulica total en paralelo ($G_{pt}$),
$J_{Vt}=\displaystyle\sum_k J_{Vk} = \displaystyle\sum_k G_{hk}\Delta p = G_{pt}\Delta p$
lo que implica que
Dado que la densidad de flujo ($j_s$) est relacionado con el radio de un grano genérico ($r_0$), la porosidad ($f$), la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$), la viscosidad ($\eta$), la porosidad propia genérica ($q_0$), la diferencia de altura ($\Delta h$) y el largo de la muestra ($\Delta L$) a trav s de la ecuaci n
Podemos definir un factor al que llamaremos la conductividad hidráulica ($K_s$) de la siguiente manera:
Este factor incorpora todos los elementos relacionados con las propiedades del suelo y del l quido que fluye a trav s de l.
Como la resistencia hidráulica ($R_h$) est relacionado con la conductividad hidráulica ($K_s$), la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$), la sección de la columna ($S$) y el largo de la muestra ($\Delta L$), se expresa como
Y la relaci n para la conductancia hidráulica ($G_h$)
lleva a
Usando la Ley de Darcy, donde la diferencia de presión ($\Delta p$) se iguala a la resistencia hidráulica ($R_h$) y el flujo total ($J_{Vt}$):
As , con la ecuaci n para el suelo con la sección del flujo ($S$), el radio de un grano genérico ($r_0$), la viscosidad ($\eta$), la porosidad propia genérica ($q_0$), la porosidad ($f$), la diferencia de presión ($\Delta p$) y el largo de la muestra ($\Delta L$):
Entonces, la resistencia hidráulica ($R_h$) es:
Calculando la resistencia hidráulica ($R_h$) utilizando la viscosidad ($\eta$), la porosidad propia genérica ($q_0$), el radio de un grano genérico ($r_0$), la porosidad ($f$), el largo de la muestra ($\Delta L$) y la sección de la columna ($S$) a trav s de
y utilizando la expresi n para la conductividad hidráulica ($K_s$)
se obtiene despu s de reemplazar los factores comunes
Si observamos la ley de Hagen-Poiseuille, que nos permite calcular el flujo de volumen ($J_V$) a partir de el radio del tubo ($R$), la viscosidad ($\eta$), el largo de tubo ($\Delta L$) y la diferencia de presión ($\Delta p$):
podemos introducir la conductancia hidráulica ($G_h$) definido en t rminos de el largo de tubo ($\Delta L$), el radio del tubo ($R$) y la viscosidad ($\eta$) de la siguiente manera:
y as obtener:
Ejemplos
En el caso de una suma en la que los elementos est n conectados en serie, la resistencia hidr ulica total del sistema se calcula sumando las resistencias individuales de cada elemento.
Una forma de modelar un tubo en el que var a la secci n es dividirlo en secciones de radio constante y luego sumar las resistencias hidr ulicas en serie. Supongamos que tenemos una serie de la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$), que depende de la viscosidad ($\eta$), el radio del cilindro k ($R_k$) y el largo de tubo k ($\Delta L_k$) a trav s de la siguiente ecuaci n:
En cada elemento habr una diferencia de presión en una red ($\Delta p_k$) con la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$) y el flujo de volumen ($J_V$) para los que se aplica la ley de Darcy
la diferencia de presión total ($\Delta p_t$) ser igual a la suma de las ERROR:10132,0 individuales
por lo que
$\Delta p_t=\displaystyle\sum_k \Delta p_k=\displaystyle\sum_k (R_{hk}J_V)=\left(\displaystyle\sum_k R_{hk}\right)J_V\equiv R_{st}J_V$
Por lo tanto, el sistema se puede modelar como un conducto nico con la resistencia hidr ulica calculada como la suma de las componentes individuales:
En el caso de una suma en la que los elementos est n conectados en serie, la conductancia hidr ulica total del sistema se calcula sumando las conductancias individuales de cada elemento.
la resistencia hidráulica total en serie ($R_{st}$), junto con la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$) en
y junto con la conductancia hidráulica en una red ($G_{hk}$) y la ecuaci n
conduce a que la conductancia hidráulica total en serie ($G_{st}$) se puede calcular con:
Una situaci n en el suelo en la que los elementos est n conectados en serie es cuando el agua se filtra verticalmente a trav s de varias capas para finalmente terminar en la napa fre tica. En este caso, la sección de la columna ($S$) es constante, mientras que cada capa tiene un ancho distinto que act a como la ancho de la k-esima capa ($L_k$).
En esta situaci n, las resistencias hidr ulicas se suman directamente, y sus valores dependen del tipo de suelo, y por lo tanto, de la conductividad hidráulica en la k-esima capa ($K_{sk}$) y de la ancho de la k-esima capa ($L_k$).
Una forma eficiente de modelar un tubo de secci n variable es dividirlo en m ltiples secciones con radios constantes, sumando posteriormente las resistencias hidr ulicas de cada secci n en serie. Consideremos que tenemos una serie de elementos la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$), cuya resistencia depende de la viscosidad ($\eta$), el radio del cilindro k ($R_k$) y el largo de tubo k ($\Delta L_k$), de acuerdo con la siguiente ecuaci n:
En cada elemento se considera una diferencia de presión en una red ($\Delta p_k$) junto con la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$) y el caudal volum trico el flujo de volumen ($J_V$), aplicando la ley de Darcy a cada uno de ellos:
La resistencia total del sistema, el flujo de volumen total ($J_{Vt}$), ser la suma de las resistencias hidr ulicas individuales ERROR:10133,0 de cada secci n:
Por lo tanto, tenemos:
$J_{Vt}=\displaystyle\sum_k \Delta J_{Vk}=\displaystyle\sum_k \displaystyle\frac{\Delta p_k}{R_{hk}}=\left(\displaystyle\sum_k \displaystyle\frac{1}{R_{hk}}\right)\Delta p\equiv \displaystyle\frac{1}{R_{pt}}J_V$
De esta forma, el sistema se puede modelar como un conducto nico con una resistencia hidr ulica total que resulta de la suma de las resistencias individuales de cada secci n:
El flujo de volumen total ($J_{Vt}$) representa la suma total de las contribuciones individuales de el flujo de volumen 1 ($J_{V1}$) y el flujo de volumen 2 ($J_{V2}$), provenientes de los elementos conectados en paralelo:
Una situaci n en el suelo en la que los elementos est n conectados en paralelo ocurre cuando el agua fluye a trav s de diferentes capas en paralelo. Si las capas tienen una inclinaci n, se genera una diferencia de presi n. Si las capas tienen un grosor similar, la diferencia de presi n ser igual en todas las capas. En este caso, el largo de la muestra ($\Delta L$) es constante, mientras que cada capa tiene una la sección de la k-esima capa ($S_k$) diferente.
En esta situaci n, las conductividades hidr ulicas se suman directamente, y sus valores dependen del tipo de suelo, y, por lo tanto, de la conductividad hidráulica en la k-esima capa ($K_{sk}$) y la sección de la k-esima capa ($S_k$).
El flujo de l quido en un medio poroso como el suelo se mide mediante la variable la densidad de flujo ($j_s$), que representa la velocidad media a la que el l quido se desplaza a trav s de este medio. Al modelar el suelo y el paso del l quido a trav s de l, se descubre que este proceso est influenciado por factores como la porosidad ($f$) y el radio de un grano genérico ($r_0$), que, al ser mayores, facilitan el flujo, mientras que la viscosidad ($\eta$) dificulta el paso a trav s de los capilares, lo que reduce la velocidad de flujo.
El modelo finalmente incorpora lo que llamaremos la conductividad hidráulica ($K_s$), una variable que depende de las interacciones entre el radio de un grano genérico ($r_0$), la porosidad ($f$), la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$), la viscosidad ($\eta$) y la porosidad propia genérica ($q_0$):
la conductividad hidráulica ($K_s$) expresa la facilidad con la que el l quido se conduce a trav s del medio poroso. De hecho, la conductividad hidráulica ($K_s$) aumenta con la porosidad ($f$) y el radio de un grano genérico ($r_0$), y disminuye con la porosidad propia genérica ($q_0$) y la viscosidad ($\eta$).
La relaci n entre el flujo total ($J_{Vt}$) y el radio de un grano genérico ($r_0$), la porosidad ($f$), la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$), la viscosidad ($\eta$), la porosidad propia genérica ($q_0$), la sección de la columna ($S$), y el largo de la muestra ($\Delta L$) se expresa como:
En consecuencia, la conductancia hidráulica ($G_h$) se calcula de la siguiente manera:
En el contexto de la resistencia el ctrica, existe su inverso, conocido como la conductancia el ctrica. De manera an loga, se puede definir lo que ser a la conductancia hidráulica ($G_h$) en funci n de la resistencia hidráulica ($R_h$) mediante la expresi n:
Como la conductancia hidráulica ($G_h$) est relacionado con la sección del flujo ($S$), el radio de un grano genérico ($r_0$), la viscosidad ($\eta$), la porosidad propia genérica ($q_0$), la porosidad ($f$) y el largo de la muestra ($\Delta L$), mediante
y dado que la conductancia hidráulica ($G_h$) es el inverso de la resistencia hidráulica ($R_h$), podemos afirmar que
Calculando la resistencia hidráulica ($R_h$) con la viscosidad ($\eta$), la porosidad propia genérica ($q_0$), el radio de un grano genérico ($r_0$), la porosidad ($f$), el largo de la muestra ($\Delta L$) y la sección de la columna ($S$) mediante
que puede reescribirse utilizando la expresi n para la conductividad hidráulica ($K_s$) con la densidad del líquido ($\rho_w$) y la aceleración gravitacional ($g$), obteniendo
Como la resistencia hidráulica ($R_h$) est relacionado con la conductividad hidráulica ($K_s$), la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$), la sección de la columna ($S$) y el largo de la muestra ($\Delta L$), se expresa como
Dado que la conductancia hidráulica ($G_h$) es el inverso de la resistencia hidráulica ($R_h$), podemos afirmar que
La diferencia de presión total ($\Delta p_t$) en relaci n a las distintas ERROR:10132,0, lo que nos lleva a la siguiente conclusi n:
Darcy reescribe la ecuaci n de Hagen Poiseuille de modo que la diferencia de presión ($\Delta p$) es igual a la resistencia hidráulica ($R_h$) por el flujo de volumen ($J_V$):
Cuando hay varias resistencias hidr ulicas conectadas en serie, podemos calcular la resistencia hidráulica total en serie ($R_{st}$) sumando la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$), como se expresa en la siguiente f rmula:
En el caso de resistencias hidr ulicas en serie, el inverso de la conductancia hidráulica total en serie ($G_{st}$) se calcula sumando los inversos de cada la conductancia hidráulica en una red ($G_{hk}$):
Dado que cada la resistencia hidráulica de la k-esima capa ($R_{sk}$), que depende de la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$), la sección de la capa ($S$), la ancho de la k-esima capa ($L_k$) y la conductividad hidráulica en la k-esima capa ($K_{sk}$), es igual a
entonces la resistencia hidráulica total en serie ($R_{st}$) se calcula como
La suma de las capas de suelo en paralelo, representada por el flujo total ($J_{Vt}$), es igual a la suma de el flujo de volumen en una red ($J_{Vk}$):
La conductancia hidráulica total en paralelo ($G_{pt}$) se calcula con la suma de la conductancia hidráulica en una red ($G_{hk}$):
Con la introducci n de la conductancia hidráulica ($G_h$), podemos reformular la ecuaci n de Hagen-Poiseuille con la diferencia de presión ($\Delta p$) y el flujo de volumen ($J_V$) a trav s de la siguiente ecuaci n:
La resistencia hidráulica total en paralelo ($R_{pt}$) se puede calcular como el inverso de la suma de la resistencia hidráulica en una red ($R_{hk}$):
Dado que cada la conductancia hidráulica en una red ($G_{hk}$), que depende de la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$), la largo de la capa de suelo ($L$), la sección de la k-esima capa ($S_k$), y la conductividad hidráulica en la k-esima capa ($K_{sk}$), es igual a:
Entonces, la conductancia hidráulica total en paralelo ($G_{pt}$) se calcula de la siguiente manera:
ID:(371, 0)
