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Une fois que la résistance hydraulique et la conductivité ont été calculées, il devient possible de modéliser un système de sol à plusieurs couches. Pour cela, il est essentiel de calculer la résistance totale et la conductivité totale, puis, après avoir établi le flux global, de déterminer les flux partiels (dans le cas de couches parallèles) ou la chute de pression dans chaque couche (dans le cas de couches en série).

>Modèle

ID:(371, 0)

Concept

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ID:(15204, 0)

Concept

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Dans le cas d'une somme où les éléments sont connectés en série, la résistance hydraulique totale du système est calculée en additionnant les résistances individuelles de chaque élément.

Étant donné que les éléments sont connectés en série, la chute de pression se produit dans chacun des éléments tandis que le débit reste constant. Par conséquent, a différence de pression totale ($\Delta p_t$) sera égal à la somme de a différence de pression dans un réseau ($\Delta p_k$). Chacun de ces éléments, conformément à la loi de Darcy, est égal à A resistência hidráulica em uma rede ($R_{hk}$) multiplié par le débit volumique dans un réseau ($J_{Vk}$) :

$\Delta p_k = R_{hk} J_{Vk}$

Ainsi, la somme de a resistência hidráulica em uma rede ($R_{hk}$) sera égale à A résistance hydraulique totale en série ($R_{st}$).

ID:(3630, 0)

Concept

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Dans le cas d'une somme où les éléments sont connectés en série, la conductance hydraulique totale du système est calculée en additionnant les conductances hydrauliques individuelles de chaque élément.

Étant donné que les éléments sont connectés en série, la chute de pression se produit dans chaque élément tandis que le débit reste constant. Par conséquent, a différence de pression totale ($\Delta p_t$) sera égal à la somme de a différence de pression dans un réseau ($\Delta p_k$). Chacun de ces éléments, conformément à la loi de Darcy, est égal à Le débit volumique dans un réseau ($J_{Vk}$) divisé par a conductance hydraulique dans un réseau ($G_{hk}$) :

$\Delta p_k = \displaystyle\frac{J_{Vk}}{K_{hk}}$

Ainsi, la somme de l'inverse de a conductance hydraulique dans un réseau ($G_{hk}$) sera égale à l'inverse de a conductance hydraulique de la série totale ($K_{st}$).

ID:(11067, 0)

Concept

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Une situation dans le sol où les éléments sont connectés en série se produit lorsque l'eau s'infiltre verticalement à travers plusieurs couches pour finalement atteindre la nappe phréatique. Dans ce cas, a hauteur de la colonne de liquide ($S$) reste constant, tandis que chaque couche a une largeur différente qui agit comme a largeur de la kème couche ($L_k$).

Dans cette situation, les résistances hydrauliques sont directement additionnées, et leurs valeurs dépendent du type de sol, et donc de a conductivité hydraulique dans la kème couche ($K_{sk}$) et de a largeur de la kème couche ($L_k$).

ID:(936, 0)

Concept

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Dans le cas d'une somme où les éléments sont connectés en parallèle, la résistance hydraulique totale du système est calculée en ajoutant les résistances individuelles de chaque élément.

Étant donné que les éléments sont connectés en parallèle, la chute de pression est la même pour tous les éléments, tandis que le débit varie d'un élément à l'autre. La valeur de le flux total ($J_{Vt}$) sera égale à la somme de le débit volumique dans un réseau ($J_{Vk}$). Chacun de ces éléments, conformément à la loi de Darcy, est égal à A différence de pression ($\Delta p$) divisé par a resistência hidráulica em uma rede ($R_{hk}$) :

$J_{Vk} = \displaystyle\frac{\Delta p}{R_{hk}}$

Par conséquent, la somme des inverses de a resistência hidráulica em uma rede ($R_{hk}$) sera égale à l'inverse de a résistance hydraulique totale en parallèle ($R_{pt}$).

ID:(11068, 0)

Concept

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Dans le cas d'une somme où les éléments sont connectés en parallèle, la conductance hydraulique totale du système est calculée en additionnant les conductances individuelles de chaque élément.

Étant donné que les éléments sont connectés en parallèle, la chute de pression est la même pour tous les éléments, tandis que le débit varie d'un élément à l'autre. La valeur de le flux total ($J_{Vt}$) sera égale à la somme de le débit volumique dans un réseau ($J_{Vk}$). Chacun de ces éléments, conformément à la loi de Darcy, est égal à A différence de pression ($\Delta p$) multiplié par a conductance hydraulique dans un réseau ($G_{hk}$) :

$J_{Vk} = G_{hk} \Delta p$

Par conséquent, la somme de a conductance hydraulique dans un réseau ($G_{hk}$) sera égale à l'inverse de a conductance hydraulique totale parallèle ($G_{pt}$).

ID:(12800, 0)

Concept

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Une situation dans le sol où les éléments sont connectés en parallèle se produit lorsque l'eau s'écoule à travers différentes couches en parallèle. Si les couches ont une pente, une différence de pression est générée. Si les couches ont une épaisseur similaire, la différence de pression sera la même dans toutes les couches. Dans ce cas, le longueur de l'échantillon ($\Delta L$) est constant, tandis que chaque couche a une a section de la kème couche ($S_k$) différente.

Dans cette situation, les conductivités hydrauliques sont directement additionnées, et leurs valeurs dépendent du type de sol, et donc de a conductivité hydraulique dans la kème couche ($K_{sk}$) et de a section de la kème couche ($S_k$).

ID:(4373, 0)

Concept

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Paramètre sélectionné

Calculs

ID:(15223, 0)

Équation

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Le flux de liquide dans un milieu poreux comme le sol est mesuré à l'aide de la variable a densité de flux ($j_s$), qui représente la vitesse moyenne à laquelle le liquide se déplace à travers celui-ci. Lors de la modélisation du sol et de la manière dont le liquide le traverse, on constate que ce processus est influencé par des facteurs tels que a porosité ($f$) et le rayon d'un grain générique ($r_0$), qui, lorsqu'ils sont plus élevés, facilitent le flux, tandis que a viscosité ($\eta$) entrave le passage à travers les capillaires, réduisant ainsi la vitesse d'écoulement.

Le modèle intègre finalement ce que nous appellerons a conductivité hydraulique ($K_s$), une variable qui dépend des interactions entre le rayon d'un grain générique ($r_0$), a porosité ($f$), a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), a viscosité ($\eta$) et a porosité propre générique ($q_0$) :

$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$

Conditions

Variables

$J_1$

Calcul de l'équation de porosité

$-$

$J_2$

Facteur de volume propre au slime

$-$

Relation

Développement

Étant donné que a densité de flux ($j_s$) est lié à Le rayon d'un grain générique ($r_0$), a porosité ($f$), a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), a viscosité ($\eta$), a porosité propre générique ($q_0$), a différence de hauteur ($\Delta h$) et le longueur de l'échantillon ($\Delta L$) à travers l'équation :

$ j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }$

Nous pouvons définir un facteur que nous appellerons a conductivité hydraulique ($K_s$) comme suit :

$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$

Ce facteur englobe tous les éléments liés aux propriétés du sol et du liquide qui s'écoule à travers lui.

a conductivité hydraulique ($K_s$) exprime la facilité avec laquelle le liquide est conduit à travers le milieu poreux. En fait, a conductivité hydraulique ($K_s$) augmente avec a porosité ($f$) et le rayon d'un grain générique ($r_0$), et diminue avec a porosité propre générique ($q_0$) et a viscosité ($\eta$).

ID:(4739, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Comme le flux total ($J_{Vt}$) est lié à Le rayon d'un grain générique ($r_0$), a porosité ($f$), a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), a viscosité ($\eta$), a porosité propre générique ($q_0$), a hauteur de la colonne de liquide ($S$) et le longueur de l'échantillon ($\Delta L$), il est égal à :

Par conséquent, a conductance hydraulique ($G_h$) est égal à :

$ G_h = \displaystyle\frac{ r_0 ^2}{8 \eta q_0 }\displaystyle\frac{f ^3}{(1- f )^2 }\displaystyle\frac{ S }{ \Delta L }$

Conditions

Variables

Relation

ID:(15103, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Dans le contexte de la résistance électrique, son inverse existe, connu sous le nom de conductance électrique. De manière similaire, ce qui serait a conductance hydraulique ($G_h$) peut être défini en termes de a résistance hydraulique ($R_h$) à travers l'expression :

$ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$

Conditions

Variables

$G_h$

Conductance hydraulique

$m^4/kg s$

$R_h$

Résistance hydraulique

$kg/m^4s$

Relation

.

ID:(15092, 0)

Équation

>Top, >Modèle

ID:(10594, 0)

Équation

>Top, >Modèle

En calculant a résistance hydraulique ($R_h$) avec a viscosité ($\eta$), a porosité propre générique ($q_0$), le rayon d'un grain générique ($r_0$), a porosité ($f$), le longueur de l'échantillon ($\Delta L$), et a hauteur de la colonne de liquide ($S$) en utilisant

qui peut être réécrite en utilisant l'expression pour a conductivité hydraulique ($K_s$) avec a densité du liquide ($\rho_w$) et a accélération gravitationnelle ($g$), ce qui donne

$ R_h = \displaystyle\frac{ \rho_w g }{ K_s }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$

Conditions

Variables

$\rho_b$

Densité apparente sèche

$kg/m^3$

$\rho_s$

Densité de l'eau

$kg/m^3$

$f_k$

Fraction massique de sable dans l'échantillon

$-$

$f$

Porosité

$-$

Relation

Développement

En calculant a résistance hydraulique ($R_h$) en utilisant a viscosité ($\eta$), a porosité propre générique ($q_0$), le rayon d'un grain générique ($r_0$), a porosité ($f$), le longueur de l'échantillon ($\Delta L$), et a hauteur de la colonne de liquide ($S$) à travers

$ R_h = \displaystyle\frac{8 \eta q_0 }{ r_0 ^2}\displaystyle\frac{(1- f )^2 }{f ^3}\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$

et en utilisant l'expression pour a conductivité hydraulique ($K_s$)

$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$

est obtenu après le remplacement des facteurs communs

$ R_h = \displaystyle\frac{ \rho_w g }{ K_s }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$

ID:(10635, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Comme a résistance hydraulique ($R_h$) est lié à A conductivité hydraulique ($K_s$), a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), a hauteur de la colonne de liquide ($S$) et le longueur de l'échantillon ($\Delta L$), il s'exprime comme suit :

Puisque a conductance hydraulique ($G_h$) est l'inverse de a résistance hydraulique ($R_h$), nous pouvons conclure que

$ G_h = \displaystyle\frac{ K_s }{ \rho_w g }\displaystyle\frac{ S }{ \Delta L }$

Conditions

Variables

$V_p$

Volume poreux

$m^3$

$V_c$

Volume solide d'argile

$m^3$

Relation

Développement

Comme a résistance hydraulique ($R_h$) est associé à A conductivité hydraulique ($K_s$), a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), a hauteur de la colonne de liquide ($S$) et le longueur de l'échantillon ($\Delta L$), il s'exprime comme suit :

$ R_h = \displaystyle\frac{ \rho_w g }{ K_s }\displaystyle\frac{ \Delta L }{ S }$

Et la relation pour a conductance hydraulique ($G_h$)

$ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$

mène à

$ G_h = \displaystyle\frac{ K_s }{ \rho_w g }\displaystyle\frac{ S }{ \Delta L }$

ID:(10592, 0)

Équation

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A différence de pression totale ($\Delta p_t$) par rapport aux différentes différence de pression dans un réseau ($\Delta p_k$), nous conduisant à la conclusion suivante :

$ \Delta p_t =\displaystyle\sum_k \Delta p_k $

Conditions

Variables

Relation

ID:(4377, 0)

Équation

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Comme le volumique flux ($J_V$) peut être calculé à partir de a conductance hydraulique ($G_h$) et de a différence de pression ($\Delta p$) en utilisant l'équation suivante :

il peut être exprimé en termes de a différence de pression ($\Delta p$). En considérant que l'inverse de a résistance hydraulique ($R_h$) est a conductance hydraulique ($G_h$), nous obtenons l'expression suivante :

$ \Delta p = R_h J_V $

Conditions

Variables

$R_h$

Résistance hydraulique

$kg/m^4s$

$J_V$

Volumique flux

$m^3/s$

Relation

Développement

Dans le cas d'un seul cylindre a résistance hydraulique ($R_h$), qui dépend de a viscosité ($\eta$), le longueur du tube ($\Delta L$), et le rayon du cylindre ($R$), il est calculé à l'aide de l'équation suivante :

$ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$

D'autre part, la loi de Hagen-Poiseuille permet de calculer le volumique flux ($J_V$) généré par a différence de pression ($\Delta p$) selon l'équation suivante :

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

En combinant ces deux équations, nous obtenons la loi de Darcy :

$ \Delta p = R_h J_V $

qu'Henry Darcy a formulée pour modéliser le comportement général de milieux poreux plus complexes à travers lesquels un liquide s'écoule.

Le génie de cette manière de réécrire la loi de Hagen-Poiseuille réside dans le fait qu'elle montre l'analogie entre l'écoulement du courant électrique et l'écoulement du liquide. Dans ce sens, la loi de Hagen-Poiseuille correspond à la loi d'Ohm. Cela ouvre la possibilité d'appliquer les concepts des réseaux électriques aux systèmes de canalisations à travers lesquels un liquide s'écoule.

Cette loi, également connue sous le nom de loi de Darcy-Weisbach, a été publiée pour la première fois dans l'uvre de Darcy :

• "Les fontaines publiques de la ville de Dijon", Henry Darcy, Victor Dalmont Editeur, Paris (1856).

ID:(3179, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Dans le cas de ($$), sa valeur est calculée en utilisant a viscosité ($\eta$), le rayon du cylindre ($R$) et le longueur du tube ($\Delta L$) à travers l'équation suivante :

Lorsqu'il y a plusieurs résistances hydrauliques connectées en série, nous pouvons calculer a résistance hydraulique totale en série ($R_{st}$) en ajoutant a resistência hidráulica em uma rede ($R_{hk}$), comme exprimé dans la formule suivante :

$ R_{st} =\displaystyle\sum_k R_{hk} $

Conditions

Variables

$R_h$

Résistance hydraulique

$kg/m^4s$

$R_{ss}$

Resistência hidráulica em uma rede

$kg/m^4s$

Relation

Développement

Une manière de modéliser un tube avec une section transversale variable consiste à le diviser en sections de rayon constant et à additionner ensuite les résistances hydrauliques en série. Supposons que nous ayons une série de sections avec des rayons R_{hk} et des longueurs L_k. Les résistances hydrauliques correspondantes seraient

$ R_h =\displaystyle\frac{8 \eta | \Delta L | }{ \pi R ^4}$

Dans chaque élément, il y aura une chute de pression égale là où le débit est le même, et la loi de Darcy s'applique :

$ \Delta p = R_h J_V $

La différence de pression totale sera égale à la somme des chutes de pression individuelles

$ \Delta p_t =\displaystyle\sum_k \Delta p_k $

donc

$\Delta p=\displaystyle\sum_k \Delta p_k=\displaystyle\sum_k (R_{hk}J_V)=\left(\displaystyle\sum_k R_{hk}\right)J_V\equiv R_{st}J_V$

Par conséquent, le système peut être modélisé comme un conduit unique avec une résistance hydraulique calculée comme la somme des composantes individuelles :

$ R_{st} =\displaystyle\sum_k R_{hk} $

ID:(3180, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Dans le cas de la somme d'éléments en série, a résistance hydraulique totale en série ($R_{st}$) est égal à la somme de a resistência hidráulica em uma rede ($R_{hk}$) :

Puisque a resistência hidráulica em uma rede ($R_{hk}$) est l'inverse de a conductance hydraulique dans un réseau ($G_{hk}$), nous avons :

$\displaystyle\frac{1}{ G_{st} }=\displaystyle\sum_k\displaystyle\frac{1}{ G_{hk} }$

Conditions

Variables

$R_{h1}$

Résistance hydraulique 1

$kg/m^4s$

$R_{h2}$

Résistance hydraulique 2

$kg/m^4s$

$R_{pt}$

Résistance hydraulique totale en parallèle

$kg/m^4s$

Relation

Développement

A résistance hydraulique totale en série ($R_{st}$), ainsi que a resistência hidráulica em uma rede ($R_{hk}$), dans

$ R_{st} =\displaystyle\sum_k R_{hk} $

et avec a conductance hydraulique dans un réseau ($G_{hk}$) et l'équation

$ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$

conduit à

$\displaystyle\frac{1}{ G_{st} }=\displaystyle\sum_k\displaystyle\frac{1}{ G_{hk} }$

ID:(3633, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Étant donné que chaque a résistance hydraulique de la kème couche ($R_{sk}$), qui dépend de a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), ($$), a largeur de la kème couche ($L_k$) et a conductivité hydraulique dans la kème couche ($K_{sk}$), est

il en résulte que a résistance hydraulique totale en série ($R_{st}$) est

$ R_{st} = \displaystyle\sum_k\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ K_{sk} }\displaystyle\frac{ L_k }{ S }$

Conditions

Variables

Relation

ID:(4741, 0)

Équation

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La somme des couches de sol en parallèle, notée le flux total ($J_{Vt}$), est égale à la somme de le débit volumique dans un réseau ($J_{Vk}$) :

$ J_{Vt} =\displaystyle\sum_k J_{Vk} $

Conditions

Variables

$J_{Vk}$

Calcul de l'équation de porosité

$-$

Relation

.

ID:(4376, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Dans le cas d'éléments en parallèle, la chute de pression est identique pour tous. Le flux total ($J_{Vt}$) correspond à la somme de le débit volumique dans un réseau ($J_{Vk}$) :

Et puisque le débit volumique dans un réseau ($J_{Vk}$) est proportionnel à A conductance hydraulique dans un réseau ($G_{hk}$), nous pouvons en conclure que

$ G_{pt} =\displaystyle\sum_k G_{hk} $

Conditions

Variables

$R_{h1}$

Résistance hydraulique 1

$kg/m^4s$

$R_{h2}$

Résistance hydraulique 2

$kg/m^4s$

$R_{h3}$

Résistance hydraulique 3

$kg/m^4s$

$R_{pt}$

Résistance hydraulique totale en parallèle

$kg/m^4s$

Relation

Développement

Avec le flux total ($J_{Vt}$) étant égal à Le débit volumique dans un réseau ($J_{Vk}$) :



et avec a différence de pression ($\Delta p$) et a conductance hydraulique dans un réseau ($G_{hk}$), ainsi que l'équation



pour chaque élément, nous en arrivons à la conclusion que, avec a conductance hydraulique totale parallèle ($G_{pt}$),

$J_{Vt}=\displaystyle\sum_k J_{Vk} = \displaystyle\sum_k K_{hk}\Delta p = K_{pt}\Delta p$

nous avons

.

.

ID:(3634, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Avec l'introduction de a conductance hydraulique ($G_h$), nous pouvons réécrire l'équation de Hagen-Poiseuille avec a différence de pression ($\Delta p$) et le volumique flux ($J_V$) à l'aide de l'équation suivante :

$ J_V = G_h \Delta p $

Conditions

Variables

$G_h$

Conductance hydraulique

$m^4/kg s$

$\Delta p$

Différence de pression

$Pa$

$J_V$

Volumique flux

$m^3/s$

Relation

Développement

Si nous examinons la loi de Hagen-Poiseuille, qui nous permet de calculer le volumique flux ($J_V$) à partir de le rayon du cylindre ($R$), a viscosité ($\eta$), le longueur du tube ($\Delta L$) et a différence de pression ($\Delta p$) :

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

nous pouvons introduire a conductance hydraulique ($G_h$), défini en termes de le longueur du tube ($\Delta L$), le rayon du cylindre ($R$) et a viscosité ($\eta$), de la manière suivante :

$ G_h =\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta | \Delta L | }$

pour obtenir :

$ J_V = G_h \Delta p $

ID:(14471, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Dans le cas d'une résistance hydraulique, sa valeur est calculée à l'aide de l'équation :

Lorsqu\'il y a plusieurs résistances hydrauliques connectées en parallèle, la résistance hydraulique de l\'ensemble du système peut être calculée à l\'aide de la formule suivante, spécifiquement pour les connexions en parallèle:

$\displaystyle\frac{1}{ R_{pt} }=\sum_k\displaystyle\frac{1}{ R_{hk} }$

Conditions

Variables

$R_h$

Résistance hydraulique

$kg/m^4s$

$R_{sp}$

Résistance hydraulique ajoutée parallèle (multiple)

$kg/m^4s$

Relation

Développement

A conductance hydraulique totale parallèle ($G_{pt}$) combiné avec a conductance hydraulique dans un réseau ($G_{hk}$) dans

$ G_{pt} =\displaystyle\sum_k G_{hk} $

et associé à A resistência hidráulica em uma rede ($R_{hk}$) ainsi qu'à l'équation

$ R_h = \displaystyle\frac{1}{G_h }$

conduit à

$\displaystyle\frac{1}{ R_{pt} }=\sum_k\displaystyle\frac{1}{ R_{hk} }$

ID:(3181, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Étant donné que chaque a conductance hydraulique dans un réseau ($G_{hk}$), dépendant de a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), a longueur de la couche de sol ($L$), a section de la kème couche ($S_k$), et a conductivité hydraulique dans la kème couche ($K_{sk}$), est égal à :

Par conséquent, a conductance hydraulique totale parallèle ($G_{pt}$) est calculé comme suit :

$ G_{pt} = \displaystyle\sum_k\displaystyle\frac{ K_{sk} }{ \rho_w g }\displaystyle\frac{ S_k }{ L }$

Conditions

Variables

Relation

ID:(4410, 0)