Storyboard

No caso do solo, é possível modelá-lo assumindo que ele contém múltiplos poros que formam pequenos capilares que o atravessam. Com base nisso, podem ser aplicadas as equações para o fluxo laminar através de tubos e calcular as resistências hidráulicas das redes de capilares, que dependem da porosidade e, portanto, da proporção dos diferentes componentes.

>Modelo

ID:(370, 0)

Conceito

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ID:(15203, 0)

Conceito

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Os poros individuais se reúnem para formar cadeias que criam capilares pelos quais a água flui.

Para modelar esse fenômeno, é necessário estimar tanto o raio desses capilares quanto o seu comprimento, levando em consideração que geralmente não são retos.

ID:(937, 0)

Conceito

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ID:(2284, 0)

Conceito

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La seção de poros ($S$) inclui la seção de poros ($S_p$) gerado por o número de capilares ($N_p$):

ID:(2285, 0)

Conceito

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Se observarmos uma secção transversal do solo, notaremos que os capilares passam pelos espaços entre os grãos. Ao fazê-lo, o número deles é semelhante ao número de grãos presentes, por isso podemos assumir que o número de capilares ($N_p$) é semelhante ao número de grãos presentes na secção:

ID:(2283, 0)

Conceito

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ID:(2291, 0)

Conceito

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O fluxo total é calculado como a soma dos fluxos individuais através dos diferentes poros:

Se assumirmos que todos os poros são idênticos, podemos obter o fluxo total ($J_{Vt}$) multiplicando o fluxo de volume ($J_V$) individualmente por o número de capilares ($N_p$).

ID:(2286, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O fluxo de líquido em um meio poroso, como o solo, é medido usando a variável la densidade de fluxo ($j_s$), que representa a velocidade média com que o líquido se move através dele. Ao modelar o solo e como o líquido passa por ele, descobrimos que esse processo é influenciado por fatores como la porosidade ($f$) e o raio de um grão genérico ($r_0$), que, quando maiores, facilitam o fluxo, enquanto la viscosidade ($\eta$) dificulta a passagem pelos capilares, reduzindo a velocidade de fluxo.

O modelo incorpora eventualmente o que chamaremos de la condutividade hidráulica ($K_s$), uma variável que depende das interações entre o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade ($f$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$), la viscosidade ($\eta$) e la porosidade própria genérica ($q_0$):

$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$

Condições

Variáveis

$J_1$

Cálculo da equação de porosidade

$-$

$J_2$

Fator de volume próprio do Slime

$-$

Relação

Desenvolvimento

Uma vez que la densidade de fluxo ($j_s$) está relacionado com o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade ($f$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$), la viscosidade ($\eta$), la porosidade própria genérica ($q_0$), la diferença de altura ($\Delta h$) e o comprimento da amostra ($\Delta L$) através da equação:

$ j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }$

Podemos definir um fator que chamaremos de la condutividade hidráulica ($K_s$) da seguinte forma:

$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$

Este fator abrange todos os elementos relacionados às propriedades do solo e do líquido que flui através dele.

la condutividade hidráulica ($K_s$) expressa a facilidade com que o líquido é conduzido através do meio poroso. Na verdade, la condutividade hidráulica ($K_s$) aumenta com la porosidade ($f$) e o raio de um grão genérico ($r_0$) e diminui com la porosidade própria genérica ($q_0$) e la viscosidade ($\eta$).

ID:(4739, 0)

Imagem

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Se examinarmos a literatura, podemos encontrar estimativas da condutividade hidráulica para diferentes texturas de solo, que são apresentadas aqui em função de seu expoente (ou seja, -7 é indicado para uma condutividade hidráulica de 1E-7 m/s):

Os resultados são resumidos na seguinte tabela:

Esses dados foram obtidos da seguinte literatura, que é referenciada na coluna de condutividade hidráulica:

[1] "Princípios e Práticas de Engenharia Geotécnica" de Donald P. Coduto et al., Prentice Hall (1999)

[2] "Mecânica dos Solos e Fundações" de Muni Budhu, John Wiley & Sons. (2011)

[3] "Introdução à Engenharia Ambiental" de Mackenzie Davis e David Cornwell, McGraw Hill (2022)

[4] "Princípios de Engenharia Geotécnica" de Braja M. Das, CL-Engineering (2009)

[5] "Mecânica dos Solos na Prática da Engenharia" de Karl Terzaghi e Ralph B. Peck, John Wiley & Sons. (1996)

[6] "Mecânica dos Solos: Conceitos e Aplicações" de William Powrie, CRC Press (2013)

ID:(4740, 0)

Conceito

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Parâmetro selecionado

Cálculos

ID:(15222, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La porosidade ($f$) pode ser calculado a partir de la seção de poros ($S_p$) e la seção de poros ($S$) usando a seguinte fórmula:

$ f = \displaystyle\frac{ S_p }{ S }$

Condições

Variáveis

Relação

Desenvolvimento

Com a altura la distância infinitesimal ($ds$), o volume de la seção de poros ($S$) é

$S ds$

e o volume dos poros com la seção de poros ($S_p$) é

$S_p ds$

Portanto, la porosidade ($f$) é calculado como

$f = \displaystyle\frac{S_p ds}{S ds} = \displaystyle\frac{S_p}{S}$

resultando na seguinte equação:

$ f = \displaystyle\frac{ S_p }{ S }$

ID:(938, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Uma vez que a área de seção transversal de um poro de raio do cilindro ($R$) é $\pi R^2$ e o número de capilares ($N_p$) está relacionado a isso, podemos calcular la seção de poros ($S_p$) da seguinte forma:

$ S_p = N_p \pi R ^2$

Condições

Variáveis

$N_p$

Número de capilares

$-$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$S_p$

Seção de poros

$m^2$

Relação

ID:(4362, 0)

Equação

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Com la porosidade ($f$) e la seção de poros ($S$), obtemos la seção de poros ($S_p$), que quando dividido pela seção calculada do capilar de o raio do cilindro ($R$), resulta em o número de capilares ($N_p$), conforme segue:

$ N_p =\displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2}$

Condições

Variáveis

$N_p$

Número de capilares

$-$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$f$

Porosidade

$-$

Relação

Desenvolvimento

Como la porosidade ($f$), calculado com la seção de poros ($S_p$) e la seção de poros ($S$) usando

$ f = \displaystyle\frac{ S_p }{ S }$

juntamente com a equação para o cálculo de la seção de poros ($S_p$) com base em o número de capilares ($N_p$) e o raio do cilindro ($R$) por meio de

$ S_p = N_p \pi R ^2$

resulta em

$f = \displaystyle\frac{N_p\pi R^2}{S}$

pode ser resolvido para o número de capilares ($N_p$), resultando em

$ N_p =\displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2}$

ID:(4363, 0)

Equação

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Se assumirmos que o número de capilares é igual ao número de grãos visíveis em uma seção, podemos demonstrar que para um raio de grão de o raio de um grão genérico ($r_0$) e uma porosidade ($f$), o raio do cilindro ($R$) será igual a:

$R = \sqrt{\displaystyle\frac{ f }{1- f }} r_0 $

Condições

Variáveis

Relação

Desenvolvimento

Se considerarmos a área na seção que não contém poros, subtraindo la seção de poros ($S_p$) de la seção de poros ($S$) e dividindo pelo tamanho de um grão genérico com raio de raio de um grão genérico ($r_0$), obtemos o número de grãos visíveis na seção:

$\displaystyle\frac{S-S_p}{\pi r_0^2}=\displaystyle\frac{(1-f)S}{\pi r_0^2}$

onde usamos a relação para la porosidade ($f$):

$ f = \displaystyle\frac{ S_p }{ S }$

Se o número de grãos for igual a número de capilares ($N_p$) com a expressão:

$ N_p =\displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2}$

onde o raio é O raio do cilindro ($R$). Com isso, obtemos a relação:

$\displaystyle\frac{(1-f)S}{\pi r_0^2}=\displaystyle\frac{fS}{\pi R^2}$

resultando em:

$R = \sqrt{\displaystyle\frac{ f }{1- f }} r_0 $

ID:(109, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se igualarmos o volume de um capilar ao volume de uma cadeia de grãos multiplicado por o comprimento da amostra ($\Delta L$), obtemos uma relação entre la comprimento capilar ($l$) e la porosidade ($f$) dada por:

$ l = q_0 \displaystyle\frac{(1- f )}{ f } \Delta L $

Condições

Variáveis

Relação

Desenvolvimento

O volume do capilar pode ser calculado a partir de o raio do cilindro ($R$) e la comprimento capilar ($l$), o que é igual ao volume de uma cadeia de grãos de o raio de um grão genérico ($r_0$) e o comprimento do tubo ($\Delta L$) multiplicado por la porosidade própria genérica ($q_0$):

$\pi R^2 l = q_0 \pi r_0^2 \Delta L$

Isso, juntamente com la porosidade ($f$) na relação

$R = \sqrt{\displaystyle\frac{ f }{1- f }} r_0 $

resulta na seguinte relação:

$ l = q_0 \displaystyle\frac{(1- f )}{ f } \Delta L $

ID:(2215, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O fluxo total ($J_{Vt}$) é calculado multiplicando um número de capilares ($N_p$) pelo valor de o fluxo de volume ($J_V$) em cada capilar, da seguinte forma:

$ J_{Vt} = N_p J_V $

Condições

Variáveis

$J_{Vt}$

Fluxo total

$m^3/s$

$N_p$

Número de capilares

$-$

Relação

ID:(4364, 0)

Equação

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Se aplicarmos a equação de Hagen-Poiseuille a o fluxo de volume ($J_V$) para o caso de capilares com o raio do cilindro ($R$) expressos em termos de la porosidade ($f$) e la comprimento capilar ($l$) como função de o comprimento da amostra ($\Delta L$), podemos calcular o fluxo total ($J_{Vt}$) usando

O resultado pode ser expresso em termos de la seção de poros ($S$), la viscosidade ($\eta$), la porosidade própria genérica ($q_0$), o raio de um grão genérico ($r_0$) e la diferença de pressão ($\Delta p$):

$ J_{Vt} =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2}{8 \eta q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3}{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ S }{ \Delta L } \Delta p $

Condições

Variáveis

$L$

Comprimento capilar

$m$

$\Delta p_2$

Diferença de pressão 2

$Pa$

$f$

Porosidade

$-$

Relação

Desenvolvimento

Para calcular o fluxo total ($J_{Vt}$) usando o número de capilares ($N_p$) e o fluxo de volume ($J_V$) para cada capilar através de

$ J_{Vt} = N_p J_V $

obtemos o número de capilares ($N_p$) com la porosidade ($f$), la seção de poros ($S$) e o raio do cilindro ($R$) através de

$ N_p =\displaystyle\frac{ f S }{ \pi R ^2}$

e a lei de Hagen-Poiseuille usando la viscosidade ($\eta$), la diferença de pressão ($\Delta p$) e la comprimento capilar ($l$) é calculada com

$J_v = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{8\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{l}$

Usando a relação para o raio do cilindro ($R$) em termos de o raio de um grão genérico ($r_0$)

$R = \sqrt{\displaystyle\frac{ f }{1- f }} r_0 $

e para la comprimento capilar ($l$), la porosidade própria genérica ($q_0$) e o comprimento da amostra ($\Delta L$)

$ l = q_0 \displaystyle\frac{(1- f )}{ f } \Delta L $

obtemos

$ J_{Vt} =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2}{8 \eta q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3}{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ S }{ \Delta L } \Delta p $

Esta equação corresponde à equação de Kozeny-Carman, que foi desenvolvida por Kozeny e Carman para modelar o fluxo de um líquido através de um meio poroso e foi publicada em:

• Sobre a condução capilar da água no solo, ("Ueber kapillare Leitung des Wassers im Boden"), J. Kozeny, Sitzungsber Akad. Wiss., Wien, 136(2a): 271-306 (1927)

• Fluxo de fluidos através de leitos granulares, ("Fluid flow through granular beds"), P.C. Carman, Transactions, Institution of Chemical Engineers, London, 15: 150-166 (1937)

• Fluxo de gases através de meios porosos, ("Flow of gases through porous media"), P.C. Carman, Butterworths, London (1956)

ID:(4365, 0)

Equação

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ID:(10594, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso de um tubo pelo qual um líquido com la densidade da água ($\rho_w$) flui devido a la diferença de pressão ($\Delta p$) gerado por um uma diferença de altura ($\Delta h$) sob a influência da gravidade representada por la aceleração gravitacional ($g$) e calculado com a equação:

isso pode ser utilizado na equação de Hagen-Poiseuille, juntamente com a definição de la densidade de fluxo ($j_s$) em termos de o fluxo total ($J_{Vt}$), que por sua vez depende de o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade própria genérica ($q_0$), la porosidade ($f$), la viscosidade ($\eta$) e o comprimento da amostra ($\Delta L$):

$ j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }$

Condições

Variáveis

$L$

Comprimento capilar

$m$

$\rho_w$

Densidade líquida

$kg/m^3$

$\Delta h$

Diferença de altura ou profundidade

$m$

$f$

Porosidade

$-$

Relação

Desenvolvimento

No caso de capilares pelos quais um líquido com la densidade líquida ($\rho_w$) flui devido a la diferença de pressão ($\Delta p$) gerado por uma diferença de altura ($\Delta h$) sob a influência da gravidade representada por la aceleração gravitacional ($g$) e calculado com a equação:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

isso pode ser aplicado na equação de Hagen-Poiseuille, em termos de o fluxo total ($J_{Vt}$), que por sua vez depende de o raio de um grão genérico ($r_0$), la porosidade própria genérica ($q_0$), la porosidade ($f$), la viscosidade ($\eta$), la seção ou superfície ($S$) e o comprimento da amostra ($\Delta L$) como descrito na equação:

$ J_{Vt} =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2}{8 \eta q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3}{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ S }{ \Delta L } \Delta p $

Junto com a definição de la densidade de fluxo ($j_s$):

$j_s = \displaystyle\frac{J_{Vt}}{S}$

Nós temos:

$j_s=\displaystyle\frac{J_{Vt}}{S}=\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_g }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ L }$

resultando em:

$ j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }$

ID:(4366, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Para relacionar a condutividade hidráulica com os fatores de massa, introduzimos o fator de escala capilar ($\gamma$) com o raio de um grão genérico ($r_0$), o raio do grão de areia ($r_a$), la porosidade própria genérica ($q_0$) e la própria porosidade da areia ($q_a$) como

$ \gamma = \displaystyle\frac{ r_0 ^2}{ r_a ^2}\displaystyle\frac{ q_a }{ q_0 }$

Condições

Variáveis

Relação

.

ID:(15101, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A partir da definição de la condutividade hidráulica ($K_s$) e o fator de escala capilar ($\gamma$), podemos expressar la condutividade hidráulica ($K_s$) em termos de o raio do grão de areia ($r_a$), la própria porosidade da areia ($q_a$), la porosidade ($f$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$) e la viscosidade ($\eta$) da seguinte forma:

$ K_s = \displaystyle\frac{ r_a ^2}{8 q_a }\displaystyle\frac{ f ^3}{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta } \gamma $

Condições

Variáveis

Relação

.

ID:(977, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O cálculo de o fator de escala capilar ($\gamma$) é derivado de la porosidade ($f$), la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$) e la viscosidade ($\eta$), excluindo o raio do grão de areia ($r_a$) e la própria porosidade da areia ($q_a$), por meio da seguinte equação:

$\gamma=\displaystyle\frac{8K_sq_a}{r_a^2}\displaystyle\frac{(1-f)^2}{f^3}\displaystyle\frac{\eta}{\rho_wg}$

Se quisermos relacionar o fator de escala capilar ($\gamma$) com la fração mássica de areia na amostra ($g_a$), la fração de massa de lodo na amostra ($g_i$) e la fração mássica de argila na amostra ($g_c$), observamos que, enquanto o primeiro varia em 6 ordens de magnitude, os últimos variam apenas em 2 ordens de magnitude. Portanto, faz sentido estabelecer uma relação com o logaritmo natural de $\gamma$. Assim, realizamos uma regressão usando a seguinte equação:

$\ln \gamma = s_a g_a + s_i g_i + s_c g_c $

Condições

Variáveis

Relação

com o fator de seção capilar em areia ($s_a$), o fator de seção capilar em lodo ($s_i$) e o fator de seção capilar de argila ($s_c$).

Os dados médios para cada intervalo são os seguintes:

A regressão resulta em uma relação linear com um valor de R-quadrado de 0,9975 e os seguintes coeficientes, juntamente com os valores para avaliar a qualidade dos coeficientes:

Dado os valores do p-test, podemos assumir que todos os coeficientes são altamente relevantes.

ID:(15100, 0)