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Viscosidad
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En la teoría cinética de gases se modela el comportamiento de las distintas moléculas para comprender las distintas propiedades del sistema.
ID:(788, 0)
Camino libre con concentración de moles
Ecuación
Dado que el diámetro de la partícula $d$ es el doble del radio $a$
$d=2a$
y la concentración de partículas $c_N$ se puede expresar en términos de la concentración molar $c_n$ como
$c_N=N_Ac_n$
donde $N_A$ es el número de Avogadro, la ecuación del camino libre
$l=\displaystyle\frac{1}{4a^2\pi c_N}$
también se puede expresar como:
 $l=\displaystyle\frac{1}{d^2\pi c N_A}$ |
ID:(4477, 0)
Camino libre con concentración de partículas
Ecuación
El camino libre medio se puede estimar en función del diámetro de un cilindro imaginario que rodea una partícula, teniendo en promedio una colisión con otra partícula.
El radio del cilindro corresponde a la distancia máxima que dos partículas deben tener para colisionar, lo que equivale a dos veces el radio de la partícula, es decir, el diámetro de la partícula ($d$). Dado que solo ocurre una colisión en este cilindro, el número de partículas contenidas en él debe ser igual a uno. Esto significa que:
$l d^2\pi c_n= 1$
con la concentración de particulas ($c_n$) y resolviendo para el camino libre ($\bar{l}$), obtenemos:
| $ l =\displaystyle\frac{1}{ d ^2 \pi c_n }$ |
Esto representa el camino libre medio.
ID:(4392, 0)
Camino libre de una Molécula
Descripción
Cuando una molécula se desplaza periódicamente a través del volumen que contiene el gas, eventualmente se encontrará con otra molécula y podrán chocar. La distancia que recorre entre dos choques consecutivos se denomina 'camino libre medio'.
ID:(114, 0)
Concentración en base a masa molar
Ecuación
Si dividimos la densidad ($\rho$) por la masa de la partícula ($m$), obtendremos la concentración de particulas ($c_n$):
| $ c_n =\displaystyle\frac{ \rho }{ m }$ |
Dado la concentración de particulas ($c_n$) con el número de partículas ($N$) y el volumen ($V$), obtenemos:
| $ c_n \equiv \displaystyle\frac{ N }{ V }$ |
Con la masa de la partícula ($m$) y la masa ($M$),
| $ m \equiv \displaystyle\frac{ M }{ N }$ |
Como la densidad ($\rho$) es
| $ \rho \equiv\displaystyle\frac{ M }{ V }$ |
obtenemos
$c_n=\displaystyle\frac{N}{V}=\displaystyle\frac{M}{mV}=\displaystyle\frac{\rho}{m}$
Por lo tanto,
| $ c_n =\displaystyle\frac{ \rho }{ m }$ |
ID:(10623, 0)
Concentración partículas y moles
Ecuación
Para convertir la concentración molar ($c_m$) en la concentración de particulas ($c_n$), simplemente multiplique la primera por el número de Avogadro ($N_A$), así:
| $ c_n = N_A c_m $ |
ID:(10624, 0)
Energía cinética de la partícula
Ecuación
La energía cinética ($K$) junto con la masa de la partícula ($m$) y la velocidad media de una partícula ($\bar{v}$) es igual a
| $ K =\displaystyle\frac{ m }{2} \bar{v} ^2$ |
Nota: En un rigor más estricto, la energía cinética depende del promedio de la velocidad al cuadrado $\bar{v^2}$. Sin embargo, se asume que este es aproximadamente igual al cuadrado del promedio de la velocidad:
$\bar{v^2}\sim\bar{v}^2$
ID:(4390, 0)
Energía de una Molécula
Descripción
La energía de las moléculas depende de la temperatura que tienen y el numero de grados de libertad.
ID:(1050, 0)
Energía en función de grados de libertad
Ecuación
La ley de Stefan-Boltzmann, inicialmente propuesta por Josef Stefan [1] y posteriormente refinada por Ludwig Boltzmann [2], establece que la energía de una molécula ($E$) es proporcional a el grados de libertad ($f$) multiplicado por la temperatura absoluta ($T$) con una constante de proporcionalidad la constante de Boltzmann ($k_B$):
| $ E =\displaystyle\frac{ f }{2} k_B T $ |
Es importante destacar que la temperatura absoluta ($T$) debe expresarse necesariamente en grados Kelvin.
El número de grados de libertad de una partícula corresponde al número de variables necesarias para describir su estado termodinámico. Por ejemplo, para una partícula puntual, se requieren solo tres coordenadas, lo que da lugar a tres grados de libertad. Si la partícula tiene forma y es rígida, se necesitan además dos ángulos, lo que resulta en un total de cinco grados de libertad. Cuando la partícula puede deformarse o vibrar en una o más direcciones, estos modos adicionales también se consideran grados de libertad. Sin embargo, es importante notar que estos grados de libertad adicionales solo existen a altas temperaturas, cuando la partícula tiene suficiente energía para activar dichas vibraciones.
[1] "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" (Sobre la relación entre la radiación de calor y la temperatura), Josef Stefan, Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien (1879).
[2] "Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen" (Más estudios sobre el equilibrio térmico entre moléculas de gas), Ludwig Boltzmann, Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien (1884).
ID:(4387, 0)
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Ecuaciones
$ c_n = N_A c_m $
c_n = N_A * c_m
$ c_n =\displaystyle\frac{ \rho }{ m }$
c_n = rho / m
$ E =\displaystyle\frac{ f }{2} k_B T $
E = f * k_B * T /2
$ K =\displaystyle\frac{ m }{2} \bar{v} ^2$
K = m * v ^2/2
$ l =\displaystyle\frac{1}{ d ^2 \pi c_n }$
l = 1/( d ^2 * pi * c )
$ m =\displaystyle\frac{ M_m }{ N_A }$
m = M_m / N_A
$ \bar{v} =\sqrt{\displaystyle\frac{ f k_B T }{ m }}$
v =sqrt( f * k_B * T / m )
$F=-Slc_nm\displaystyle\frac{dv_x}{dt}$
F=-Slc_nm\displaystyle\frac{dv_x}{dt}
$l=\displaystyle\frac{1}{d^2\pi c N_A}$
l = 1 / ( d^2 * pi * c_n * N_A )
$\eta=\displaystyle\frac{1}{3}lc_nm\sqrt{\langle v^2\rangle}$
\eta=\displaystyle\frac{1}{3}lc_nm\sqrt{\langle v^2\rangle}
$\eta=\displaystyle\frac{1}{6\pi d^2}\sqrt{fmkT}$
\eta=\displaystyle\frac{1}{6\pi d^2}\sqrt{fmkT}
ID:(15354, 0)
Velocidad de una Moléculas
Descripción
En un gas la molecula se mueven por el espacio en gran medida en forma independiente del las restantes moleculas.
En primera aproximación se puede describir la interacción como meros choques.
En una segunda aproximación se puee tomar en cuenta eventuales fuerzas atractivas entre moleculas. Estas en particular se haran mas visibles en bordes del sistema por existir una asimetria de la distribución de particulas. En el medio del volumen la molecula estan expuesta a fuerzas de todos lados lo que en promedio tiende a anularse. En el borde solo existen vecinas hacia el inetrior del contenedor por lo que puede exitir una fuerza que frena a la particula que va a impactar la pared. Esto corresponde a la reducción de la presón que se modela con la ecuación de Van der Waals.
ID:(113, 0)
Viscosidad como intercambio de momento
Ecuación
Si la velocidad en un punto
$mdv_x = m(v_x(z + dz) - v_x(z))$
El numero de partículas que participan en dicho proceso es igual a aquellas que se encuentran en un volumen de sección
$S l c_n$
Por ello la fuerza
$F=\displaystyle\frac{dp}{dt}$
por lo que la fuerza viscosa es
| $F=-Slc_nm\displaystyle\frac{dv_x}{dt}$ |
donde el signo negativo se debe a que la fuerza es contraria a la dirección del flujo.
ID:(3944, 0)
Viscosidad en función de la temperatura
Ecuación
Si la viscosidad es
| $\eta=\displaystyle\frac{1}{3}lc_nm\sqrt{\langle v^2\rangle}$ |
con
$l=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2c_n}$
se tiene que la viscosidad en función de la temperatura sera:
| $\eta=\displaystyle\frac{1}{6\pi d^2}\sqrt{fmkT}$ |
donde el signo negativo se debe a que la fuerza es contraria a la dirección del flujo.
ID:(3946, 0)
Viscosidad en modelo microscópico
Ecuación
Si se considera la fuerza
| $F=-Slc_nm\displaystyle\frac{dv_x}{dt}$ |
donde
$F=-S,l,c_nm\displaystyle\frac{dv_x}{dz}\displaystyle\frac{dz}{dt}$
La derivada de la posición
$\displaystyle\frac{dz}{dt}=v_z=\displaystyle\frac{1}{3}\sqrt{\langle v^2\rangle}$
De esta forma queda la fuerza creada por la mezcla de momentos como
$F=-\displaystyle\frac{1}{3}S,l,c_nm\sqrt{\langle v^2\rangle}\displaystyle\frac{dv_x}{dz}$
Si se compara esta expresión con la fuerza viscosa
$F=-S,\eta\displaystyle\frac{dv_x}{dz}$
se concluye que la viscosidad tiene que ser
| $\eta=\displaystyle\frac{1}{3}lc_nm\sqrt{\langle v^2\rangle}$ |
donde el signo negativo se debe a que la fuerza es contraria a la dirección del flujo.
ID:(3945, 0)
Masa de la partícula y masa molar
Ecuación
La masa de la partícula ($m$) puede estimarse a partir de la masa molar ($M_m$) y el número de Avogadro ($N_A$) mediante
| $ m =\displaystyle\frac{ M_m }{ N_A }$ |
ID:(4389, 0)
Velocidad media de las partículas
Ecuación
Si se iguala la energía cinética ($K$) con la energía de una molécula ($E$) se puede calcular en función de el grados de libertad ($f$), la constante de Boltzmann ($k_B$), la temperatura absoluta ($T$) y la masa de la partícula ($m$) lo que es la velocidad media de una partícula ($\bar{v}$) mediante
| $ \bar{v} =\sqrt{\displaystyle\frac{ f k_B T }{ m }}$ |
La energía cinética ($K$) con la masa de la partícula ($m$) y la velocidad media de una partícula ($\bar{v}$)
| $ K =\displaystyle\frac{ m }{2} \bar{v} ^2$ |
y la energía de una molécula ($E$) con el grados de libertad ($f$), la constante de Boltzmann ($k_B$) y la temperatura absoluta ($T$)
| $ E =\displaystyle\frac{ f }{2} k_B T $ |
que al igualar dan
| $ \bar{v} =\sqrt{\displaystyle\frac{ f k_B T }{ m }}$ |
ID:(4391, 0)