Storyboard

In der kinetischen Theorie der Gase wird das Verhalten der verschiedenen Moleküle modelliert, um die verschiedenen Eigenschaften des Systems zu verstehen.

>Modell

ID:(788, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Viskosität ist

mit l dem freien Pfad, c_n der Konzentration, m der Masse und \ langle v ^ 2 \ rangle the erwarteter Wert des Quadrats der Geschwindigkeit. Mit dem Ausdruck für den freien Weg

$l=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2c_n}$

Die Viskosität in Abhängigkeit von der Temperatur beträgt:

wo das negative Vorzeichen ist, weil die Kraft der Strömungsrichtung entgegengesetzt ist.

ID:(3946, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz, das ursprünglich von Josef Stefan [1] formuliert und später von Ludwig Boltzmann [2] weiterentwickelt wurde, besagt, dass die Energie eines Moleküls ($E$) proportional zu das Freiheitsgrade ($f$) multipliziert mit die Absolute Temperatur ($T$) ist, wobei eine Proportionalitätskonstante von die Boltzmann-Konstante ($k_B$) vorliegt:

$E =\displaystyle\frac{ f }{2} k_B T$

Bedingungen

Variablen

$T$

Absolute Temperatur

$K$

5177

$k_B$

Boltzmann-Konstante

$J/K$

5395

$E$

Energie eines Moleküls

$J$

6073

$f$

Freiheitsgrade

$-$

4959

Beziehung

Es ist wichtig zu beachten, dass die Absolute Temperatur ($T$) unbedingt in Kelvin ausgedrückt werden muss.

Die Anzahl der Freiheitsgrade eines Teilchens entspricht der Anzahl der Variablen, die erforderlich sind, um seinen thermodynamischen Zustand zu beschreiben. Zum Beispiel benötigt ein Punktteilchen nur drei Koordinaten, was zu drei Freiheitsgraden führt. Wenn das Teilchen jedoch eine Form und Steifigkeit aufweist, sind zwei zusätzliche Winkel erforderlich, was zu insgesamt fünf Freiheitsgraden führt. Wenn das Teilchen sich zusätzlich deformieren oder in einer oder mehreren Richtungen schwingen kann, werden diese zusätzlichen Modi ebenfalls als zusätzliche Freiheitsgrade betrachtet. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass diese zusätzlichen Freiheitsgrade nur bei hohen Temperaturen existieren, wenn das Teilchen genügend Energie hat, um solche Schwingungen zu aktivieren.

[1] "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" (Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur), Josef Stefan, Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien (1879).

[2] "Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen" (Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen), Ludwig Boltzmann, Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien (1884).

ID:(4387, 0)

Beschreibung

>Top

ID:(1050, 0)

Beschreibung

>Top

Wenn ein Molekül sich periodisch durch das Volumen bewegt, das das Gas enthält, wird es schließlich auf ein anderes Molekül treffen und es könnte zu einer Kollision kommen. Die Strecke, die es zwischen zwei aufeinanderfolgenden Kollisionen zurücklegt, wird als 'mittlerer freier Weg' bezeichnet.

ID:(114, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Da der Durchmesser des Partikels $d$ das Doppelte des Radius $a$ ist

$d=2a$

und die Partikelkonzentration $c_N$ in Bezug auf die molare Konzentration $c_n$ ausgedrückt werden kann als

$c_N=N_Ac_n$

wobei $N_A$ die Avogadro-Zahl ist, kann die Gleichung für den mittleren freien Weg

$l=\displaystyle\frac{1}{4a^2\pi c_N}$

auch geschrieben werden als:

$l=\displaystyle\frac{1}{d^2\pi c N_A}$

Bedingungen

Variablen

$N_A$

Avogadrozahl

$-$

5403

$l$

Berechnung Kostenlose Pfad mit Durchmesser und Molkonzentration

$m$

6214

$c$

Molare Konzentration

$mol/m^3$

5083

$d$

Molekül Durchmesser

$m$

6213

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

Beziehung

ID:(4477, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der mittlere freie Weg kann in Abhängigkeit vom Durchmesser eines imaginären Zylinders geschätzt werden, der eine Partikel umgibt und im Durchschnitt eine Kollision mit einer anderen Partikel hat.

Der Radius des Zylinders entspricht dem maximalen Abstand, den zwei Partikel haben müssen, um zu kollidieren, was dem doppelten Radius der Partikel entspricht, d.h. Der Partikeldurchmesser ($d$). Da innerhalb dieses Zylinders nur eine Kollision stattfindet, muss die Anzahl der darin enthaltenen Partikel gleich eins sein. Das bedeutet:

$l d^2\pi c_n= 1$

mit die Partikelkonzentration ($c_n$), und wenn wir nach der Freier Weg ($\bar{l}$) auflösen, erhalten wir:

$l =\displaystyle\frac{1}{ d ^2 \pi c_n }$

Bedingungen

Variablen

$l$

Freier Weg in Funktion des Funk und Partikelkonzentration

$m$

6078

$c$

Molare Konzentration

$mol/m^3$

5083

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$a$

Radio der Molecule

$m$

6077

Beziehung

Dies stellt den mittleren freien Weg dar.

ID:(4392, 0)

Beschreibung

>Top

En un gas la molecula se mueven por el espacio en gran medida en forma independiente del las restantes moleculas.

En primera aproximación se puede describir la interacción como meros choques.

En una segunda aproximación se puee tomar en cuenta eventuales fuerzas atractivas entre moleculas. Estas en particular se haran mas visibles en bordes del sistema por existir una asimetria de la distribución de particulas. En el medio del volumen la molecula estan expuesta a fuerzas de todos lados lo que en promedio tiende a anularse. En el borde solo existen vecinas hacia el inetrior del contenedor por lo que puede exitir una fuerza que frena a la particula que va a impactar la pared. Esto corresponde a la reducción de la presón que se modela con la ecuación de Van der Waals.

ID:(113, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Kinetische Energie ($K$) in Kombination mit die Partikelmasse ($m$) und die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Teilchens ($\bar{v}$) ergibt

$K =\displaystyle\frac{ m }{2} \bar{v} ^2$

Bedingungen

Variablen

$v$

Durchschnittsgeschwindigkeit eines Teilchens

$m/s$

6074

$K$

Kinetische Energie

$J$

6075

$m$

Partikelmasse

$kg$

5516

Beziehung

Hinweis: In strengerem Sinne hängt die kinetische Energie vom Durchschnitt der Geschwindigkeit zum Quadrat $\bar{v^2}$ ab. Es wird jedoch angenommen, dass dies ungefähr gleich dem Quadrat des Durchschnitts der Geschwindigkeit ist:

$\bar{v^2}\sim\bar{v}^2$

ID:(4390, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn wir die Dichte ($\rho$) durch die Partikelmasse ($m$) teilen, erhalten wir die Partikelkonzentration ($c_n$):

$c_n =\displaystyle\frac{ \rho }{ m }$

Bedingungen

Variablen

$\rho$

Dichte

$kg/m^3$

5342

$c_n$

Partikelkonzentration

$1/m^3$

5548

$m$

Partikelmasse

$kg$

5516

Beziehung

Entwicklung

Mit die Partikelkonzentration ($c_n$) als der Anzahl der Partikel ($N$) und der Volumen ($V$) erhalten wir:

$c_n \equiv \displaystyle\frac{ N }{ V }$

Mit die Partikelmasse ($m$) und die Masse ($M$),

$m \equiv \displaystyle\frac{ M }{ N }$

Da die Dichte ($\rho$) ist

$\rho \equiv\displaystyle\frac{ M }{ V }$

erhalten wir

$c_n=\displaystyle\frac{N}{V}=\displaystyle\frac{M}{mV}=\displaystyle\frac{\rho}{m}$

Deshalb,

$c_n =\displaystyle\frac{ \rho }{ m }$

ID:(10623, 0)

Iframe

>Top

ID:(15296, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Kraft F berücksichtigt wird, die durch die Mischung von Partikeln zu unterschiedlichen Zeiten erzeugt wird

Dabei ist S der Abschnitt, l der freie Pfad, c_n die Konzentration, m die Masse der Partikel und dv_x die zeitliche Variation dt . Dieser Ausdruck kann neu formuliert werden, wenn die Beschleunigung wie folgt umgeschrieben wird

$F=-S,l,c_nm\displaystyle\frac{dv_x}{dz}\displaystyle\frac{dz}{dt}$

Die Ableitung der z -Position in Bezug auf die Zeit kann unter Verwendung von modelliert werden

$\displaystyle\frac{dz}{dt}=v_z=\displaystyle\frac{1}{3}\sqrt{\langle v^2\rangle}$

Auf diese Weise entsteht die Kraft, die durch die Mischung von Momenten entsteht

$F=-\displaystyle\frac{1}{3}S,l,c_nm\sqrt{\langle v^2\rangle}\displaystyle\frac{dv_x}{dz}$

Wenn Sie diesen Ausdruck mit der viskosen Kraft vergleichen

$F=-S,\eta\displaystyle\frac{dv_x}{dz}$

es wird geschlossen, dass die Viskosität sein muss

wo das negative Vorzeichen ist, weil die Kraft der Strömungsrichtung entgegengesetzt ist.

ID:(3945, 0)

Top

>Top

Parameter

$N_A$

N_A

Avogadros Nummer

-

$N_A$

N_A

Avogadrozahl

-

$l$

l

Berechnung Kostenlose Pfad mit Durchmesser und Molkonzentration

m

$k_B$

k_B

Boltzmann-Konstante

J/K

$\rho$

rho

Dichte

kg/m^3

$\langle v^2\rangle$

v^2

Durchschnittliche Squared of Speed

m^2/s^2

$\bar{v}$

v

Durchschnittsgeschwindigkeit eines Teilchens

m/s

$E$

E

Energie eines Moleküls

J

$\bar{l}$

l

Freier Weg

m

$l_r$

l_r

Freier Weg in Funktion des Funk und Partikelkonzentration

m

$f$

f

Freiheitsgrade

-

$d$

d

Molekül Durchmesser

m

$M_m$

M_m

Molmasse

kg/mol

$d$

d

Partikeldurchmesser

m

$m$

m

Partikelmasse

kg

$\pi$

pi

Pi

rad

$a$

a

Radio der Molecule

m

$\eta$

eta

Viskosität

Pa s

Variablen

$S$

S

Abschnitt

m^2

$T$

T

Absolute Temperatur

K

$\Delta v$

Dv

Geschwindigkeitsunterschied zwischen Oberflächen

m/s

$dt$

dt

Infinitesimale Variation of Time

s

$K$

K

Kinetische Energie

J

$F$

F

Kraft

N

$c$

c

Molare Konzentration

mol/m^3

$c_m$

c_m

Molare Konzentration

mol/m^3

$c_n$

c_n

Partikelkonzentration

1/m^3

Berechnungen

• Alternative Methode
• Traditionelle Methode
• Strategie
• 2D
• 3D

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen: zu , dann die Variable auswählen: zu

---

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable Gegeben Berechnen Ziel : Gleichung Zu verwenden

Gleichungen

ID:(15354, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Um die Molare Konzentration ($c_m$) in die Partikelkonzentration ($c_n$) umzuwandeln, multiplizieren Sie einfach die erste Zahl mit der Avogadros Nummer ($N_A$), wie folgt:

$c_n = N_A c_m$

Bedingungen

Variablen

$N_A$

Avogadros Nummer

6.02e+23

$-$

9860

$c_m$

Molare Konzentration

$mol/m^3$

6609

$c_n$

Partikelkonzentration

$1/m^3$

5548

Beziehung

ID:(10624, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Geschwindigkeit an einem Punkt z v_x (z) und an einem benachbarten Punkt z + dz v_x (z +) ist dz) Es wird angenommen, dass die Partikel in einem Abstand eines freien Pfades l den Moment neu verteilen können:

$mdv_x = m(v_x(z + dz) - v_x(z))$

Die Anzahl der Partikel, die an diesem Prozess teilnehmen, entspricht der Anzahl der Partikel in einem Volumen des Abschnitts S und der Höhe des freien Pfades l :

$S l c_n$

Daher ist die Kraft F gleich der Momentänderung in dp und der Zeit dt

$F=\displaystyle\frac{dp}{dt}$

so ist die schleimige Kraft

wo das negative Vorzeichen ist, weil die Kraft der Strömungsrichtung entgegengesetzt ist.

ID:(3944, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Partikelmasse ($m$) kann aus die Molmasse ($M_m$) und der Avogadros Nummer ($N_A$) geschätzt werden mithilfe von

$m =\displaystyle\frac{ M_m }{ N_A }$

Bedingungen

Variablen

$N_A$

Avogadros Nummer

6.02e+23

$-$

9860

$M_m$

Molmasse

$kg/mol$

6212

$m$

Partikelmasse

$kg$

5516

Beziehung

ID:(4389, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Como la energía cinética de la molécula es

y la energía en función de la temperatura es

con k_B la constante de Boltzmann, f el número de grados de libertad y T la temperatura absoluta se tiene que

$\bar{v} =\sqrt{\displaystyle\frac{ f k_B T }{ m }}$

Bedingungen

Variablen

$T$

Absolute Temperatur

$K$

5177

$k_B$

Boltzmann-Konstante

$J/K$

5395

$v$

Durchschnittsgeschwindigkeit eines Teilchens

$m/s$

6074

$f$

Freiheitsgrade

$-$

4959

$m$

Partikelmasse

$kg$

5516

Beziehung

ID:(4391, 0)