Loading web-font TeX/Math/Italic
Usuario: No hay usuarios registrado.


Distribución de Gauss
Storyboard

En el limite de probabilidades similares la distribución binomial se reduce en el limite continuo a la distribución Gausseana.

>Modelo

ID:(1556, 0)


Distribución binomial
Ecuación

>Top, >Modelo


Con la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por

W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}



con el número total de pasos es

N=n_1+n_2



y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con se tiene para las probabilidades que

p+q=1



por lo que con se tiene la distribución binomial

W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }

ID:(8961, 0)


Aproximación para N!
Ecuación

>Top, >Modelo


Con la aproximación de Stirling

u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u



y el cambio de variables

u = N



se obtiene que

N!\sim\sqrt{2\pi N}\left(\displaystyle\frac{N}{e}\right)^N

ID:(8998, 0)


Aproximación para n!
Ecuación

>Top, >Modelo


Con la aproximación de Stirling

u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u



y el cambio de variables

u = n



se obtiene que

n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n

ID:(9003, 0)


Aproximación para (N-n)!
Ecuación

>Top, >Modelo


Con la aproximación de Stirling

u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u



y el cambio de variables

u = N - n



se obtiene

(N-n)!\sim\sqrt{2\pi(N-n)}\left(\displaystyle\frac{N-n}{e}\right)^{N-n}

ID:(8999, 0)


Factor N!/n!(N-n)! para N\gg 1, n\gg 1 y N>n
Ecuación

>Top, >Modelo


En el caso de probabilidades medianas (p\sim q \sim 1/2) y numeros grandes N se puede mostrar con

N!\sim\sqrt{2\pi N}\left(\displaystyle\frac{N}{e}\right)^N



n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n



y

(N-n)!\sim\sqrt{2\pi(N-n)}\left(\displaystyle\frac{N-n}{e}\right)^{N-n}



se obtiene

\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}

ID:(507, 0)


Binomial para números grandes y probabilidades medias
Ecuación

>Top, >Modelo


La expresión

W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }



se reduce con

\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}



a la representación

W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}p^n(1-p)^{N-n}

ID:(506, 0)


Posición media
Ecuación

>Top, >Modelo


Si se dan N pasos totales con una probabilidad p en dirección de la derecha y estos tienen un largo a la posición final esperada será

\mu=aNp

ID:(9008, 0)


Cambio de variables por desplazamiento x=(n-Np)a
Ecuación

>Top, >Modelo


Para obtener la distribución de Gauss es necesario desarrollar la distribución en torno de su desviación de su posición media que se puede dar por

x=(n-Np)a

ID:(8973, 0)


Factor n/N en función del camino x
Ecuación

>Top, >Modelo


Como el camino es

x=(n-Np)a



el factor n/N se puede escribir como

\displaystyle\frac{n}{N}=p\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)

ID:(9004, 0)


Factor N-n/N en función del camino x
Ecuación

>Top, >Modelo


Como el camino es

x=(n-Np)a



el factor n/N se puede escribir como

\displaystyle\frac{N-n}{N}=(1-p)\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)

ID:(9005, 0)


Distribución binomial en función de la desviación
Ecuación

>Top, >Modelo


Si se introduce en la distribución binomial para el caso números grandes y probabilidades en torno a 1/2

W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}p^n(1-p)^{N-n}



las expresiones

\displaystyle\frac{n}{N}=p\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)



y

\displaystyle\frac{N-n}{N}=(1-p)\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)




se obtiene una distribución de la forma

W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}p(1-p)}\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)^{-n-1/2}\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)^{-N+n-1/2}

ID:(8974, 0)


Cambio de variable u=x/aNp
Ecuación

>Top, >Modelo


Para desarrollar el factor 1+x/aNp se puede trabajar con el cambio de variable

u=\displaystyle\frac{x}{aNp}

ID:(9021, 0)


Factor 1+x/aNp para N\gg 1 y p\sim 1/2
Ecuación

>Top, >Modelo


Con la aproximación

1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2}



y el cambio de variable

u=\displaystyle\frac{x}{aNp}



se tiene que

\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)\sim e^{x/aNp-x^2/2a^2N^2p^2}

ID:(9006, 0)


Cambio de variable u=x/aN(1-p)
Ecuación

>Top, >Modelo


Para desarrollar el factor 1+x/aN(1-p) se puede trabajar con el cambio de variable

u=\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}

ID:(9022, 0)


Factor 1-x/aN(1-p) para N\gg 1 y p\sim 1/2
Ecuación

>Top, >Modelo


Con la aproximación

1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2}



y el cambio de variable

u=\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}



se tiene que

\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)\sim e^{-x/aN(1-p)-x^2/2a^2N^2(1-p)^2}

ID:(9007, 0)


Probabilidad para N grandes y p medianos
Ecuación

>Top, >Modelo


Se puede demostrar que para un número grande N y probabilidad p ni muy pequeño ni muy cercano a 1, la distribución binomial se reduce a una gausseana para la posición x=na:

P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N^2p(1-p)}}e^{-(x-aNp)^2/2N^2p(1-p)}

En este caso se reemplazo la probabilidad q por 1-p.

ID:(3367, 0)


Generalización del límite de números grandes
Ecuación

>Top, >Modelo


En el problema del Random Walk, con probabilidades p y q iguales, el valor medio termina siendo cero. Sin embargo si generalizamos la ecuación y elegimos coordenadas no centradas en el origen se obtiene que a la distancia x le debemos restar el valor esperado \mu:

P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}

En este caso se reemplazo la probabilidad q por 1-p.

ID:(3368, 0)


Desviación estandar de distribución Gauss
Ecuación

>Top, >Modelo


La desviación estandar de la distribución binomial en el límite N grande y p mediano es

\sigma^2 = N ^2 p (1- p )

ID:(8963, 0)


Ejemplo comparación con distribución Gaussiana
Imagen

>Top


Si se estudia la distribución binomial para números grandes N y probabilidades en torno a 1/2

P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}



que se representa a continuación:

ID:(7793, 0)


0
Video

Video: Distribución de Gauss