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Gaußsche Verteilung

Storyboard

In der Grenze ähnlicher Wahrscheinlichkeiten wird die Binomialverteilung in der kontinuierlichen Grenze zur Gaußschen Verteilung reduziert.

>Modell

ID:(1556, 0)

Distribución binomial

Gleichung

>Top, >Modell

Con la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por

$W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$

con el número total de pasos es

$N=n_1+n_2$

y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con se tiene para las probabilidades que

$p+q=1$

por lo que con se tiene la distribución binomial

$ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$

ID:(8961, 0)

Ansatz für $N!$

Gleichung

>Top, >Modell

Mit der Stirling-Näherung

equation=8966

und die Änderung von Variablen

equation=8996

du verstehst das

equation

ID:(8998, 0)

Annäherung für $n!$

Gleichung

>Top, >Modell

Mit der Stirling-Näherung

equation=8966

und die Änderung von Variablen

equation=11431

du verstehst das

equation

ID:(9003, 0)

Annäherung für $(N-n)!$

Gleichung

>Top, >Modell

Mit der Stirling-Näherung

equation=8966

und die Änderung von Variablen

equation=8997

der Ausdruck ist

equation

ID:(8999, 0)

Factor $N!/N!(N-n)!$ For $N\gg 1$, $n\gg 1$ and $N>n$

Gleichung

>Top, >Modell

Bei mittleren Wahrscheinlichkeiten p \sim q \sim 1/2 ) und großen Zahlen N kann dies angezeigt werden

$N!\sim\sqrt{2\pi N}\left(\displaystyle\frac{N}{e}\right)^N$

$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n$

und

$(N-n)!\sim\sqrt{2\pi(N-n)}\left(\displaystyle\frac{N-n}{e}\right)^{N-n}$

bekommst

$\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}$

ID:(507, 0)

Grenze von großen Zahlen und mittleren Wahrscheinlichkeiten

Gleichung

>Top, >Modell

Der Ausdruck

$ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$

wird reduziert um

$\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}$

zur Darstellung

$W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}p^n(1-p)^{N-n}$

ID:(506, 0)

Durchschnittliche Position

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn insgesamt N Schritte mit einer Wahrscheinlichkeit p in der richtigen Richtung ausgeführt werden und diese eine Länge a haben, ist die erwartete Endposition

$\mu=aNp$

ID:(9008, 0)

Ändern Sie die Variablen durch Versatz von $x=(n-Np)a$

Gleichung

>Top, >Modell

Um die Gaußsche Verteilung zu erhalten, ist es notwendig, die Verteilung um ihre Abweichung von ihrer mittleren Position zu entwickeln, die durch gegeben sein kann

$x=(n-Np)a$

ID:(8973, 0)

Faktor $n/N$ abhängig vom Weg $x$

Gleichung

>Top, >Modell

Wie der Weg ist

$x=(n-Np)a$

Faktor n/N kann geschrieben werden als

$\displaystyle\frac{n}{N}=p\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)$

ID:(9004, 0)

Faktor $N-n/N$ abhängig vom Weg $x$

Gleichung

>Top, >Modell

Wie der Weg ist

$x=(n-Np)a$

Faktor n/N kann geschrieben werden als

$\displaystyle\frac{N-n}{N}=(1-p)\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)$

ID:(9005, 0)

Binomialverteilung als Funktion der Abweichung

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn große Zahlen und Wahrscheinlichkeiten um 1/2 in die Binomialverteilung für den Fall eingegeben werden

$W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}p^n(1-p)^{N-n}$

die Ausdrücke

$\displaystyle\frac{n}{N}=p\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)$

und

$\displaystyle\frac{N-n}{N}=(1-p)\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)$

Man erhält eine Verteilung der Form

$W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}p(1-p)}\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)^{-n-1/2}\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)^{-N+n-1/2}$

ID:(8974, 0)

Variablenänderung $u=x/aNp$

Gleichung

>Top, >Modell

Um den Faktor 1+x/aNp zu entwickeln, können Sie mit der Variablenänderung arbeiten

$u=\displaystyle\frac{x}{aNp}$

ID:(9021, 0)

Faktor $1+x/aNp$ für $N\gg 1$ und $p\sim 1/2$

Gleichung

>Top, >Modell

Mit der Annäherung

$1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2}$

es muss

$\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)\sim e^{x/aNp-x^2/2a^2N^2p^2}$

ID:(9006, 0)

Variablenänderung $u=x/aN(1-p)$

Gleichung

>Top, >Modell

Um den Faktor 1+x/aN(1-p) zu entwickeln, können Sie mit der Variablenänderung arbeiten

$u=\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}$

ID:(9022, 0)

Faktor $1-x/aN(1-p)$ für $N\gg 1$ und $p\sim 1/2$

Gleichung

>Top, >Modell

Mit der Annäherung

$1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2}$

es muss

$\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)\sim e^{-x/aN(1-p)-x^2/2a^2N^2(1-p)^2}$

ID:(9007, 0)

Wahrscheinlichkeit für große $N$ und mittlere $p$

Gleichung

>Top, >Modell

Es kann gezeigt werden, dass für eine große Anzahl N und eine Wahrscheinlichkeit p, die weder zu klein noch zu nahe bei 1 liegt, die Binomialverteilung für die Position auf einen Gaußschen Wert reduziert wird x= na:

$P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N^2p(1-p)}}e^{-(x-aNp)^2/2N^2p(1-p)}$

In diesem Fall wurde die Wahrscheinlichkeit q durch 1-p ersetzt.

ID:(3367, 0)