
Gaußsche Verteilung
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In der Grenze ähnlicher Wahrscheinlichkeiten wird die Binomialverteilung in der kontinuierlichen Grenze zur Gaußschen Verteilung reduziert.
ID:(1556, 0)

Distribución binomial
Gleichung 
Con la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por
W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2} |
con el número total de pasos es
N=n_1+n_2 |
y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con se tiene para las probabilidades que
p+q=1 |
por lo que con se tiene la distribución binomial
W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n } |
ID:(8961, 0)

Ansatz für N!
Gleichung 
Mit der Stirling-Näherung
equation=8966
und die Änderung von Variablen
equation=8996
du verstehst das
equation
ID:(8998, 0)

Annäherung für n!
Gleichung 
Mit der Stirling-Näherung
equation=8966
und die Änderung von Variablen
equation=11431
du verstehst das
equation
ID:(9003, 0)

Annäherung für (N-n)!
Gleichung 
Mit der Stirling-Näherung
equation=8966
und die Änderung von Variablen
equation=8997
der Ausdruck ist
equation
ID:(8999, 0)

Factor N!/N!(N-n)! For N\gg 1, n\gg 1 and N>n
Gleichung 
Bei mittleren Wahrscheinlichkeiten
N!\sim\sqrt{2\pi N}\left(\displaystyle\frac{N}{e}\right)^N |
n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n |
und
(N-n)!\sim\sqrt{2\pi(N-n)}\left(\displaystyle\frac{N-n}{e}\right)^{N-n} |
bekommst
\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2} |
ID:(507, 0)

Grenze von großen Zahlen und mittleren Wahrscheinlichkeiten
Gleichung 
Der Ausdruck
W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n } |
wird reduziert um
\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2} |
zur Darstellung
W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}p^n(1-p)^{N-n} |
ID:(506, 0)

Durchschnittliche Position
Gleichung 
Wenn insgesamt
\mu=aNp |
ID:(9008, 0)

Ändern Sie die Variablen durch Versatz von x=(n-Np)a
Gleichung 
Um die Gaußsche Verteilung zu erhalten, ist es notwendig, die Verteilung um ihre Abweichung von ihrer mittleren Position zu entwickeln, die durch gegeben sein kann
x=(n-Np)a |
ID:(8973, 0)

Faktor n/N abhängig vom Weg x
Gleichung 
Wie der Weg ist
x=(n-Np)a |
Faktor
\displaystyle\frac{n}{N}=p\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right) |
ID:(9004, 0)

Faktor N-n/N abhängig vom Weg x
Gleichung 
Wie der Weg ist
x=(n-Np)a |
Faktor
\displaystyle\frac{N-n}{N}=(1-p)\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right) |
ID:(9005, 0)

Binomialverteilung als Funktion der Abweichung
Gleichung 
Wenn große Zahlen und Wahrscheinlichkeiten um 1/2 in die Binomialverteilung für den Fall eingegeben werden
W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}p^n(1-p)^{N-n} |
die Ausdrücke
\displaystyle\frac{n}{N}=p\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right) |
und
\displaystyle\frac{N-n}{N}=(1-p)\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right) |
Man erhält eine Verteilung der Form
W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}p(1-p)}\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)^{-n-1/2}\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)^{-N+n-1/2} |
ID:(8974, 0)

Variablenänderung u=x/aNp
Gleichung 
Um den Faktor
u=\displaystyle\frac{x}{aNp} |
ID:(9021, 0)

Faktor 1+x/aNp für N\gg 1 und p\sim 1/2
Gleichung 
Mit der Annäherung
1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2} |
es muss
\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)\sim e^{x/aNp-x^2/2a^2N^2p^2} |
ID:(9006, 0)

Variablenänderung u=x/aN(1-p)
Gleichung 
Um den Faktor
u=\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)} |
ID:(9022, 0)

Faktor 1-x/aN(1-p) für N\gg 1 und p\sim 1/2
Gleichung 
Mit der Annäherung
1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2} |
es muss
\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)\sim e^{-x/aN(1-p)-x^2/2a^2N^2(1-p)^2} |
ID:(9007, 0)

Wahrscheinlichkeit für große N und mittlere p
Gleichung 
Es kann gezeigt werden, dass für eine große Anzahl
P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N^2p(1-p)}}e^{-(x-aNp)^2/2N^2p(1-p)} |
In diesem Fall wurde die Wahrscheinlichkeit
ID:(3367, 0)

Generalisierung der Grenzwerte für Big Numbers
Gleichung 
$\begin{matrix}
P(x) & = & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}\\
\sigma^2 & = & Np(1-p)\\
\end{matrix}
$
ID:(3368, 0)

Standardabweichung der Gaußschen Verteilung
Gleichung 
Die Standardabweichung der Binomialverteilung an der Grenze
\sigma^2 = N ^2 p (1- p ) |
ID:(8963, 0)

Beispielvergleich mit der Gaußschen Verteilung
Bild 
Wenn wir die Binomialverteilung für große Zahlen
P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2} |
welches unten dargestellt ist:
ID:(7793, 0)

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Video
Video: Gaußsche Verteilung