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Distribuciones Binomial
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El modelo de caminar aleatorio se describe con la distribución binomial en que el actor puedes desplazase en dos direcciones con probabilidades dadas.
ID:(309, 0)
Distribución binomial
Ecuación
Con la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por
| $W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$ |
con el número total de pasos es
| $N=n_1+n_2$ |
y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con se tiene para las probabilidades que
| $p+q=1$ |
por lo que con se tiene la distribución binomial
| $ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$ |
ID:(8961, 0)
Posición final
Ecuación
La posición final se obtiene calculando el numero que efectivamente se avanza en una o la otra dirección. Esto es la diferencia entre el numero de pasos en una y la otra dirección.
Por ello el numero defectivo de pasos final se obtiene con de
| $m=n_1-n_2$ |
ID:(3359, 0)
Cambio de variables para los pasos hacia la derecha
Ecuación
Para poder estudiar como se distribuyen la probabilidad de donde termina el camino aleatorio, se introduce el numero de pasos efectivos, que con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$ y numero efectivo de pasos $-$ es
| $m=n_1-n_2$ |
Por otro lado con el numero total de pasos, con , que es
| $N=n_1+n_2$ |
se pueden definir la conversión con el numero de desplazase hacia la derecha:
| $ n_1 =\displaystyle\frac{1}{2}( N + m )$ |
ID:(3357, 0)
Cambio de variables para los pasos hacia la izquierda
Ecuación
Para poder estudiar como se distribuyen la probabilidad de donde termina el camino aleatorio, se introduce el numero de pasos efectivos, que con número de pasos hacia la derecha $-$, número de pasos hacia la izquierda $-$ y numero efectivo de pasos $-$ es
| $m=n_1-n_2$ |
Por otro lado con el numero total de pasos, con , que es
| $N=n_1+n_2$ |
se pueden definir la conversión con el numero de desplazase hacia la izquierda:
| $ n_2 =\displaystyle\frac{1}{2}( N - m )$ |
ID:(8962, 0)
Probabilidad de que este en una posición
Ecuación
Con la distribución binomial es
| $W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$ |
con número de pasos hacia la derecha $-$, numero efectivo de pasos $-$ y número total de pasos $-$ el numero de pasos a la derecha es
| $ n_1 =\displaystyle\frac{1}{2}( N + m )$ |
y con número de pasos hacia la izquierda $-$, numero efectivo de pasos $-$ y número total de pasos $-$ el numero de pasos a la izquierda es
| $ n_2 =\displaystyle\frac{1}{2}( N - m )$ |
se tiene la probabilidad de que la caminata aleatoria se encuentre con número de pasos hacia la izquierda $-$, numero efectivo de pasos $-$ y número total de pasos $-$ que es
| $P_N(m)=\displaystyle\frac{N!}{[(N+m)/2]![(N-m)/2]!}p^{(N+m)/2}(1-p)^{(N-m)/2}$ |
ID:(3360, 0)
El tiempo transcurrido
Ecuación
El tiempo transcurrido es igual al numero de paso por el tiempo que demora un paso, con es:
| $ t = N \Delta t $ |
ID:(501, 0)
Posición del caminante
Ecuación
La posición se puede calcular del largo medio de los pasos y del numero efectivo de estos.
Por ello, con se tiene que la posición es
| $ x = m a $ |
ID:(11430, 0)
Probabilidad total de combinación de pasos
Ecuación
Con numero efectivo de pasos $-$, número total de pasos $-$, probabilidad de hacer un numero de pasos hacia la derecha $-$ y probabilidad de pasos hacia la derecha $-$ la distribución binomial
| $P_N(m)=\displaystyle\frac{N!}{[(N+m)/2]![(N-m)/2]!}p^{(N+m)/2}(1-p)^{(N-m)/2}$ |
puede reescribirse con largo del paso $m$, numero efectivo de pasos $-$ y posición al final $m$ en función del camino
| $ x = m a $ |
y con número total de pasos $-$, tiempo del paso $s$ y tiempo final $s$ el tiempo
| $ t = N \Delta t $ |
con número total de pasos $-$, tiempo del paso $s$ y tiempo final $s$ la probabilidad de llegar en un tiempo a una posición es
| $ P(x,t)=\displaystyle\frac{(t/\Delta t)!}{[(t/\Delta t+x/a)/2]![(t/\Delta t-x/a)/2]!}p^{(t/\Delta t+x/a)/2}(1-p)^{(t/\Delta t-x/a)/2}$ |
ID:(3356, 0)
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Video: Distribución binomial