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Limites útiles
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Existen varias aproximaciones que se dan cuando el numero de casos/eventos es grande.

>Modelo

ID:(1557, 0)


Aproximación de Sterling
Ecuación

>Top, >Modelo


James Stirling demostró que el logaritmo de la función factorial para grandes números se puede aproximar por

\ln u!=\ln\sqrt{2\pi u} + u\ln u - u+O(\ln u)

por lo que se le puede aproximar por

$\ln u!\sim\ln\sqrt{2\pi u} + u\ln u - u$

ID:(4737, 0)


Factorial según la aproximación de Sterling
Ecuación

>Top, >Modelo


Como el logaritmo del factorial según Stirling se puede aproximar por

$\ln u!\sim\ln\sqrt{2\pi u} + u\ln u - u$



se tiene que el factorial en si se puede estimar para números grandes por

$u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u$

ID:(8966, 0)


Taylor de $\ln(1+u)$
Ecuación

>Top, >Modelo


Si se desarrolla en torno a u=0 el logaritmo de 1+u se obtiene

$\ln(1+u)= u-\displaystyle\frac{1}{2}u^2+O(u^3)$

ID:(9000, 0)


Reformulación de serie de Taylor de $\ln(1+u)$
Ecuación

>Top, >Modelo


Con el desarrollo de Taylor de \ln(1+u)

$\ln(1+u)= u-\displaystyle\frac{1}{2}u^2+O(u^3)$



se puede estimar

$1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2}$

ID:(9001, 0)


Definición de la función exponencial
Ecuación

>Top, >Modelo


La función exponencial se define mediante el límite

e^z=\lim_{u\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle\frac{z}{u}\right)^u

por lo que se puede aproximar

$e^z\sim\left(1+\displaystyle\frac{z}{u}\right)^u$

ID:(8967, 0)


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